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出版者:Springer

作者:Patrick Morandi

出品人:

页数:297

译者:

出版时间:1996-7-25

价格:USD 79.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387947532

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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纯粹代数探幽：域、环与模的结构之旅 图书名称： 《纯粹代数探幽：域、环与模的结构之旅》 作者： [此处留空，或填入虚构作者名] 出版社： [此处留空，或填入虚构出版社名] --- 内容简介： 本书《纯粹代数探幽：域、环与模的结构之旅》并非对经典场论或伽罗瓦理论的传统复述，而是一次深入现代代数结构核心的全新探索。本书着重于构建严谨的理论框架，通过对抽象代数对象——域、环和模——的结构性分析，揭示它们在构建数学大厦中的基础作用。全书结构精密，逻辑推进层层递进，旨在为读者提供一个既全面又深刻的现代代数视角。 第一部分：环论的基石与深层结构 本书的开篇聚焦于环论。我们不满足于对交换环和理想的初步认识，而是深入探讨了更精细的结构分类和拓扑联系。 第一章：环的泛化与分类 本章详细剖析了非交换环的复杂性，特别是引入了同调代数的初步概念，用以衡量环的“非交换程度”。我们探讨了Artin 环和Noether 环的对偶性，并着重研究了满足特定升链或降链条件的环，例如 Cohen 环，以及它们在代数几何中作为局部环基础的重要性。 第二章：模块的表示理论初探 环的结构最终通过其上的模得以体现。本章超越了有限生成自由模的范畴，重点考察了内射模和投射模的构造，并引入了导出范畴的思想，以理解在分解和构造过程中出现的非精确性。我们详尽讨论了Grundy 域上的模结构，以及它们如何关联到代数群的表示理论。 第三章：同调工具箱与深度分析 本章是理论深入的关键。我们详细构建了Tor 函子和Ext 函子的完整构造，并阐明了它们在衡量环扩张复杂性上的作用。特别是，我们探讨了全局维度的概念，分析了正则局部环的特征，以及如何利用Serre 范畴来研究模的局部性质和全局性质之间的桥梁。 --- 第二部分：域理论的拓展与算术几何的隐秘联系 在奠定坚实的环与模基础之后，本书将视角转向域的结构，但并非停留在伽罗瓦理论的经典范畴内，而是将其置于更广阔的算术几何背景下进行审视。 第四章：域扩张的高级结构 本章重新审视了域扩张，重点在于代数簇上的函数域。我们深入研究了完美域和准完美域的性质，并探讨了超限域（Transfinite Fields）的存在性及其在构造某些特定代数结构中的作用。此外，我们详细考察了p-进数域 $mathbb{Q}_p$ 的构造，而非仅仅将其视为完备化，而是着重分析其内在的拓扑群结构和乘法群的结构定理。 第五章：环的局部化与代数几何的交汇 本章探讨了域的局部化如何成为连接代数与几何的关键。我们分析了准局部环的结构，以及它们如何用于描述代数簇的奇点。这里，我们引入了环化（Ringification）的概念，用于研究在特定拓扑限制下，代数结构如何“收缩”或“拉伸”，并与Scholze 理论中的严格域概念进行初步的对话，尽管不深入其复杂性，但旨在展示域结构在现代分析中的新角色。 第六章：代数 K 理论的视角 为了超越传统的伽罗瓦理论，本书引入了代数 K 理论的 Rudiment。我们构建了Milnor K 理论的初级概念，将其与域的 $K_1$ 群联系起来，并展示了 Bloch-Ogus 猜想在连接同调代数与代数 K 理论中的核心地位。这部分内容旨在展示域的结构不仅是解根的工具，也是衡量几何对象代数复杂性的量尺。 --- 第三部分：模结构与代数分解的统一性 最后一部分将注意力集中于模的内在分解能力，并展示这些分解如何指导我们理解更复杂的代数对象。 第七章：分解理论：直和与张量积的限制 本章深入研究了模的分解理论，重点关注拟同构和基本分解。我们详细分析了分解范畴（Decomposition Categories）的概念，用于描述哪些模可以被唯一地分解为更简单的模之和。与经典的 Jordan-Hölder 定理不同，我们探索了在非 Artinian 模中，这种分解的局限性以及如何使用 Radical 来控制非分解部分。 第八章：非交换环上的结构分解：自同构与同构 本章处理非交换环上的模的自同构群和同构分类问题。我们引入了导出范畴中稳定同构的概念，用于平滑地比较不同环上的模结构。本章特别关注了倾斜模（Tilting Modules）及其在连接不同代数表示之间的桥梁作用，这为理解复杂代数系统的相互转化提供了强大的工具。 第九章：上同调与结构张量 在总结部分，我们将同调代数的工具（上同调）应用于模结构。我们探讨了群上同调与环上同调的差异，并展示了Hochschild 上同调如何量化一个环的变形空间。本书的收尾部分通过分析特定代数结构上的张量代数，揭示了域、环和模的结构是如何在更高级的构造中统一起来，共同描绘出纯粹代数世界的全景图。 --- 本书特点： 结构导向： 强调代数对象的内在结构而非仅仅是求解特定方程（如伽罗瓦群）。 现代性： 引入了同调代数、代数 K 理论的初步概念，将读者导向当代研究前沿。 严谨的证明体系： 所有核心定理均提供详尽且细节无遗的证明，适合具有扎实线性代数和初步抽象代数背景的读者。 本书适合高年级本科生、研究生以及希望系统性回顾和深化对域、环与模结构理解的数学研究人员。阅读本书将为探索代数几何、代数拓扑和表示论打下不可或缺的坚实基础。

评分☆☆☆☆☆

专门写galois的书并不太多，大家多数比较推崇E.Artin的那本。作者是在NMSU做division algebra和一些valuation相关的东西，本人名气不大，而且这本书写的比较新，94年出版的。从作者的主页上来看，这个人在NMSU也只是教一些基础课程。一般来说这样一本书是很难称的上名著的，但...

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

这本书对我理解抽象代数的精髓起到了决定性的作用。作者在梳理域理论和伽罗瓦理论时，展现了一种罕见的逻辑严谨性和结构性。从域的基本属性，如封闭性、分配律等，到更复杂的概念，如域扩张的次数和基，本书都进行了细致的讲解。我尤其赞赏作者对“有限扩张”和“无限扩张”的区分，以及如何通过“基”的概念来度量扩张的“大小”。书中对“简单扩张”的构造，以及如何通过添加根来生成新的域，都为我提供了重要的技术手段。在伽罗瓦理论部分，作者更是将理论的深度和清晰度完美结合。对“分裂域”的构造和唯一性证明，是理解伽罗瓦群的关键一步。书中详细阐述了伽罗瓦群的作用，以及它如何反映域扩张的对称性。对“基本定理”的阐释，可谓是全书的“定海神针”，它将域扩张的子域与伽罗瓦群的子群联系起来，构建了一个深刻而优美的对应关系。书中对“可分扩张”和“正规扩张”的论述，以及它们在伽罗瓦理论中的重要性，都得到了充分的揭示。此外，书中关于“不动点”和“固定域”的讨论，也让我对伽罗瓦群的性质有了更深的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本《Field and Galois Theory》无疑是我近年来阅读过的最令人印象深刻的数学著作之一。它的深度和广度，以及作者在梳理复杂概念时的清晰思路，都让我惊叹不已。从最基础的域扩张开始，作者循序渐进地引入了诸如正规扩张、可分扩张等关键概念，并对它们的性质进行了详尽的阐述。我特别欣赏书中对各种构造性证明的详细展示，比如如何构造特定类型的域，以及如何证明某些域扩张的不可约性。这些细节的处理，让我在理解抽象概念的同时，也学会了如何将其转化为具体的数学操作。高潮部分无疑是伽罗瓦理论的介绍，作者通过大量的例子和直观的解释，将抽象的伽罗瓦群与域扩张的结构联系起来，使得原本枯燥的概念变得生动有趣。尤其是对多项式根式可解性的讨论，书中不仅给出了理论证明，还深入分析了具体的多项式，这对于我理解这一核心概念至关重要。此外，书中对有限域的独立章节也令我受益匪浅，它不仅扩展了我的视野，也让我看到了伽罗瓦理论在数论等领域的重要应用。总而言之，这是一本值得反复研读的经典之作，它不仅提升了我的理论理解能力，也激发了我对数学更深层次的探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让我对数学的抽象之美产生深刻敬畏的书籍。《Field and Galois Theory》以其卓越的清晰度和严谨性，为我深入理解抽象代数领域中的核心概念提供了坚实的基础。作者在处理域和伽罗瓦理论时，展现了一种非凡的组织能力和逻辑严谨性。从域的定义和基本性质，到域扩张的次数和结构，本书都进行了循序渐进的讲解。我特别喜欢书中对“素域”和“特征”概念的阐释，它们是理解所有域结构的基础。作者在引入“正规扩张”和“可分扩张”时，并没有直接给出定义，而是通过对多项式根的性质和域的自同构群的分析，引导读者逐步领悟这些概念的本质。伽罗瓦理论部分无疑是本书的重头戏，作者以一种非常系统的方式，介绍了“伽罗瓦群”的构造，以及它如何反映域扩张的对称性。对“基本定理”的论证，更是全书的亮点，它将域扩张的子域与伽罗瓦群的子群联系起来，构建了一个深刻而优美的对应关系。书中对“分裂域”和“其唯一性”的讨论，是理解伽罗瓦理论的关键一步。此外，书中对“有限域”的深入探讨，也为我展示了伽罗瓦理论在数论和密码学等领域的广泛应用，极大地扩展了我对数学应用领域的认知。

评分☆☆☆☆☆

《Field and Galois Theory》是一部让我对数学的抽象之美产生深深敬畏的书。作者在梳理域扩张和伽罗瓦理论时，展现了非凡的组织能力和清晰的思路。从域的基本性质，如加法群和乘法群的结构，到域扩张的次数和性质，本书都进行了细致入微的阐述。我尤其欣赏作者在引入“代数扩张”和“超越扩张”时所采用的方法，它们不仅仅是定义，更是通过一系列巧妙的例子来帮助读者建立直观的理解。书中对“有限扩张”的讨论，以及如何通过“基”来量化扩张的“规模”，都为我提供了重要的工具。在伽罗瓦理论部分，本书可谓是精妙绝伦。作者以一种非常系统的方式，介绍了“伽罗瓦群”的构造，以及它与域扩张之间的深刻联系。对“基本定理”的论证，堪称全书的精华，它将域扩张的结构与群的结构完美地统一起来。书中对“正规扩张”和“可分扩张”的深入探讨，以及它们在伽罗瓦理论中的关键作用，都得到了充分的揭示。此外，书中对“根式可解性”的讨论，将抽象的理论与数学史上的重要问题相结合，极具启发性。

评分☆☆☆☆☆

这本书为我深入理解抽象代数的概念提供了一个坚实的平台。作者在处理域和伽罗瓦理论时，展现了一种出色的叙事能力和逻辑严谨性。从最基础的域的定义，到域扩张的次数和性质，本书都进行了循序渐进的讲解。我特别喜欢书中对“有限生成域”的讨论，以及如何通过“基”的概念来描述域扩张的“大小”。作者在引入“正规扩张”和“可分扩张”时，并没有直接给出它们的定义，而是通过对多项式根的行为和域的自同构的分析，引导读者逐步理解这些概念的精髓。伽罗瓦理论部分无疑是本书的核心，作者以一种非常系统的方式，介绍了“伽罗瓦群”的构造，以及它如何反映域扩张的对称性。对“基本定理”的阐释，更是将域扩张的子域与伽罗瓦群的子群联系起来，构建了一个深刻而优美的对应关系。书中对“分裂域”和“其唯一性”的讨论，是理解伽罗瓦理论的关键一步。此外，书中关于“有限域”的应用，也让我看到了伽罗瓦理论在数论和密码学等领域的重要价值。

评分☆☆☆☆☆

《Field and Galois Theory》是一本能够真正让你领略数学之美的著作。作者在梳理域扩张和伽罗瓦理论时，展现了一种非凡的组织能力和清晰的逻辑。从域的基本属性，到域扩张的次数和结构，本书都进行了细致的讲解。我尤其赞赏作者对“中间域”概念的引入，它为后续的伽罗瓦理论奠定了坚实的基础。书中对“不可约多项式”和“代数元”的讨论，以及如何通过“最小多项式”来刻画代数扩张，都让我对域扩张的构造有了更清晰的认识。在伽罗瓦理论部分，本书展现了其卓越的深度和广度。作者不仅详细阐述了“伽罗瓦群”的定义和构造，更重要的是，他揭示了伽罗瓦群与域扩张之间那深刻而精妙的对应关系。对“基本定理”的论证，可谓是本书的精华，它将域扩张的结构与群的结构紧密联系起来，形成了一个强大的理论框架。书中对“正规扩张”和“可分扩张”的深入探讨，以及它们在伽罗瓦理论中的核心作用，都得到了充分的揭示。

评分☆☆☆☆☆

这本书为我打开了一个全新的数学世界。作者在处理域扩张和伽罗瓦理论时，展现了卓越的教学能力和逻辑严谨性。从域的定义和基本性质，到域扩张的次数和结构，本书都进行了详尽而富有启发性的讲解。我特别喜欢书中对“素域”和“特征”概念的阐释，它们是理解所有域结构的基础。作者在引入“正规扩张”和“可分扩张”时，并没有直接给出定义，而是通过对多项式根的性质和域的自同构群的分析，引导读者逐步领悟这些概念的本质。伽罗瓦理论部分无疑是本书的重头戏，作者以一种非常系统的方式，介绍了“伽罗瓦群”的构造，以及它如何反映域扩张的对称性。对“基本定理”的论证，更是全书的亮点，它将域扩张的子域与伽罗瓦群的子群联系起来，构建了一个深刻而优美的对应关系。书中对“分裂域”和“其唯一性”的讨论，是理解伽罗瓦理论的关键一步。此外，书中对“有限域”的深入探讨，也为我展示了伽罗瓦理论在数论和密码学等领域的广泛应用。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的最大震撼，在于它对抽象代数结构精妙洞察的展现。作者在处理域和伽罗瓦理论时，展现了一种非凡的组织能力和逻辑清晰度。开篇对域的定义和基本性质的探讨，虽然基础，却为后续更为复杂的理论奠定了坚实的基础。我尤其欣赏作者在引入不可约多项式和代数扩张时所采用的路径，它们并非简单地陈述定理，而是通过一系列精心设计的例子，让读者逐步领悟这些概念的深刻含义。书中的一个亮点是对“素域”和“特征”概念的阐释，它们看似简单，却是理解所有域结构的关键。随着内容的深入，作者开始探讨正规扩张和可分扩张，并详细讨论了它们的传递性以及与多项式根的性质之间的联系。在伽罗瓦理论部分，这本书可谓是精彩绝伦。作者没有回避其抽象性，而是通过深入浅出的方式，将伽罗瓦群的定义、性质以及它与域扩张之间的对应关系描绘得淋漓尽致。对“基础定理”（Fundamental Theorem of Galois Theory）的论证，更是全书的一个重要里程碑，作者在此处展示了令人信服的逻辑推理和严谨的证明。此外，书中关于可解群和根式可解性的讨论，将伽罗瓦理论的应用推向了新的高度，让我对数学问题的解决有了更直观的认识。

评分☆☆☆☆☆

阅读《Field and Galois Theory》的过程，就像是在攀登一座思想的 Everest。作者以其深厚的学养和高超的教学技巧，将原本可能令人生畏的抽象概念，化作了一条条清晰可辨的路径。从最基础的域的概念，如加法群、乘法群的性质，到域扩张的定义和分类，本书都进行了详尽而富有洞察力的阐述。我特别喜欢书中对“代数元素”和“超越元素”的区分，以及如何通过最小多项式来刻画代数扩张。作者在引入正规扩张和可分扩张时，并没有直接给出定义，而是通过对多项式根的性质和域的自同构群的分析，引导读者逐步理解这些概念的本质。伽罗瓦理论部分更是本书的精华所在。作者以一种非常系统的方式，介绍了伽罗瓦群的构造，以及它与域扩张之间的双射关系，尤其是对“中间域”的讨论，让我对这种结构性联系有了深刻的理解。书中对“基本定理”的证明，可以说是对整个理论体系的完美总结，作者层层递进的逻辑让整个证明过程清晰明了。此外，书中关于高次方程根式可解性的讨论，将抽象的理论与具体的历史问题联系起来，极大地增强了阅读的吸引力。对有限域的深入探讨，也为我打开了新的视野，展示了伽罗瓦理论的广泛应用前景。

评分☆☆☆☆☆

《Field and Galois Theory》是一本能够真正触及数学核心的著作。作者以其非凡的洞察力，将抽象代数中最具魅力的部分——域扩张和伽罗瓦理论，呈现在读者面前。本书的开篇，对域的基本结构进行了细致的考察，包括加法和乘法的性质，以及域的各种子结构。我尤其欣赏作者对“中间域”概念的引入，它为后续的伽罗瓦理论奠定了基础。书中对“不可约多项式”和“代数元”的讨论，以及如何通过“最小多项式”来刻画代数扩张，都让我对域扩张的构造有了更清晰的认识。在伽罗瓦理论部分，本书展现了其卓越的深度和广度。作者不仅详细阐述了“伽罗瓦群”的定义和构造，更重要的是，他揭示了伽罗瓦群与域扩张之间那深刻而精妙的对应关系。对“基本定理”的论证，可以说是本书的亮点，它将域扩张的结构与群的结构紧密联系起来，形成了一个强大的理论框架。书中对“正规扩张”和“可分扩张”的详细讨论，以及它们在伽罗瓦理论中的核心作用，都得到了充分的体现。此外，书中对“根式可解性”和“三次、四次方程”的讨论，将抽象的理论与具体的历史问题相结合，极具启发性。

评分☆☆☆☆☆

不错的一本书，值得一看！就在一二年级的时候读，等你大三大四学代数数论，代数几何的时候就没时间了

评分☆☆☆☆☆

不错的一本书，值得一看！就在一二年级的时候读，等你大三大四学代数数论，代数几何的时候就没时间了

评分☆☆☆☆☆

无限代数扩张和超越扩张两章以后再看吧

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读了前三章，把经典的galois理论学了一遍，四五章貌似是关于代数几何的？不过应该确定以后会做分析方向了，大四闲下来前应该不会读完剩下的内容了

评分☆☆☆☆☆

初等书，配合着抽象代数一起看