基础拓扑和几何讲义 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:辛格

出品人:

页数:232

译者:

出版时间:2009-3

价格:39.00元

装帧:

isbn号码:9787506292818

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

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好的，这是一本关于高阶微分几何与流形理论的深度导论的图书简介，旨在为读者提供理解现代数学物理中几何语言的坚实基础，内容完全不涉及基础拓扑学或基础几何学的具体内容。 --- 现代几何学核心：流形、张量与曲率的精深探究 图书名称（虚拟）：黎曼几何与广义相对论的数学基础 目标读者： 具有扎实分析基础、熟悉线性代数与基础拓扑概念（但不要求精通基础拓扑的细节），并希望深入研究现代几何、微分方程或理论物理（特别是广义相对论、规范场论）的研究生、高级本科生及专业研究人员。 内容概述：从欧几里得空间到非线性世界的跃迁 本书聚焦于微分几何的精髓——流形理论，系统地构建了一个从局部光滑结构到整体拓扑特征的严密数学框架。我们摒弃对“点集拓扑”基础概念的重复阐述，直接进入微分几何的分析核心：光滑流形的概念及其上的微分结构。全书旨在揭示如何利用微积分工具（导数、积分）在弯曲、非线性的空间中进行有效的数学操作。 全书分为四个核心部分：流形基础与切空间、张量分析与外微分、连接与测地线，以及黎曼几何的奠基。 第一部分：光滑流形的严谨构造与局部分析 本部分奠定了微分几何的语言。我们首先定义光滑流形，强调其作为局部欧几里得空间的数学模型，并着重讨论坐标系变换的平滑性要求。 图册与坐标变换： 详细阐述如何通过局部图册来“展平”弯曲空间，以及在不同坐标系下函数、向量场和张量场的转换规则。 向量场与切空间： 向量场不再仅仅是速度的表示，而是定义在每一点上的切空间——一个实向量空间。我们将严格定义切向量的“方向导数”概念，并建立切空间与微分算子之间的同构关系。这部分将深入探讨如何用线性代数的方法处理局部非线性的数据。 张量场导论： 引入张量的定义，超越传统的物理直觉，将其视为多重线性函数。区分协变张量（下指标）与反变张量（上指标），并清晰界定它们的转换律。这为后续的曲率计算提供了必要的代数工具。 第二部分：微分形式、积分与外微分代数 本部分是连接微积分与几何的关键桥梁，侧重于微分形式（Differential Forms），这是现代几何和物理学中进行积分和微分操作的首选语言。 微分 $k$-形式： 构造楔积（Wedge Product），建立外代数结构。我们展示如何利用楔积将外微分操作推广到更高阶的结构，实现对“体积”和“通量”的精确描述。 外微分算子 ($d$)： 严格定义外微分 $d$，并证明其核心性质 $d^2 = 0$。我们将详细分析 $d$ 在 0-形式（函数）、1-形式（向量场的对偶）和 2-形式（曲面元的对偶）上的具体作用，以及它如何自然地推广了微积分中的梯度、旋度和散度概念。 积分与斯托克斯定理的推广： 建立在流形上的积分理论，避免使用欧几里得空间的直观，而是基于微分形式的定义。最终，我们将推导出流形上的广义斯托克斯定理，这是连接边界积分与内部微分的普适性定理，其重要性远超经典版本。 第三部分：连接、协变导数与测地线 真正的挑战在于如何在弯曲空间中定义“方向”和“平行移动”。本部分完全专注于连接（Connection）的概念，这是区别于欧几里得几何的核心。 协变导数（Covariant Derivative）： 引入协变导数 $ abla$ 来解决平行移动的问题。我们展示 $ abla$ 必须满足的性质，并解释为何在非平坦空间中，向量的导数不再仅仅依赖于坐标变化率。 黎曼度量诱导的Levi-Civita连接： 在度量空间中，我们证明存在一个唯一的、满足无挠率和度量兼容性的连接——Levi-Civita连接。我们将推导出其Christoffel符号的显式公式，强调其完全由度量张量 $g_{ij}$ 决定。 测地线方程： 利用协变导数，我们定义测地线为“平行移动的向量场”所描述的曲线，推导出测地线方程。我们将分析该方程的性质，揭示其在弯曲空间中对“最短路径”的精确几何意义。 第四部分：曲率的代数与几何表达 在确定了连接之后，我们便可以量化空间弯曲的程度。本部分构建了衡量非平坦性的核心代数工具。 黎曼曲率张量 ($R^{a}_{ bcd}$): 曲率被定义为不满足交换律的两次协变导数的测量。我们将推导黎曼曲率张量的定义式，并严格分析其代数对称性（Bianchi恒等式）。 截面曲率与里奇张量： 将曲率张量进行缩并，得到里奇张量 ($R_{ij}$)，它是描述物质/能量如何影响时空几何的直接桥梁。我们还将介绍截面曲率的概念，它描述了特定平面内测地线偏离的程度。 拓扑与几何的联系（Weitzenböck 公式基础）： 虽然本书不深入拓扑，但我们将展示里奇张量与空间体积（通过对角化曲率）之间的深刻关系，为理解爱因斯坦场方程的几何基础做好准备。 学术特色与严谨性 本书的行文风格严谨、逻辑清晰，所有定义和定理都基于严格的数学推导。它避免了对物理图像的过度依赖，而是将几何概念提升到纯粹的代数和分析框架内进行处理。通过大量的线性代数和外微分的熟练运用，读者将能够自信地掌握现代微分几何的通用语言，为下一步探索更复杂的微分拓扑或场论模型奠定不可动摇的数学基础。

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说实话，我在挑选相关教材时，往往会被那些声称“最全面”或“最前沿”的书籍所吸引，但最终发现它们往往内容庞杂，重点分散。而这本讲义给我的感觉恰恰相反，它拥有惊人的聚焦能力。全书的重点似乎都牢牢锁定在最核心、最基础、也是最需要打牢根基的部分。我能感受到作者有一种明确的教学目标，那就是确保读者对“是什么”和“为什么”有最清晰的认知，而不是被大量的旁枝末节所淹没。这种克制而精准的选材，避免了知识的冗余和信息过载。对于我们这些需要为后续更高级学习做准备的人来说，一个坚实、不含杂质的底座比任何“包罗万象”的列表都来得更有价值。这种对精髓的执着，让我对书中所传授的知识的可靠性深信不疑。

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这本书的整体阅读体验，非常流畅地将复杂的概念串联了起来。我特别欣赏作者在逻辑组织上的精妙布局。很多时候，我在阅读其他相关材料时，会感觉某些关键的跳跃点描述得不够充分，导致理解上容易产生断层。然而，在这本书中，从一个基础的前提过渡到下一个更抽象的结构时，总能找到一种自然的衔接。这种“水到渠成”的感觉，极大地减轻了初学者面对新领域时的心理压力。它不像一些教科书那样，上来就抛出一堆定义和定理，而是更像一位耐心的导师，一步一步引导你搭建起知识的脚手架。这种对叙事节奏的把控，使得即使是那些原本可能让人望而却步的深奥议题，也变得可以被逐步消化和吸收。这对我而言，意味着更少的“卡壳”和更持续的学习动力。

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这本书的装帧和印刷质量，实在值得称赞。在数字阅读盛行的今天，拥有一本实体书的价值，很大程度上体现在其物理属性上——纸张的触感、油墨的饱和度，以及装订的牢固程度。这本书在这方面完全经受住了考验。我常常需要在关键的图表和公式旁边做大量的批注和折角标记，而它坚固的骑马钉或胶装（取决于具体版本，但此处泛指装订的可靠性）从未出现任何散页或松动。此外，图示的清晰度也达到了一个很高的标准，黑白线条的对比度拿捏得恰到好处，确保了即使在相对昏暗的环境下阅读复杂的几何图形时，细节也不会丢失。这种对物理介质的尊重，让阅读过程本身变成了一种享受，而不是一种对视力的折磨。

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好的，下面是五段不同风格的读者评价，它们都围绕着“基础拓扑和几何讲义”展开，但侧重点和语气各不相同，且均不包含对书籍具体内容的描述： --- 这本书的封面设计给我留下了一种非常专业且沉稳的第一印象。它没有采用那种花里胡哨的现代设计，而是选择了经典的书籍排版，字体选择和纸张质感都透着一股老派的学术气息。这种“不事雕琢”的设计风格，反而让我对内容的深度和严谨性充满了信心。在翻阅时，我发现它在细节处理上非常用心，比如章节标题的对齐、公式编号的清晰度，都体现出编者对阅读体验的重视。作为读者，我深知一本好的教材不仅仅是知识的堆砌，更是一种阅读的引导，而这本书在这方面显然是下足了功夫。初次上手时，那种沉甸甸的质感，仿佛握住了一把开启未知领域的钥匙，让人立刻进入一种专注的学习状态。这种氛围的营造，对于需要长时间沉浸式阅读的理工科书籍来说，无疑是巨大的加分项。我期待着在接下来的学习旅程中，能被它这种严谨的风格所驱动。

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从一个长期浸淫于数学学习的老读者角度来看，这本书最可贵的品质在于它的“诚恳”。它不像某些著作那样故作高深，而是用一种非常坦诚的态度去面对每一个概念的诞生和演变过程。我能体会到作者在撰写时，一直在努力站在一个刚刚接触这些概念的学习者的角度去思考：“如果我是他，我会在哪里感到困惑？” 这种换位思考所带来的教学设计，使得全书充满了人性化的关怀。它不是冷冰冰的理论陈述，而更像是一次有温度的知识传递。当我遇到一个棘手的节点时，往往只需要稍微回溯几页，就能找到作者巧妙设置的铺垫，心中的迷雾立刻散去。这种无声的支持，对于任何需要独立攻克难关的学习者来说，都是最宝贵的精神力量。

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很适合自学。但习题太少。可作为低年级一学期的教材加讨论班材料

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学习几何与拓扑没有捷径。

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很适合自学。但习题太少。可作为低年级一学期的教材加讨论班材料

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相当好的拓扑&英语入门读物~

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很适合自学。但习题太少。可作为低年级一学期的教材加讨论班材料