微分几何及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:机械工业

作者:奥普里

出品人:

页数:352

译者:陈智奇

出版时间:2006-9

价格:49.00元

装帧:

isbn号码:9787111192695

丛书系列:华章数学译丛

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拓扑学基础与现代几何的桥梁：一部关于空间、结构与形变的深度探索 本书聚焦于现代数学的核心领域——拓扑学，旨在为读者构建一个理解空间本质、结构不变量以及形变规律的坚实基础。它避开了传统微分几何中对黎曼度量和曲率的直接依赖，而是深入挖掘了拓扑空间自身的内在属性和连续形变的内在机制。 第一部分：抽象空间的构建与拓扑基础 本书的开篇将带领读者进入高维抽象空间的构建过程。我们首先从集合论的严谨视角出发，定义拓扑空间，这是一种比度量空间更为普适的概念，它仅依赖于开集的家族来刻画邻近性。我们将详细探讨如何从一个度量空间诱导出拓扑结构，并介绍拓扑学中最重要的工具之一：连续函数的拓扑定义，即原像下保持开性的性质。 接下来的章节将专注于拓扑空间的分类与辨识。我们将引入可分离性公理（如 $T_1, T_2$ 豪斯多夫性质），这些性质是确保拓扑空间具有足够“良好”行为的关键。对于许多重要的空间（如欧几里得空间、流形等），豪斯多夫性质是必不可少的。 同胚，即保持拓扑结构的连续可逆映射，是拓扑学的核心概念。本书将详细剖析如何判断两个拓扑空间是否同胚。我们将引入拓扑不变量的概念，这些是无论空间如何连续形变都不会改变的量，是区分不同拓扑空间的关键。其中，连通性和紧致性是两个最基本也是最强大的不变量。连通性的讨论将从简单的路径连通性入手，扩展到更抽象的连通分支。紧致性的引入将侧重于 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 上的直观意义，并将其提升到一般拓扑空间中的开覆盖定义。 第二部分：同伦与基本群：形变的代数视角 要真正理解“形变而不撕裂”的含义，我们需要代数工具。本书将引入同伦理论，这是拓扑学中研究“洞”和“缠绕”的代数手段。 基本群（Fundamental Group， $pi_1(X, x_0)$） 是本书的重点之一。我们将定义路径和路径同伦，并严格证明基本群在给定基点下的群结构。基本群的强大之处在于，它能够区分具有不同“洞”的拓扑空间。例如，圆周 $S^1$ 和实直线 $mathbb{R}$ 在拓扑上是不同的，因为 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$，而 $pi_1(mathbb{R}) cong {e}$。我们将通过计算简单案例（如圆周、圆盘、环面）的基本群，展示其在几何分类中的威力。 进一步地，我们将探讨覆盖空间理论。覆盖映射是连接局部结构与整体结构的重要工具。在 $mathbb{R}^n$ 的背景下，覆盖空间的概念与多值函数的概念紧密相关。万有覆叠空间的存在性及其唯一性（在同构意义下）是本部分的高潮，它揭示了基本群如何“包裹”着空间结构。 第三部分：同调论：高阶“洞”的量化 虽然基本群非常有效，但它只能捕捉一维的“洞”（如圆周上的洞）。要系统地处理更高维度的结构，我们需要同调论。本书将采用一种更接近于代数拓扑的视角来介绍奇异同调群，避免了对单纯复形结构的过度依赖，使得理论能够直接应用于任意拓扑空间。 我们将定义链复形和边界算子，并在此基础上构建同调群 $H_n(X)$。同调群是对空间中 $n$ 维“空洞”数量的代数度量。我们将解释“边界的边界是零”这一核心概念在代数上的体现。 本书将详细展示如何计算常见空间的同调群： 1. 欧几里得空间 $mathbb{R}^n$： 所有同调群（除 $H_0$ 外）为零，直观反映了它是“没有洞”的空间。 2. 球面 $S^n$： 计算 $H_n(S^n) cong mathbb{Z}$，证明了球面的 $n$ 维“外壳”结构。 3. 环面 $T^2$： 计算其 $H_1$ 和 $H_2$ 群，展示其一维环绕结构和二维内部空洞的代数表示。 Mayer-Vietoris 序列作为同调论中的一个强大的分解工具，将被引入，它允许我们通过分解复杂空间为更小的、易于处理的部分来计算整体的同调群，这是解决复杂几何问题（如圆环的并集）的关键技术。 第四部分：拓扑学在分析中的应用 本书的最后一部分将把纯粹的拓扑概念与分析和几何的边缘领域联系起来，但仍严格限定在不涉及黎曼度量的框架内。 不动点定理： 我们将重点讨论布劳威尔不动点定理及其在二维空间中的直观解释，以及庞加莱-博尔苏克定理（在不使用流形分类的情况下，仅依赖于球面同伦群的性质）。这些定理直接展示了拓扑约束如何限制函数和映射的行为。 纤维丛基础： 我们将以一种拓扑的眼光介绍纤维丛的概念，将它们视为局部上像直积，但整体上可能有非平凡“缠绕”的结构。我们将介绍丛空间、基空间和纤维，并通过例子（如索 বিচ্ছিন্ন带或环面上的向量丛）说明拓扑结构如何影响局部信息的全局粘合方式。 总结： 本书是一部致力于构建坚实代数拓扑基础的著作。它提供了一种不依赖于光滑结构和度量张量，而是完全依赖于开集、连续性、同伦和同调来研究空间形状和结构不变性的方法论。它为读者提供了一种强大的数学语言，用以理解和区分那些在连续形变下保持其本质特征的几何对象。读者在完成本书的学习后，将能够运用代数工具精确地描述和区分复杂的拓扑空间结构。

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这本书给我的整体感觉，如同深入一座结构宏大、细节丰富的古代图书馆。它不提供快速导航图，所有的路径都需要读者自己去探索和构建。我对其中关于接触几何和辛几何的部分印象尤为深刻。作者没有回避这些相对“冷门”但至关重要的领域，而是给予了相当的篇幅进行细致的剖析。特别是当他处理到李群和李代数与微分几何的交叉点时，那种理论的优雅性令人叹服。阅读这本书的过程中，我体会到了一种知识的“沉淀感”——每当你以为掌握了一个概念时，稍后出现的更高维度的视角总会让你意识到自己所知的仅仅是冰山一角。它像一把尺子，丈量出你对现代几何学理解的深度，对于有志于从事理论研究的人来说，这是一部不可或缺的经典参照物。

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这本书，坦白说，初次翻开时颇有些让人望而生畏。那密密麻麻的符号和抽象的概念，仿佛一座座需要攀登的学术高峰。我记得自己花了很长时间才适应那种严谨到近乎苛刻的逻辑推导。它不像某些科普读物那样试图用生动的比喻来软化晦涩的知识点，而是直截了当地将你置于数学的腹地。我尤其欣赏作者在引入新的几何结构时所展现出的耐心，虽然文字本身并不花哨，但其内在的组织结构却如同精密的钟表，每一步的铺垫都为了后续更复杂的定理和应用做好了坚实的基础。阅读过程中，我时常需要反复对照前面的章节，确保自己完全理解了张量、联络这些核心工具的真正含义，而不是仅仅停留在符号操作层面。这本书的价值在于，它不是简单地罗列公式，而是教会你如何“思考”几何，如何从局部观测推导出整体的内在联系。对于那些真正想深入理解现代物理学或纯粹数学中几何学基础的读者来说，这无疑是一份厚重的“入场券”，尽管过程略显艰辛，但收获的知识深度是无可替代的。

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令人印象深刻的是，作者在处理一些经典几何概念时，融入了现代数学的视角。比如，在讲解测地线和变分原理时，他巧妙地引入了泛函分析的一些思想，使得原本看起来是纯粹的几何问题，瞬间拥有了更广阔的分析背景。这种跨学科的融合，是这本书超越一般教材的关键所在。我特别欣赏它对“曲率”这个核心概念的多维度诠释——它不仅仅是衡量空间弯曲程度的量，更在某种意义上成为了描述局部几何性质的“指纹”。在研读过程中，我不得不频繁地查阅拓扑学和线性代数中一些更基础的知识点，这反过来也巩固了我对这些底层理论的理解。这本书的深度要求读者不仅要会“算”，更要懂得“证”，它真正培养的是一种严谨的数学论证能力，而非仅仅是计算技巧的娴熟。

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说句实在话，这本书的阅读体验是充满挑战的“马拉松”，而不是轻松的“短跑”。如果你期待的是那种看完就能立刻在工程问题中直接套用的手册，那么你可能会感到失望。它更侧重于理论的完备性和概念的纯粹性。我尝试用它来辅助解决一些涉及到非线性系统稳定性分析的问题时，发现书本中关于微分形式和外微分的讨论，为我理解向量场在复杂流形上的行为提供了全新的视角。那些关于德拉姆上同调的介绍，虽然在纯应用领域可能显得过于深奥，但它深刻地揭示了拓扑信息如何通过微分结构得以保留和量化。这本书的文字风格是极其克制的，几乎没有冗余的修饰，每一个词语的选择都精准地指向其数学含义，这要求读者必须保持高度的专注力，否则极易在复杂的符号推导中迷失方向。

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这本书的结构设计，简直是一场教科书式的范本。它并非那种把所有内容一股脑倾泻而下的“百科全书式”著作，而是像一位技艺精湛的工匠，精心雕琢每一块知识的衔接。从最基础的流形概念开始，作者仿佛带领我们进行了一次由浅入深的“空间漫步”，每走一步，新的维度和曲率的概念便自然而然地浮现出来，不显突兀。我发现，作者在选择例证时极为审慎，那些看似简单的例子，实则蕴含了解决复杂问题的关键洞察力。例如，在讨论黎曼曲率张量时，并非直接抛出复杂的代数表达式，而是先从欧几里得空间中的平面和球面特性入手，循序渐进地揭示出曲率的几何意义。这种“先建立直觉，再形式化”的处理方式，极大地缓解了初学者的畏难情绪。我个人特别喜欢它在某些章节末尾设置的“拓展思考”部分，虽然内容精炼，却常常能引发对更前沿研究方向的初步联想。

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这书有不少印刷错误，而且名词翻译得很奇怪，另外虽然有很多图片，但是实际上概念介绍地很粗略很抽象，只有符号。只适合做里面的题目，不适合自学。

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研究微分几何就是解微分方程，其实就是分析和泛函的另一个方面2014.5.29终于理解

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可以。

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研究微分几何就是解微分方程，其实就是分析和泛函的另一个方面2014.5.29终于理解