Elementary Geometry from an advanced standpoint pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Addison-Wesley

作者:Edwin E. Moise

出品人:

页数:502 pages

译者:

出版时间:1990

价格:USD 84.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780201508673

丛书系列:

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空间结构的精微探秘：现代拓扑学与微分几何入门 一本探索几何学宏大图景与深刻结构的著作 本书旨在为读者提供一个进入现代几何学，特别是拓扑学与微分几何核心领域的引人入胜的向导。我们不再满足于欧几里得空间中的传统度量和刚体变换，而是将目光投向了更广阔的数学宇宙：那些关注空间结构本身，而不受限于距离和角度概念的领域。 本书的核心理念在于揭示空间的内在属性——连通性、可定向性、曲率的局部行为——这些属性在连续形变下保持不变。通过严谨的定义和清晰的论证，我们将引导读者穿越从基础概念到高级理论的路径，为深入研究代数拓扑、黎曼几何乃至理论物理学打下坚实的基础。 --- 第一部分：连续性的基础——点集拓扑的坚实地基 在几何学的更高层次上，我们需要一种语言来精确描述“邻近”和“连续”。第一部分将聚焦于点集拓扑，这是所有现代几何学研究的共同出发点。 1. 拓扑空间的引入与基本概念的重塑： 我们将从开集和闭集的系统性定义出发，彻底摆脱依赖于 $epsilon-delta$ 定义的度量空间概念的束缚。引入邻域、基、以及拓扑结构的生成方式。重点讨论子空间、商空间（Quotient Spaces）的构造及其重要性，理解如何从已知空间构造出更复杂或更抽象的空间结构。 2. 连续性、同胚与拓扑不变量： 连续函数的拓扑定义将是本部分的核心。在此基础上，我们深入探讨同胚（Homeomorphism）的概念——即拓扑学意义上的“等价”。通过同胚，我们正式定义了拓扑不变量，如连通性（Connectedness）和紧致性（Compactness）。紧致性将以其在完备性和收敛性中的关键作用进行详尽阐述，包括对 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 上的推广）和 Tychonoff 定理（在一般拓扑空间上的推广）的深入剖析。 3. 分离公理与完备性： 我们将系统考察分离公理（如 $T_1, T_2$ (Hausdorff), $T_3, T_4$），理解它们如何确保空间的“良性”结构，特别是 Hausdorff 性在构造商空间时的必要性。随后，引入完备度量空间的概念，探讨 Baire 纲定理（Baire Category Theorem），这是泛函分析和算术几何中不可或缺的工具，它揭示了稠密子集在完备空间中的性质。 --- 第二部分：结构化的洞察——代数工具的引入 拓扑空间虽然描述了“粘连”的方式，但要区分不同类型的空间，我们需要更强大的代数工具。第二部分将开启通往代数拓扑的大门，利用群论的力量来量化空间的拓扑特征。 1. 基本群（Fundamental Group）与路径积分： 本部分将核心聚焦于基本群 $pi_1(X, x_0)$。我们将详细定义路径、路径的乘法，以及同伦（Homotopy）的概念。通过计算（如圆周 $S^1$、环面 $T^2$、球面 $S^2$ 等）的基本群，读者将直观理解如何利用代数结构来证明两个空间不可能是拓扑等价的（例如，证明圆盘不是环面）。 2. 覆盖空间理论（Covering Space Theory）： 覆盖空间是连接拓扑学与群论的桥梁。我们将系统研究局部路径提升（Path Lifting）和空间提升（Space Lifting）的性质。利用基本群的性质，我们阐述如何通过万有覆叠（Universal Cover）来分析空间 $pi_1$ 的结构，特别是对于单连通空间的识别。 3. 更高阶同调的先声： 虽然本书不深入研究奇异同调，但我们会概述如何通过链复形（Chain Complexes）来构建同调群的概念框架，为理解同伦等价与同调等价之间的深刻联系做铺垫，并介绍同调论在处理“洞”的维度上的优越性。 --- 第三部分：空间的形变与内在几何——微分流形入门 从抽象的拓扑结构转向具有局部欧几里得结构的“光滑”空间，是现代几何学和理论物理学的核心领域。第三部分将介绍微分流形的概念及其分析工具。 1. 流形的概念与构造： 我们将正式定义微分流形（Differentiable Manifold）。这涉及对坐标卡（Coordinate Charts）、转移映射（Transition Maps）施加光滑性（$C^k$ 或 $C^infty$）的额外要求。我们将分析如何从已知的拓扑空间（如球面 $S^n$）赋予微分结构，并探讨不可定向性（如对莫比乌斯带和克莱因瓶的分析）。 2. 张量场与微分形式： 在流形上进行分析，我们需要在每个切空间（Tangent Space）上操作。我们将引入切向量场和微分形式（Differential Forms）的概念。重点讨论外积、楔积（Wedge Product）以及微分运算 $mathrm{d}$。读者将学习到微分 1-形式和微分 2-形式在描述线积分和面积分上的直观意义。 3. 积分的推广：李导数与德拉姆上同调： 本部分将阐述斯托克斯定理（Stokes' Theorem）在流形上的推广形式，这是连接微分几何与代数拓扑（特别是德拉姆上同调 $H_{dR}^k(M)$）的桥梁。我们将通过李导数（Lie Derivative）来研究向量场作用下几何对象的不变性，这对于理解对称性至关重要。 4. 黎曼几何的萌芽：度量张量的引入： 最后，我们将引入黎曼度量张量（Riemannian Metric Tensor） $g$。这个张量赋予了流形的每个切空间一个内积结构，从而恢复了局部上的长度和角度的概念。我们将简要介绍测地线（Geodesics）作为“最短路径”的定义，并初步探讨曲率（Curvature）的概念，理解它如何度量空间偏离平坦性的程度。 --- 总结与展望 本书旨在提供一个连贯的视角，展示如何从集合论的朴素概念出发，通过引入拓扑结构、代数工具和微分结构，逐步构建起描述现代几何学复杂对象的坚实理论框架。它不是对任何单一领域的详尽手册，而是对不同几何分支间内在联系的深度挖掘，强调抽象思维在解决具体几何问题中的强大能力。完成本书的学习，读者将具备进入任何前沿几何研究领域所需的严谨思维和广阔视野。

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这本书的封面设计简直是艺术品，那种带着年代感的米黄色纸张和精致的烫金字体，让人一上手就感觉自己抓住了某种知识的“原典”。我当初在旧书店淘到它的时候，就被这种沉稳、内敛的气质深深吸引。翻开扉页，首先映入眼帘的是作者那略显潦草却充满力量的手写体致谢，瞬间拉近了与这位数学家的距离。我本以为这会是一本晦涩难懂的教科书，结果发现它更像是一部精心编排的数学漫游指南。它没有用花哨的图表去轰炸读者的感官，而是依靠严谨的文字逻辑，一步步引导你深入到几何学的核心腹地。那些关于公理化系统的讨论，比如希尔伯特公理体系的引入，远比我高中时代学到的欧氏几何要深刻得多，它让你开始质疑那些看似理所当然的“直线”和“点”的本质。阅读过程像是在攀登一座雄伟的山峰，每上升一个平台，视野就开阔一分，你会开始领悟到几何美学的真正含义——那是一种建立在绝对逻辑基础上的和谐与统一。作者对于古典几何学遗产的尊重，以及对现代数学分支的隐晦提示，都让这本书的阅读体验充满了智力上的愉悦感。

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我花了整整一个周末才算勉强消化了第一章关于射影几何的部分，那感觉就像是强迫大脑进行了一次彻底的“重塑训练”。这本书的叙事节奏非常慢，甚至可以说是有意地拖沓，它拒绝任何肤浅的解释。作者似乎深信，只有通过读者自身的挣扎和顿悟，才能真正掌握几何学的精髓。举个例子，书中讨论到对偶性原理时，他并没有直接给出结论，而是通过一系列精心设计的、看似不相关的定理推导，让你在迷雾中摸索，直到你“啊哈”一声，自己发现了那个对称的美妙结构。这种教学方法，坦白说，对非专业读者不太友好，它对读者的耐心和数学基础有着极高的要求。但我必须承认，这种被“逼迫”出来的理解，远比被灌输的知识要牢固得多。它教给我的不仅仅是几何定理，更是一种面对复杂问题时，保持冷静和系统分析的思维模式。书中的许多证明，简洁到令人发指，每一个符号、每一个步骤都像是经过千锤百炼的打磨，不容许一丝冗余。

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这本书最让我感到惊喜的是它在处理拓扑学前沿概念时的那种老派的优雅。它没有过多地使用现代拓扑学中常见的开集、闭集等定义，而是巧妙地通过对流形和曲面的性质进行“定性”描述来构建直觉。我尤其欣赏作者对“不变量”这个概念的深入探讨。他通过考察在连续形变下保持不变的性质，例如孔洞的数量，来引入拓扑学的核心思想。这种方法避开了繁琐的集合论语言，让几何的直观性得到了充分保留。阅读到关于黎曼几何的开篇时，我仿佛能听到十九世纪的数学家们在讨论这些概念时的兴奋与困惑。书中的图示极其克制，但选择的每一张图都具有极强的概括性，它们不是用来“解释”的，而是用来“触发思考”的。我发现自己常常停下来，盯着那些看似简单的二维投影图，努力想象它们在三维甚至更高维度上的真实形态。这本书更像是一本哲学导论，引导你思考“空间”本身的意义，而不是仅仅计算空间中的距离和角度。

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这本书的语言风格是一种近乎古板的、高度凝练的学术拉丁语式表达，即便是翻译成英文，也依然保持着那种庄严的语感。它不使用任何口语化的词汇，所有的句子结构都极其复杂，常常一个长句就能涵盖好几个逻辑层次。如果你习惯了当代数学教材那种友好、模块化的写作风格，初次接触这本书时可能会感到强烈的挫败感，觉得它像是一道无法破解的密码。我曾多次查阅参考书目，试图找到一些现代的注解来辅助理解，但很快就放弃了，因为这本书的魅力就在于它构建了一个自洽的、与世隔绝的逻辑世界。作者似乎在用一种挑战读者的姿态进行写作，仿佛在说：“如果你能理解我所说的，那么你便有资格继续前行。”然而，一旦你适应了这种节奏，你会发现其中蕴含着惊人的数学美感和内在的统一性。它要求你用最纯粹的逻辑去“感受”数学，而不是用计算器或软件去“验证”数学。

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对于那些已经掌握了标准微积分和线性代数知识的读者来说，这本书提供了一个绝佳的“回溯”机会，让你重新审视那些在你看来已经“学会”的概念。它不是一本教授新工具的书，而是一本磨砺你几何直觉的工具书。我特别喜欢其中关于仿射变换和度量空间的部分，作者非常巧妙地将欧氏几何置于一个更宏大的变换群的背景下进行考察，这彻底颠覆了我对“欧氏空间”的传统认识。看完这本书，我不再仅仅将几何视为一个解题的工具箱，而更像是一种观察世界的全新视角。它对刚体运动和不变性的深刻剖析，使我开始思考物理学中能量守恒背后的几何根源。这本书的阅读体验是漫长而艰辛的，但它给予读者的回报，是智力上近乎“升华”的体验——它将基础知识提升到了一个几乎可以被称为艺术的高度，让人对数学的本质产生一种敬畏之心。

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