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出版者:世界图书出版公司北京公司

作者:Zhe-Xian Wan

出品人:

页数:342

译者:

出版时间:2006-11

价格:49.00元

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isbn号码:9787506272919

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• 数学
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几何化理论与现代代数基础：群论、环论与域论的深度探索 本书导读： 本导读旨在为读者呈现一部扎根于现代抽象代数核心概念，同时又着重于结构性思维培养的数学专著。本书聚焦于群论、环论与域论三大基石，通过严谨的逻辑推导和丰富的例证，构建起一套完整的代数结构理论体系。它并非一部单纯的定理堆砌之作，而是致力于展现代数结构之间的内在联系及其在不同数学分支中的应用潜力。 第一部分：群论的宏观视角与结构解析 第一章：基础概念与运算律的奠基 本章伊始，我们首先系统梳理了代数结构的基本要素——集合、二元运算以及封闭性、结合律、单位元与逆元的严格定义。群（Group）的定义被置于核心地位，并随后引入了阿贝尔群（Abelian Group）的概念，以区分通勤性质对结构的影响。 重点在于子群（Subgroup）的概念引入，并详细探讨了子群判别准则的重要性。在此基础上，我们深入探讨了陪集（Coset）的概念，这是通往商群构造的桥梁。陪集的左右差异及其在非阿贝尔群中的复杂性，是理解群结构分解的关键。 第二章：群的同态与同构——结构间的映射 本章聚焦于群间的关系。群同态（Group Homomorphism）被定义为保持运算结构的映射，其重要性在于它允许我们将复杂的群结构映射到更易于分析的群结构上。我们详细分析了同态的核（Kernel）和像（Image）的性质，尤其是核作为正规子群的地位。 正规子群（Normal Subgroup）的引入是本章的难点与重点。正规性作为群内部结构对称性的体现，是构造商群的先决条件。随后，商群（Quotient Group）的构造及其运算规则被详细阐述，展示了如何在原群中“折叠”出新的代数结构。 第三章：结构分解与经典定理 本章将理论推向深入，探讨了群的内部结构如何被分解。拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）作为有限群论的基石，其逆定理的局限性也被指出。 我们全面审视了直积（Direct Product）和半直积（Semidirect Product）的概念，通过这些构造方法，展示了如何通过已知的较小群来构建更复杂的群。 针对特定类型的群，如循环群（Cyclic Group），我们给出了其子群结构的完全描述。对于更具挑战性的非阿贝尔群，如二面体群（Dihedral Group）和对称群（Symmetric Group），我们通过具体计算和矩阵表示，揭示了它们作为非平凡群的特性。 第二部分：环论的拓展与模结构的萌芽 第四章：环的定义、子环与理想 本章将代数结构从单操作（群）扩展到双操作（加法与乘法）。环（Ring）的定义及其满足的条件（加法构成阿贝尔群，乘法满足结合律，并满足分配律）被清晰界定。我们区分了交换环（Commutative Ring）和单位环（Ring with Unity）。 子环（Subring）和零因子（Zero Divisor）的概念随后被引入，零因子的存在性是区分不同类型环的关键指标。 本章的核心在于理想（Ideal）的概念。理想是环中在加法和乘法运算下都具有特定封闭性的结构，它是环论中类似正规子群的关键概念。我们详细讨论了主理想（Principal Ideal）和由元素生成的理想。 第五章：同态、商环与整环 与群论类似，环同态（Ring Homomorphism）保持了环的两个基本运算。同态的核仍是一个特殊的理想，导出了商环（Quotient Ring）的构造。商环的运算性质依赖于原环中理想的特性。 我们引入了具有特殊乘法性质的环类型：整环（Integral Domain），其特点是没有非零零因子。随后讨论了域（Field）的概念，域是乘法具有逆元的整环。域在后续的代数扩张中扮演着至关重要的角色。 第六章：主理想域、欧几里得整环与多项式环 本章深入探讨具有良好除法性质的环结构。主理想域（Principal Ideal Domain, PID），其中每个理想都是主理想，是研究数论性质的理想环境。 欧几里得整环（Euclidean Domain）通过引入“范”（degree function）的概念，使得我们可以构造出欧几里得算法，这在数论中具有实际意义。我们证明了欧几里得整环蕴含PID。 多项式环（Polynomial Ring）的结构分析是本章的重头戏。在域上构造的多项式环继承了域的许多优良性质，特别是其除法算法和因式分解的唯一性问题，为域扩张理论打下了坚实基础。 第三部分：域的扩张与伽罗华理论的预备 第七章：域与域的扩张 本章集中于域的性质及其扩张。我们探讨了特征（Characteristic）的概念，区分了零特征域（如实数域 $mathbb{R}$）和素数特征域。 域扩张（Field Extension）的定义是代数几何和函数域理论的基础。扩张的次数（Degree of Extension）是衡量扩张“大小”的关键度量。我们引入了代数元（Algebraic Element）和超越元（Transcendental Element）的概念。 第八章：代数扩张与最小多项式 本章侧重于代数元的精确描述。对于域 $F$ 中的一个代数元 $alpha$，其最小多项式（Minimal Polynomial）被定义为所有首一的、在 $F$ 上有根的、次数最低的多项式的。最小多项式的唯一性和不可约性是关键属性。 随后，我们探讨了代数扩张（Algebraic Extension），即域中所有元素都是代数元的扩张。本章通过明确代数扩张的构造，展示了如何从一个基础域“生成”出一个更大的代数封闭域。 第九章：超越扩张与构造 与代数扩张相对立的是超越扩张（Transcendental Extension）。本章通过介绍自由基（Basis）的概念，为理解域的线性代数结构提供了工具。超越扩张的构造，例如函数域，展示了代数结构在分析而非数论问题中的应用。 本书的叙述逻辑旨在引导读者从最基础的运算律出发，逐步深入到结构分解的复杂性，最终为理解更高级的代数结构（如伽罗华理论）做好充分的理论和直觉准备。全书的重点始终在于结构之间的内在联系、保持结构的映射，以及如何通过构造和分解来理解抽象对象的本质。

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接触这本书，是因为我对代数几何的一些基本概念感到好奇，而有限域和伽罗华理论是其中的重要基石。《有限域和伽罗华环讲义》以其严谨的逻辑和清晰的阐述，为我提供了一个极佳的学习平台。书中对有限域的分类和构造，以及对伽罗华扩张的刻画，都让我印象深刻。我尤其关注书中关于伽罗华群在解决多项式方程中的作用，以及如何通过分析群的结构来判断方程根式的可解性。这部分内容，在我看来是整个理论的核心。我非常喜欢书中循序渐进的讲解方式，它能够帮助我在理解一个概念的基础上，逐步深入到下一个更复杂的问题。这本书的出版，无疑为许多渴望深入理解代数理论的读者提供了宝贵的资源，也为我在代数几何的进阶学习打下了坚实的基础。

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这本书给我的感觉是，它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师。《有限域和伽罗华环讲义》以一种非常系统和深入的方式，为我介绍了有限域和伽罗华理论的知识。我尤其欣赏书中对伽罗华群的分析，以及它如何与域扩张的结构联系起来，这部分内容给我留下了深刻的印象。我非常喜欢作者在讲解过程中所使用的清晰语言和严谨的逻辑，这使得抽象的数学概念变得易于理解。这本书无疑为我打开了通往更广阔代数领域的大门，也让我对数学的理解达到了一个新的高度。

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在我看来，一本优秀的数学教材，不仅在于内容的深度，更在于它能否激发读者的学习兴趣。《有限域和伽罗华环讲义》在这方面做得非常出色。书中对有限域的介绍，以及伽罗华理论的建立，都充满了一种探索的乐趣。我尤其期待书中关于伽罗华群在多项式方程根式可解性方面的应用，这部分内容是我一直以来都非常感兴趣的。我相信，通过这本书的学习，我不仅能够掌握扎实的理论知识，更能够培养一种对数学的批判性思维能力，这对于我今后的学习和研究都将产生深远的影响。

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我是一名对理论数学抱有浓厚兴趣的学生，尤其是在代数领域，我一直在寻找能够真正激发我思考的书籍。《有限域和伽罗华环讲义》无疑满足了我的期待。它不仅仅是理论的堆砌，更是一种思想的传递。从有限域的构造，到伽罗华理论的建立，整个过程都充满了数学的美感和智慧。我尤其欣赏书中对历史背景的介绍，这让我了解到这些重要概念是如何在数学家的探索中逐渐形成的，这使得学习过程更加生动有趣。我非常期待书中对可解群与方程根式可解性之间联系的阐述，这应该是伽罗华理论最经典的成果之一。理解这部分，不仅能够深化对抽象代数的认识，也能让我对数学史上的伟大突破有更深的理解。这本书的深度和广度都令人称赞，它为我提供了一个坚实的理论基础，让我能够进一步探索更广泛的数学领域，并对未来的研究方向产生积极的影响。

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读完这本书的目录和部分章节，我感觉自己仿佛置身于一个由抽象概念构建的精妙世界。《有限域和伽罗华环讲义》不仅仅是一本教材，更像是一次思维的训练。它带领我从最基本的代数结构开始，逐步构建起有限域的理论，并最终引向了伽罗华理论的宏伟殿堂。我非常欣赏书中对证明的详细分析，以及对各个定理之间内在联系的梳理。特别是关于伽罗华群的性质，它如何反映出域扩张的对称性，这部分内容是我最期待深入探索的。我相信，通过这本书的学习，我不仅能够掌握有限域和伽罗华理论的知识，更能培养一种严谨的数学思维方式，这对于我今后的学习和研究都将受益匪浅。它就像一盏明灯，照亮了我通往更深层次代数理解的道路。

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这本书的名字虽然叫做《有限域和伽罗华环讲义》，但给我的感觉远不止是一本枯燥的教材。我一直对代数数论中的深刻思想充满好奇，特别是那些能够串联起看似毫不相关的数学概念的桥梁。在翻阅这本书的目录和前言时，我便被它严谨的逻辑和清晰的脉络所吸引。虽然我还没有深入到每一个证明的细节，但单从它对有限域这一基础概念的引入，以及如何逐步构建出伽罗华理论的宏伟框架，我就能感受到作者在教学上的功力。它不仅仅是列举定义和定理，更像是在引导读者一步步探索数学的真谛，去理解为什么这些结构会以这样的方式存在，它们之间又有着怎样的内在联系。我尤其期待它在介绍伽罗华对应时，能够深入浅出地阐述群论与域扩张之间的深刻关系，那将是理解许多更高级代数问题的关键。这本书就像一位经验丰富的向导，带领我穿越抽象代数的迷宫，让我对数学的理解不再停留在表面，而是能够触及到其灵魂深处。我已经迫不及待地想沉浸其中，去感受那些精妙的数学构造所带来的震撼。

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我一直对数学中的结构和对称性有着浓厚的兴趣，而《有限域和伽罗华环讲义》恰恰满足了我对这些概念的追求。书中对有限域的构造，以及伽罗华理论的建立，都展现了数学的精妙之处。我尤其喜欢书中对伽罗华群的性质的详细讨论，它如何反映出域扩张的对称性，这部分内容给我留下了深刻的印象。我非常欣赏作者在讲解过程中所展现出的清晰的逻辑和深刻的洞察力，这使得抽象的数学概念变得易于理解。这本书无疑为我打开了通往更广阔代数领域的大门，也让我对数学的理解达到了一个新的高度。

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在学习数学的过程中，我常常觉得有些概念虽然重要，但却很难找到一本能够真正“讲明白”的书。而《有限域和伽罗华环讲义》在这一点上，给我留下了非常深刻的印象。它并没有回避那些看似艰涩的证明，而是以一种非常友好的方式呈现出来，仿佛作者就在我身边，一步一步地为我梳理思路。我非常欣赏它在讲解有限域的性质时，所采用的例子和类比，这些都极大地帮助我理解了抽象的定义。特别是关于域扩张的最小多项式和本原元定理，这本书的讲解让我豁然开朗。我一直对代数数论在密码学等领域的应用感到着迷，而这本书似乎为我打开了通往这些应用的大门。它所构建的理论基础，对于理解编码理论、计算数论等都至关重要。我特别想知道，书中关于伽罗华群的结构分析，以及它如何与域的自同构联系起来，这部分往往是许多教材的难点，但我相信这本书会有独到的见解，能够让我真正掌握这一核心概念。

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对于我这样一个在数学学习道路上不断探索的人来说，《有限域和伽罗华环讲义》的出现，无疑为我提供了一次宝贵的学习机会。它不仅仅是一本关于数学理论的书，更是一本能够引发思考、激发灵感的著作。书中对有限域的定义和性质的阐述，以及对伽罗华理论的介绍，都让我感受到了数学的魅力。我尤其关注书中关于伽罗华群的构造和性质，这部分内容直接关系到对代数方程根式可解性的理解，对我来说具有重要的意义。我非常喜欢作者在讲解过程中所使用的清晰语言和严谨的逻辑，这使得抽象的数学概念变得易于理解。这本书无疑是我在代数领域学习道路上的一个重要里程碑，它为我打开了新的视野，并激发了我对更深层次数学探索的渴望。

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这本书给我的第一印象是它的严谨性和系统性。《有限域和伽罗华环讲义》以一种非常结构化的方式，为读者呈现了有限域和伽罗华理论的核心内容。我尤其欣赏书中在介绍伽罗华理论时，对域扩张的分类和性质进行的深入分析。我一直对数学中那些看似抽象的概念如何能够深刻地解释现实世界的问题感到好奇，而这本书似乎为我揭示了其中的奥秘。我相信，通过对书中关于伽罗华群的深入研究，我能够更好地理解代数数论在编码理论、密码学等领域的应用。这本书不仅为我提供了一个坚实的理论基础，更重要的是，它激发了我对数学更深层次的探索欲望，让我对抽象代数有了更深刻的认识。

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有限域的经典读物，中国人写的英语课本

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这个学期的课本，开始还觉得读不下去

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