几何基础 （第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:D.Hilbert

出品人:

页数:301

译者:江泽涵

出版时间:1995年

价格:17.80元

装帧:

isbn号码:9787030045126

丛书系列:数学名著译丛

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探寻逻辑的基石：一部关于严谨推理与抽象思维的著作 导言：超越具象的思维殿堂 本书《逻辑的构建：现代推理与演绎体系探微》并非专注于传统的欧几里得式几何结构或具体的可量化空间模型。相反，它将读者的目光引向一种更为根本、更为抽象的领域——逻辑推理的结构本身。我们生活在一个由因果关系、论证链条和规则体系构成的世界中，而本书的目的，正是要揭示这些支撑我们思维大厦的隐形支柱。 这不是一本关于如何绘制完美圆形的指南，也不是探讨空间拓扑性质的教科书。本书的核心关切在于：什么是有效的推理？一个论断如何才能被确凿地证明？真理的边界在哪里？ 我们邀请读者踏入一个由符号、前提、结论和推理规则构成的纯粹领域。在这里，视觉的直观性退居次席，取而代之的是对形式有效性的绝对追求。 第一部分：演绎的艺术——形式系统的基石 本部分深入剖析了演绎推理（Deductive Reasoning）的本质，它是所有严谨思维的起点。 第一章：命题逻辑的解析 我们将从最基础的构建单元——命题（Propositions）——入手。一个命题是具有明确真值（真或假）的陈述。我们不会过多纠缠于自然语言的歧义，而是专注于符号化的表达。 连接词的精确定义： 详细阐述“与”（$land$）、“或”（$lor$）、“非”（$ eg$）、“蕴含”（$ ightarrow$）以及“当且仅当”（$leftrightarrow$）在真值表下的行为。我们将探究蕴含关系（如“如果P那么Q”）在日常语言和形式逻辑中的细微差别和严格要求。 重言式与矛盾式： 识别那些无论其组成成分的真值如何，其整体真值都保持不变（重言式）或永远为假的语句（矛盾式）。 范式（Normal Forms）： 如何将任意复杂的命题公式转化为合取范式（CNF）和析取范式（DNF）。这不仅是代数上的转换，更是理解复杂论证结构的标准方法。 第二章：谓词逻辑——从语句到对象的深度挖掘 命题逻辑的局限在于它无法处理语句内部的结构，例如“所有人都终有一死”。谓词逻辑（Predicate Logic）为此提供了必要的工具。 量词的引入： 详细介绍全称量词（$forall$，For All）和存在量词（$exists$，There Exists）。我们将探讨如何使用这些量词来表达关于集合内所有或部分成员的陈述。 个体与谓词的区分： 如何将对象（常量、变量）与描述对象的性质或关系（谓词）分离开来。 等词（Identity）： 探讨等词“=”在逻辑系统中的特殊地位及其推理规则。 第三章：推理规则与证明的构造 有效的推理并非凭空出现，它是遵循一套被严格界定的规则流程。本章聚焦于这些“生产性”的工具。 自然演绎法（Natural Deduction）： 介绍一系列直观的、类似于人类思考过程的引入和消去规则（如合取引入、析取消去等）。我们将通过大量的实例，展示如何从一组公理或前提，通过有限步的合法推理，导出一个新的结论。 推理的有效性与可靠性： 阐明一个论证的有效性仅依赖于其结构，而与前提的真实性无关。我们还将探讨如何通过构造反例来证明一个论证的无效性。 第二部分：公理化系统的哲学与挑战 推理系统并非孤立存在，它们通常建立在某种公理化体系之上。本部分探讨这种体系的建立、约束以及其内在的局限性。 第四章：形式系统的特征：完备性、可靠性与一致性 一个理想的形式系统应当具备哪些属性？本书对此进行了深入探讨，这些属性是衡量一个逻辑体系优劣的关键指标。 可靠性（Soundness）： 证明的每一步都确实导向一个真实的结论（即系统内所有可证的都是可靠的）。 完备性（Completeness）： 任何在语义上为真的陈述，都可以在该系统中被证明出来（即系统能够证明所有逻辑上成立的命题）。 一致性（Consistency）： 系统内部不能同时证明一个命题及其否定（即不会出现 $P$ 且 $ eg P$ 的矛盾）。我们探讨了证明一致性的方法，例如通过模型论的视角。 第五章：哥德尔的阴影：不可判定性与不完备性 逻辑学家们曾试图建立一个包罗万象的、可以解决所有数学问题的终极系统。然而，二十世纪的成果彻底改变了这一设想。 图灵机与可计算性： 虽然本书不深入计算机科学的细节，但我们会阐述“可计算性”的概念如何影响了逻辑判断的边界。某些逻辑问题被证明是不可判定的（Undecidable），意味着不存在一个通用算法可以判断任意公式的真伪。 哥德尔不完备定理的逻辑含义： 重点分析第一不完备定理对于任何足够强大的、包含基本算术的公理系统所揭示的内在限制——总存在一些陈述，它们在这个系统内既不能被证明，也不能被证伪。 第三部分：超越二值逻辑的视野 经典逻辑（二值逻辑）以非黑即白的方式处理真值。本部分将目光投向那些承认灰色地带的、更具弹性的推理框架。 第六章：多值逻辑的探索 在许多实际情境中，一个陈述并非简单地“是”或“否”。 模糊逻辑（Fuzzy Logic）： 介绍隶属度（Degree of Membership）的概念，以及如何处理诸如“这个杯子是满的”这类具有模糊边界的陈述。我们探讨卢卡斯维奇（Łukasiewicz）逻辑等三值和多值系统的基本运算。 概率论在推理中的角色： 讨论如何将不确定性量化，以及贝叶斯推理如何与演绎推理协同工作，以形成更全面的认知模型。 第七章：模态逻辑：关于可能性与必然性的语言 模态逻辑（Modal Logic）处理的是“必须是”、“可能是”等情态限定词。 必然性（$Box$）与可能性（$Diamond$）： 定义这些操作符，并探讨它们之间的对偶关系。 Kripke 语义学： 介绍模态逻辑最强大的解释工具——可能世界（Possible Worlds）的概念。一个命题在某个世界是必然为真的，意味着它在所有可达的世界中都为真。我们将分析不同的公理系统（如S4, S5）如何对应于不同的可达性关系。 结语：逻辑作为思维的工具 《逻辑的构建》旨在向读者展示，逻辑学并非是僵化的教条，而是一套精妙的、持续进化的工具箱。它教会我们如何清晰地思考、有效地沟通，以及如何审慎地评估我们所接触到的每一个论断。掌握了这些形式化的结构，我们便能更好地理解数学的严谨性、哲学的深度，以及科学探究的内在驱动力。本书提供的，是构建任何复杂知识体系所需的坚实逻辑地基。

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这本书的第二版相较于第一版，在深度和广度上都有显著的提升，特别是对现代数学工具的融合，让人耳目一新。我注意到，它在描述欧氏空间中的度量和距离时，引入了内积空间的现代观点，这使得原本看似简单的勾股定理，一下子被提升到了一个更具普适性的代数层面。这种将古典几何与现代线性代数无缝对接的能力，是这本书最宝贵的财富之一。我过去尝试过用纯粹的解析几何去处理复杂曲线的曲率问题，过程冗长且极易出错。但在学习了本书关于曲率的微分几何预备知识后，我发现问题迎刃而解，计算的优雅性令人赞叹。此外，对于拓扑学概念的引入也是恰到好处，没有走得太远，但足以让读者感受到几何学远不止于平面和三维空间。它像是在高墙上凿开了一个小小的窗口，让我窥见了无限可能性的领域。这本书的阅读过程，更像是一次智力上的探险，每一次翻页都能带来“原来如此”的顿悟感，让我对数学的统一性有了更深的敬畏。

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这本《几何基础》（第二版）的出现，对我而言真是一场及时的雨。说实话，我过去在处理很多涉及到空间关系和结构力学的问题时，总是感觉基础不牢，像是盖楼地基没打好，一到深入就摇摇欲坠。这本书的叙述方式非常注重逻辑的严谨性，它不像有些教材那样上来就抛出一堆复杂的公式，而是耐心地从最基本的概念，比如点、线、面的定义出发，一步步构建起整个几何学的宏伟殿堂。我特别欣赏它在解释欧几里得几何与非欧几何的过渡部分的处理，作者没有简单地将两者对立，而是深入剖析了公理系统的依赖性，这让我对“真理”的相对性有了更深一层的理解。书中的插图质量极高，很多复杂的立体结构和拓扑变换，仅仅通过几笔线条的勾勒，就清晰地展现了其内在的联系。尤其是在讲述投影几何的那几章，那种将三维世界“压扁”到二维平面上的思维转换，读起来酣畅淋漓，解决了我在三维建模时长期困扰的一些可视化难题。它不是那种让人望而生畏的纯理论书，更像是一位经验丰富的老师，手把手地引导你，让你在理解每一步推导的同时，也能感受到几何学的内在美感和它在工程、艺术领域中的实际应用价值。

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作为一名非专业背景的爱好者，我原本对阅读纯粹的数学专著心存芥蒂，总担心会因为术语的生僻和论证的跳跃性而中途放弃。然而，《几何基础》（第二版）成功地打破了这种恐惧。它的语言风格是极其平易近人的，即便是最深奥的定理，作者也会先用一种非常直观的例子或类比来铺垫。例如，在解释共轭直径和极点关系时，作者用了一个非常生动的关于影子投射的例子，一下子就把抽象的对偶性原理形象化了。这种教学上的用心，使得阅读体验非常顺畅，几乎没有“卡壳”的感觉。虽然内容涉及大量证明，但书本非常注重“为什么”而非仅仅“是什么”。它引导读者去思考为什么特定的公理选择会导致特定的几何结构，这培养了一种批判性的思维方式。如果你是自学，并希望在没有导师指导的情况下，仍能保持学习的动力和对知识的真正掌握，这本书无疑是最佳选择之一。它提供的知识密度很高，但阅读起来却丝毫不觉得枯燥晦涩，这本身就是一种极高的艺术成就。

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我花了相当长的时间在寻找一本真正能“扎根”的几何学教材，市面上很多书要么过于偏重纯粹的分析工具，把几何的直观性给磨没了，要么就是停留在中学知识的简单重复上。这本《几何基础》（第二版）的独到之处在于它巧妙地平衡了严谨的代数处理和深刻的几何直觉培养。我最喜欢的是它在向量空间和仿射几何部分的阐述。作者没有回避矩阵运算，但所有运算都紧密地服务于几何意义的表达。比如，在解释线性变换时，它不是冷冰冰地给出变换矩阵，而是通过一系列旋转、拉伸、剪切的动态过程图景来呈现，让我清晰地看到原本的形状是如何被“扭曲”或“重塑”的。这种“以形驭数”的教学理念，极大地激发了我对更高阶几何学——如微分几何——的兴趣。坦白讲，以前我对这些概念感到十分抽象，但读完这本书后，我开始能想象出这些高维空间的“形状”和“弯曲”了。对于任何想要从事计算机图形学、机器人学或者现代物理学研究的人来说，这本书提供的基础框架，是无比坚实和可靠的基石。它教会我的不只是“如何计算”，更是“如何思考空间”。

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这本教材的排版和设计也值得称赞，这对于需要长时间面对数学符号的学习者来说至关重要。第二版在细节上的改进体现了对读者体验的尊重。纸张的质感很好，光线反射柔和，长时间阅读眼睛不容易疲劳。符号的标注清晰明确，公式的编号和引用系统设计得非常人性化，使得在回顾特定引理或定理时，定位速度极快。我尤其欣赏它在每一章末尾设置的“拓展阅读与思考题”部分。这些题目并非简单的公式应用，而是鼓励读者去探索不同几何系统之间的联系，比如如何用有限域上的几何来类比欧氏空间中的某些性质。这些开放性的问题极大地拓展了我的视野，促使我不仅仅停留在书本的既有框架内。总的来说，这本书不仅仅是一本教科书，更像是一份精心制作的几何学“导览手册”，它为我未来的学习铺设了一条宽阔、清晰且充满吸引力的道路。

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今天回顾了一下给的公理体系，想不到是深深的代数即视感。

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