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出版者:安徽大学出版社

作者:孙国正

出品人:

页数:413

译者:

出版时间:2006-3

价格:35.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787811101096

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《微积分基础与初步应用》 内容简介 本书旨在为读者提供一个扎实而系统的微积分基础知识体系，并引导读者初步探索微积分在各个领域的广泛应用。我们深知，微积分作为现代科学技术和工程领域不可或缺的数学工具，其重要性不言而喻。然而，其抽象的概念和严谨的逻辑推理也常常让初学者望而却步。本书的目标正是弥合这一鸿沟，用清晰易懂的语言、循序渐进的讲解以及丰富的实例，帮助读者建立对微积分核心概念的深刻理解，并培养解决实际问题的能力。 第一部分：导数——变化的度量 在这一部分，我们将首先引入“极限”这一微积分的基石概念。我们将探讨极限存在的条件，理解当自变量趋近于某值时，函数值如何变化。通过直观的图形解释和严谨的数学定义，读者将能准确把握极限的含义，为后续的学习打下坚实基础。 接下来，我们将正式引入“导数”的概念。导数被形象地比喻为“变化的率”或“瞬时变化”，它描述了一个量相对于另一个量变化的快慢程度。我们将从函数的平均变化率出发，逐步过渡到瞬时变化率，即导数的定义。读者将学习到如何通过求导法则，例如幂函数法则、常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则以及链式法则，高效地求出各种函数的导数。 本书将重点讲解导数在几何上的意义——切线斜率。通过丰富的几何例子，读者将直观地理解导数如何刻画曲线在某一点的倾斜程度。此外，我们还将深入探讨导数在物理学中的应用，例如速度与加速度的计算。我们将展示如何利用导数来分析物体的运动状态，以及理解位移、速度和加速度之间的关系。 进一步地，我们将把导数应用于函数性质的分析。读者将学习如何利用导数的符号来判断函数的增减性，并找到函数的极值点（局部最大值和最小值）。我们将详细讲解如何通过求函数的二阶导数来判断函数的凹凸性以及寻找拐点，从而绘制出函数的图像。这对于理解函数行为的整体趋势至关重要。 最后，我们将介绍导数在优化问题中的应用。从寻找最大利润到最小成本，导数都能够帮助我们找到最优解。我们将通过一系列具体的应用案例，如矩形面积的最大化、长方体体积的最大化等，让读者体会到导数在解决实际工程和经济问题中的强大力量。 第二部分：积分——累积的学问 与导数侧重于“变化”不同，积分的核心在于“累积”。在本部分，我们将从“不定积分”开始。我们将理解不定积分是如何作为导数的逆运算存在的，并学习如何运用基本积分公式和积分的线性性质来求解不定积分。这就像是在“逆向”求解函数的变化率，找到原始函数。 随后，我们将迎来“定积分”的概念。定积分被定义为函数曲线下的面积。我们将介绍定积分的几何意义，即它表示了函数在给定区间上的累积效应。我们将学习定积分的定义——黎曼和，并通过直观的图形解释，帮助读者理解如何通过分割区间、计算小矩形面积并求和来逼近曲线下的面积。 牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，是连接导数与积分的关键桥梁。我们将详细阐述这一定理，并展示如何利用它来高效地计算定积分，而无需依赖黎曼和的逼近过程。这将极大地简化计算，并深刻揭示导数与积分之间的内在联系。 在掌握了基本积分技巧后，我们将进一步探索更复杂的积分方法。本书将详细介绍“换元积分法”和“分部积分法”，这两种方法能够帮助我们解决许多常规积分方法难以处理的积分问题。通过大量的例题讲解，读者将能够熟练运用这些技巧，应对各种积分挑战。 积分的应用范围极其广泛。我们将首先介绍定积分在几何学中的应用，例如计算平面图形的面积、曲线的长度以及旋转体的体积。读者将学会如何利用积分将复杂的几何形状分解为无穷小的部分，并通过累积来求解其度量。 此外，我们还将拓展积分的应用至物理学领域。我们将展示如何利用定积分来计算变力所做的功，例如弹簧的伸缩功，以及求解质心和转动惯量等重要物理量。这些应用将帮助读者理解微积分在描述和分析物理现象中的核心作用。 最后，我们将简要介绍积分在概率论、统计学以及经济学等其他领域的一些初步应用，为读者打开更广阔的视野，激发他们进一步探索微积分在不同学科中的潜能。 本书特色 概念清晰，循序渐进： 我们力求用最简洁明了的语言解释抽象的数学概念，从最基础的定义出发，逐步深入，避免概念的跳跃，让读者能够轻松跟随。 例题丰富，详略得当： 书中包含了大量精心挑选的例题，覆盖了从基本概念到复杂应用的各个层面。每道例题都附有详细的解题步骤和思路分析，帮助读者掌握解题技巧。 图文并茂，直观易懂： 我们利用丰富的图示来辅助讲解，将抽象的数学概念转化为直观的几何图形，帮助读者建立空间想象能力，加深对知识的理解。 注重理解，而非死记硬背： 本书强调对微积分核心思想的理解，鼓励读者独立思考，而不是仅仅记忆公式。我们通过对概念的深入剖析和对应用的广泛展示，帮助读者真正掌握微积分的精髓。 强调应用，激发兴趣： 我们在讲解基本概念的同时，不断引入微积分在科学、工程、经济等领域的实际应用，让读者感受到微积分的强大生命力和实用价值，从而激发学习兴趣。 目标读者 本书适用于所有希望系统学习微积分的读者，包括但不限于： 高中生：为进入大学学习理工科专业打下坚实的数学基础。 大学低年级学生：作为微积分课程的辅助教材，加深对课堂知识的理解。 自学者：希望通过自学掌握微积分知识的读者。 对微积分感兴趣的广大科技爱好者。 我们相信，通过本书的学习，您将能够建立起对微积分的深刻理解，掌握其分析和解决问题的能力，为您的学术和职业发展铺平道路。

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这本书的装帧设计给我留下了非常深刻的印象。封面那种深沉的墨绿色调，配上烫金的字体，立刻就给人一种严谨、专业的学术气息。我平时买书很注重第一观感，这本书的纸张选择也很有质感，不是那种廉价的白纸，拿在手里有一定的分量，翻阅起来也非常顺滑，不太容易留下指纹。内页的排版更是体现了出版方的用心，数学公式的印刷清晰锐利，几乎看不到任何模糊的边缘，这一点对于需要反复对照公式的读者来说至关重要。我记得上次买的那本同类型的书，公式里的上下标经常会混在一起，看着特别费劲，但这本的处理就做得非常到位。特别是那些复杂的积分符号和矩阵，每一笔都像是经过精密计算后印上去的，阅读体验得到了极大的提升。即便是长时间盯着书本学习，眼睛的疲劳感也比以往减轻了不少，这可能也归功于它采用的非反光纸张，有效减少了书桌灯光下的眩光。总之，从触感到视觉，这本书在物理层面上就成功地建立起了一种值得信赖的专业形象，让人愿意拿起它，沉下心来钻研里面的内容。

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这本书的例题选择和解析质量，绝对是它脱颖而出的核心竞争力。我对比了好几本参考书，这本书的题目覆盖面广度与深度达到了一个非常平衡的境界。它不仅涵盖了考试大纲要求的典型题型，更重要的是，它没有回避那些经常让学生失分的“陷阱”题。而解析部分，简直是一场数学思维的微型讲座。不同于那些只提供“标准解法”的书籍，这里提供了至少两种不同的解题思路。第一种是教科书式的规范解答，严谨到每一步的定理依据都标注得清清楚楚；第二种则常常是一种“巧解”或者说是“经验之谈”的解法，更侧重于如何快速锁定问题的核心本质。这种多维度的解析，极大地拓宽了我的解题视野，教会了我如何根据具体情境选择最高效的武器。特别是对于一些复杂的微分方程求解，它对每一步的转换逻辑都阐述得鞭辟入里，让人读完后有种“原来如此简单”的豁然开朗感，而不是仅仅停留在“会做了”的表层认知上。

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坦白说，一开始我有点担心这么厚重的一本书会过于晦涩难懂，但阅读过程中的实际体验让我放下了戒心。作者似乎深谙“有效休息”的重要性，在密集的知识点之间，穿插着一些非常及时的“小结”和“回顾”。这些小结不是简单的重复，而是用一种更凝练的语言对前一阶段内容的提纲挈领，就像是爬山时每登高一段距离，都能回头俯瞰自己已经走过的路，心中有数。此外，书中的图示设计非常精妙，它们不是为了装饰，而是为了功能性服务。例如，在讲解多变量函数的梯度和方向导数时，那些三维空间中曲面与切平面的示意图，清晰地揭示了向量场中“上升最快”的方向，远比纯文字描述来得直观有效。这本书的整体节奏控制得非常好，它既有严谨的学术深度，又不失作为学习辅导工具的实用性和友好性，可以说是兼顾了学术殿堂的巍峨与自学之路的平坦。

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初次翻阅时，我就发现这本书的章节逻辑组织得极其巧妙，它不像某些教材那样只是堆砌知识点，而是真正做到了“引导”的学习路径。它似乎能预判到初学者在哪个环节会感到困惑，并在该知识点展开之前，就用非常通俗的比喻或生活中的实例做铺垫。比如，在引入某个抽象的极限概念时，作者没有直接抛出 $epsilon-delta$ 定义，而是先用了一个关于“无限接近”的趣味故事来建立直观感受。这种由表及里、循序渐进的讲解方式，极大地降低了我对高等数学的畏惧心理。更令人称道的是，它对知识点的串联性把握得非常精准，你会发现前一章看似孤立的定理，在后几章的综合应用中会自然而然地成为解决复杂问题的关键钥匙。这种结构上的连贯性，让学习不再是孤岛式的记忆，而更像是在构建一棵枝繁叶茂的知识树，每一个新学的概念都能找到它在整个体系中的准确位置。

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我个人认为，这本书最大的价值在于它对“为什么”的深入探讨，而不仅仅是“怎么做”。很多参考资料只是告诉你公式是什么，应用场景在哪里，但很少有人会去深究那些奠定基础的公理和定理的几何意义或物理内涵。这本书在这方面做得非常出色。在讲解微积分基本定理时，作者没有满足于给出证明，而是花费了相当大的篇幅去阐释定积分和导数之间那种“变化率与累积效应”的辩证统一关系，引用了大量的动态过程来佐证，使得那些原本感觉高高在上的理论变得非常具体和可触摸。这种对理论深层原理的挖掘，对于培养真正的数学直觉至关重要。当我带着这种理解去面对新的、从未见过的题型时，我不再是盲目地套用公式，而是能够依据背后的原理进行推导和重构，这无疑是学习数学的最高境界。它成功地将我从一个机械的计算者，塑造成了一个思考问题的探索者。

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