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☆☆☆☆☆

出版者:高等教育出版社

作者:彭家贵/陈卿

出品人:

页数:251

译者:

出版时间:2002-7

价格:24.60元

装帧:简裝本

isbn号码:9787040110258

丛书系列:

图书标签:

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《空间之舞：黎曼流形与曲率的探索》 内容简介： 本书旨在为读者提供一次深入而全面的现代微分几何之旅，专注于黎曼几何的核心概念、工具及其在现代物理学和数学中的深刻应用。我们不探讨传统意义上的“微积分”或基础的“微分方程”的直接应用，而是将焦点完全置于由度量张量赋予的几何结构——黎曼流形之上。 本书的叙事结构围绕着“局部”与“整体”的桥梁构建，从最直观的曲率概念出发，逐步过渡到抽象而强大的代数工具。我们精心设计了章节的逻辑流程，确保读者能够在掌握局部坐标系下的计算技巧后，无缝衔接到更具几何洞察力的张量分析和联络理论。 第一部分：几何的语言——流形与张量 本部分是理解后续复杂结构的基石。我们首先抛开光滑性、拓扑等预备知识的冗余讨论，直接切入几何的核心——可微流形的构建，并强调其作为“允许我们进行微积分的空间”的本质。 局部坐标与图册的必要性： 详细阐述为什么单一坐标系无法描述弯曲空间，引入图册结构（Atlas）的必要性。我们着重分析坐标变换如何影响物理量（如向量和微分形式）的表达形式。 张量分析的几何解释： 张量不再仅仅是指标的数组，而是独立于坐标系的物理实在。我们深入探讨协变张量（如度量张量 $g$ 和微分形式）与反变张量（如向量场）之间的对偶关系。重点分析协变导数 $ abla$ 的引入，它解决了在弯曲空间中“比较”不同点的切向量的根本困难。我们详细推导 Levi-Civita 联络的唯一性，并通过 Christoffel 符号展示其在局部坐标系下的具体计算。 第二部分：测地线与曲率——内在几何的体现 本部分是黎曼几何的灵魂所在，它揭示了空间固有的弯曲性质。 测地线：最短路径的几何定义： 测地线被定义为具有零“测地线曲率”的曲线，即切向量在流形上平行移动时保持不变的曲线。我们推导测地线方程，并讨论其在经典力学中对应于无外力作用的运动轨迹的深刻含义。 曲率的诞生：曲率的不可交换性： 这是本书最关键的几何洞察之一。我们引入黎曼曲率张量 $R^a_{bcd}$，它通过衡量两个向量场沿着闭合回路的平行移动结果的非零性来量化空间的弯曲程度。我们详细解析曲率张量的分量，并证明其满足一系列重要的对称性（如第一和第二种范德蒙恒等式）。 截面曲率与高斯绝妙定理的推广： 我们将抽象的黎曼曲率张量转化为更直观的截面曲率（Sectional Curvature），即通过二维平面在流形上截取的曲率。书中将重点分析截面曲率如何决定局部几何行为，并引出高斯绝妙定理在更高维流形上的推广——高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem），作为拓扑与几何之间的深刻联系的展示。 第三部分：度量张量之外的结构——共形几何与结构方程 在掌握了黎曼结构的内在性质后，本部分探讨如何对度量结构进行微小扰动或尺度变换，以及保持其几何特性的工具。 共形变换与共形曲率： 我们探讨了共形等价的概念，即两个度量张量仅相差一个正函数因子。在此框架下，黎曼曲率张量分解为与尺度无关的部分——魏尔（Weyl）曲率张量，以及与尺度直接相关的里奇（Ricci）张量。这为理解爱因斯坦场方程（虽然本书不直接解方程，但展示了其几何根源）的背景提供了清晰的数学框架。 第二基本形式与嵌入理论（外在几何的映照）： 为了对比内在几何（仅由度量决定）与外在几何（流形嵌入到更高维欧几里得空间中的性质），我们引入第二基本形式。它量化了流形在更高维空间中如何“弯曲”。我们利用这工具阐述 Codazzi-Mainardi 方程和 Gauss 方程，它们是唯一性定理的基础——即内在几何完全决定了流形的外在嵌入（在一定条件下）。 第四部分：测地流与无穷小对称性 本部分关注流形上的动力学和对称性。 李导数与无穷小变换： 我们引入李导数 $mathcal{L}_X$ 来衡量向量场 $X$ 对流形上任何张量场（包括度量 $g$）的影响。这为研究空间的等距运动（Isometries）提供了强有力的工具。 Killing 向量场： 当李导数为零时，我们找到了保持度量不变的向量场，即 Killing 向量场。这些向量场直接对应于流形的对称性，它们是保守量（守恒量）在几何上的体现。我们展示了 Killing 向量场的代数结构——它们生成一个李代数，其维度即是流形的等距群的维度。 总结： 本书的重点在于用清晰的数学语言，构建起从局部微分到整体几何结构之间的严密逻辑链条。它要求读者具备扎实的线性代数和多元微积分基础，但随后引导读者完全进入张量分析的几何世界，专注于黎曼流形如何通过其曲率和联络来编码其内在的几何特性。本书旨在培养读者对弯曲空间几何直觉的同时，掌握处理高维、复杂流形的精确数学工具。

评分☆☆☆☆☆

简明，清晰，但是几何太少了。 随手翻一翻，哪有几幅图啊，根本没有几何的直观感觉。不仅插图少，而且在概念的引入、引申过程中，对于几何意义也不够强调，只是在一堆微分式子中间推来推去。 不错，微分几何就是用微分的方法来研究几何。在推演的过程中对几何依赖得越少越能体...

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

与其他偏向于纯代数或纯拓扑处理的书籍相比，我最欣赏的还是这本书在“几何直观”与“分析工具”之间所达到的完美平衡。作者似乎深谙“没有分析的几何是空洞的，没有几何的分析是盲目的”这一真谛。在处理如联络（Connection）和曲率（Curvature）等核心概念时，作者总能巧妙地将微分方程和积分的思想融入到对空间结构的描述中。例如，在讲解协变导数时，他先从物理学中惯性系与非惯性系的加速度修正讲起，再过渡到黎曼流形上的向量场平行移动，这种从具象到抽象的过渡，让理论的建立过程显得自然而然，逻辑链条坚不可摧。读完后，我不再是将那些公式简单地视为运算规则，而是真切地感受到它们是如何精确地刻画了空间本身的“弯曲”和“扭曲”。这本书的价值在于，它不仅仅教会了读者如何计算，更重要的是，它塑造了一种看待和理解几何问题的全新思维模式。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计深得我心，那种低调的奢华感，让我想起了大学时代图书馆里那些泛黄却充满智慧气息的经典著作。刚翻开第一页，我就被作者那种娓娓道来的叙述方式吸引住了。他似乎并不急于抛出那些晦涩难懂的数学公式，而是像一位经验丰富的向导，带着你缓缓步入一个充满几何美感的奇妙世界。这种循序渐进的讲解，对于我们这些基础不算特别扎实的读者来说，简直是福音。我尤其欣赏作者在引入新概念时，总是会先给出非常直观的几何图像来辅助理解，而不是直接陷入纯粹的符号推导。比如，当他讨论到流形的概念时，书中那几张手绘般的示意图，简直是点睛之笔，让我立刻明白了“局部像欧氏空间”的真正含义。整本书的排版也相当考究，留白恰到好处，阅读起来毫不费力，仿佛在欣赏一件精心制作的艺术品。我感觉这不只是一本教材，更像是一次知识的漫游，让人沉醉其中，忘记了时间的流逝。读完其中的一部分章节后，我甚至开始重新审视自己对空间和曲率的理解，那种豁然开朗的感觉，真是妙不可言。

评分☆☆☆☆☆

我是在一个阴雨连绵的周末，决定挑战一下这本号称“硬核”的专著的。坦白说，一开始我是抱着壮士断腕的决心开始的，毕竟市面上很多同类书籍都像一本冰冷的数学字典，让人望而却步。然而，这本书的行文风格却透露出一种令人惊喜的“人情味”。作者在讲解那些极度抽象的张量分析时，并没有采取那种高高在上的学术腔调，而是非常耐心地去剖析每一个定义背后的物理或几何直觉。记得有一次，我被一个关于黎曼曲率张量的计算卡住了整整一个下午，几乎要放弃时，翻到书中关于该张量几何意义的阐述，作者用一个类比——想象在一个曲面上画一个平行四边形——一下子就击穿了我思维的壁垒。那种“原来如此！”的顿悟感，是任何高分通过考试都无法替代的。这本书的价值，在于它不仅仅是知识的传递者，更像是一位鼓励你不断探索、永不言弃的智者。它教会我的，远不止是那些公式本身。

评分☆☆☆☆☆

我发现这本书在案例选择上做得非常巧妙。它并非仅仅满足于建立理论框架，而是紧密地结合了实际应用的例子，这极大地提升了阅读的趣味性和实用价值。比如，在介绍测地线时，作者没有停留在抽象的变分原理上，而是深入探讨了光线在引力场中的传播路径，甚至简要提及了爱因斯坦场方程的某些几何背景。这种将纯粹的数学之美与宏大的物理世界联系起来的做法，让原本枯燥的理论变得鲜活起来。此外，书中的习题设计也体现了作者深厚的教学功底。它们并非那种机械重复的计算题，而是真正能够引导读者去思考和发现新结构的思考题。很多习题的答案后面，还附带了简短的“思考延伸”，引导读者去探索与主线内容相关的更深层次的数学分支。这种层层递进的结构，使得这本书不仅适合初学者打基础，对于有一定基础的进阶读者来说，也是一本绝佳的拓宽视野的工具书。我个人就通过其中一个关于拓扑的附注，找到了下一阶段学习的方向。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧质量真的值得称赞。我拿到的是精装版本，纸张厚实，即便是反复翻阅和在页边做大量笔记，内页也没有出现任何形变或墨迹渗透的情况，这对于需要长期使用的工具书来说至关重要。更值得一提的是，书中对于数学符号和图表的处理达到了教科书级别的严谨。每一个希腊字母、每一个上下标，都清晰可辨，并且保持了高度的一致性，这在阅读那些涉及到大量指标和求和符号的章节时，极大地减少了读者的认知负担。很多时候，阅读体验的好坏，往往取决于这些看似微小的细节。这本书在这方面做到了极致的专业。可以说，从物理触感到精神层面，它都提供了一种非常高标准的阅读享受。我甚至觉得，把它放在书架上，本身也是一种对数学美学的一种致敬，它散发出的那种沉稳和力量感，是很多追求速度和轻量化的现代出版物所不具备的。

评分☆☆☆☆☆

请避开用这本书做教材的微分几何课

评分☆☆☆☆☆

这东西其实挺好玩的。让我过了吧。

评分☆☆☆☆☆

并不明白这本书为什么得分这么低

评分☆☆☆☆☆

二维的情形，却为高维的情形提供了丰富的思想和例子。几何，透过繁杂的计算，能看到背后的优美和本质，才算是学懂了吧。

评分☆☆☆☆☆

二维的情形，却为高维的情形提供了丰富的思想和例子。几何，透过繁杂的计算，能看到背后的优美和本质，才算是学懂了吧。