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页数:307

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出版时间:2003-1

价格:26.00元

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isbn号码:9787113052768

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《逻辑的艺术：演绎与构造的世界》 目录 第一章 思想的基石：形式逻辑导论 1.1 语言的边界与思维的精确：什么是形式逻辑？ 1.2 命题的真伪世界：命题及其真值 1.2.1 原子命题与复合命题 1.2.2 逻辑联结词的威力：否定、合取、析取、蕴含、等价 1.2.3 真值表的构建与解读：揭示命题间的关系 1.3 推理的脉络：推理的形式与有效性 1.3.1 自然推理的直观性 1.3.2 推理规则的严谨性：肯定前件、否定后件、假言推理、选言推理等 1.3.3 证明的艺术：如何构建一个有效的证明？ 1.4 逻辑的陷阱：谬误的辨析与防范 1.4.1 形式谬误与非形式谬误 1.4.2 常见谬误的识别：丐题、滑坡谬误、人身攻击等 第二章 集合的宇宙：对象、关系与运算 2.1 集合论的奠基：对象与集合的概念 2.1.1 集合的定义与表示法：列举法、描述法 2.1.2 特殊集合：空集、全集 2.2 集合间的纠葛：关系与运算 2.2.1 子集与真子集：包含与被包含 2.2.2 集合的并、交、差、补：组合与分割 2.2.3 笛卡尔积：构建序对的有序世界 2.3 集合运算的规律：分配律、德摩根律等 2.3.1 运算的性质与证明 2.3.2 集合的幂集：所有子集的集合 第三章 关系的奥秘：结构、性质与分类 3.1 关系的构建：笛卡尔积的延伸 3.1.1 二元关系的定义与表示 3.1.2 关系的性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性 3.2 关系的分类：等价关系与偏序关系 3.2.1 等价关系：划分集合的等价类 3.2.2 偏序关系：构建有序的结构 3.2.3 盖尔斯图与哈斯图：可视化关系的结构 3.3 关系的闭包：完备性的追求 3.3.1 自反闭包、对称闭包、传递闭包 第四章 函数的映射：从输入到输出的精准转换 4.1 函数的定义：特殊的二元关系 4.1.1 函数的要素：定义域、值域、对应法则 4.1.2 函数的性质：单射、满射、双射 4.2 函数的组合与逆：复合的演进与反向操作 4.2.1 函数的复合：链式反应 4.2.2 反函数：逆向的旅程 4.3 特殊函数的探讨：数学分析的基础 4.3.1 幂函数、指数函数、对数函数 4.3.2 三角函数 第五章 图的风景：连接、路径与遍历 5.1 图的定义：顶点与边的世界 5.1.1 图的类型：无向图、有向图、多重图、简单图 5.1.2 图的表示法：邻接矩阵、邻接表 5.2 图的度数与连通性 5.2.1 顶点的度数：连接的多少 5.2.2 连通分量：图的独立区域 5.2.3 割点与桥：影响连通性的关键 5.3 图的遍历：探索与搜索 5.3.1 深度优先搜索（DFS） 5.3.2 广度优先搜索（BFS） 5.4 特殊图的性质 5.4.1 树：无环连通图 5.4.2 欧拉图与哈密顿图：遍历所有边或顶点的图 第六章 组合学的奇妙：计数、排列与选择 6.1 基本计数原理：加法原理与乘法原理 6.1.1 分类计数与分步计数 6.2 排列：有序的选择 6.2.1 n个不同元素的全排列 6.2.2 从n个不同元素中取出k个元素的排列 6.3 组合：无序的选择 6.3.1 从n个不同元素中取出k个元素的组合 6.3.2 组合数公式与二项式定理 6.4 容斥原理：避免重复计算 6.4.1 集合的交集与并集 6.5 抽屉原理：必然出现的规律 6.5.1 简单的抽屉原理与推广 第七章 数学的严谨：证明的艺术与科学 7.1 证明的类型：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法 7.1.1 直接证明的逻辑流程 7.1.2 反证法的思路与技巧 7.1.3 数学归纳法的强大力量 7.2 证明的步骤与规范 7.2.1 明确待证命题 7.2.2 合理运用已知条件与定理 7.2.3 逻辑严密，推理清晰 7.3 常见证明技巧的应用 7.3.1 分类讨论 7.3.2 构造法 附录 A：数理逻辑符号表 附录 B：常用组合学公式 参考文献 --- 内容简介 《逻辑的艺术：演绎与构造的世界》是一部深入探索数学思想核心的著作，它旨在为读者揭示构建严谨推理和精确概念的基石。本书并非对特定教材内容的复述，而是聚焦于构成现代科学与工程领域不可或缺的逻辑学、集合论、关系理论、函数论、图论以及组合数学等基础性学科的精髓。它以一种清晰、系统且富于启发性的方式，带领读者走进数学的严谨世界，培养分析问题、解决问题的逻辑思维能力。 第一章 思想的基石：形式逻辑导论 本章将引领读者踏入形式逻辑的殿堂，理解语言的精确性如何成为思维的起点。我们将从最基本的命题概念入手，剖析原子命题与复合命题的区别，并深入理解逻辑联结词（否定、合取、析取、蕴含、等价）如何构建复杂的逻辑表达式。通过真值表的严谨构建与解读，读者将能够直观地掌握命题间的真值关系，理解逻辑等价的意义。进而，本章将聚焦于推理的形式与有效性，介绍自然推理的直观过程以及一系列核心的推理规则，如肯定前件、否定后件、假言推理和选言推理等。读者将学会如何运用这些规则来构建有效的逻辑证明，从而将已知事实推导至新的结论。最后，本章将警示读者注意逻辑的常见陷阱，辨析形式谬误与非形式谬误，使我们在论证中更加审慎和精准。 第二章 集合的宇宙：对象、关系与运算 本章将打开集合论的广阔宇宙，这是现代数学的统一语言。我们将从集合最基本的定义和表示法（列举法、描述法）开始，理解“对象”与“集合”之间的内在联系。空集与全集等特殊集合的概念将为我们后续的学习奠定基础。随后，我们将深入探索集合之间的多样化关系，包括子集与真子集的包含关系，以及集合的并、交、差、补等基本运算，理解它们如何实现集合的组合与分割。笛卡尔积的引入将构建出序对的有序世界，为后续的关系理论铺平道路。本章还将系统阐述集合运算的各种规律，例如分配律和德摩根律，并通过证明来加深读者对这些规律的理解。最后，我们将认识幂集这一抽象概念，即包含一个集合所有子集的集合，领略集合的组合丰富性。 第三章 关系的奥秘：结构、性质与分类 在本章中，我们将继续深化对集合间关系的理解。关系的构建将以笛卡尔积为基础，着重分析二元关系的定义与表示方式。我们还将系统探讨关系的各种重要性质，包括自反性、反自反性、对称性、反对称性以及传递性，这些性质是刻画关系结构的关键。基于这些性质，本章将对关系进行重要分类，重点介绍等价关系和偏序关系。等价关系能够将集合划分为若干互不相交的等价类，而偏序关系则为我们构建各种有序结构提供了工具。为了更直观地理解关系的结构，我们将引入盖尔斯图和哈斯图，使抽象的关系可视化。最后，我们将探讨关系的闭包概念，理解如何通过添加元素来达到关系的完备性，如自反闭包、对称闭包和传递闭包。 第四章 函数的映射：从输入到输出的精准转换 函数是数学中最核心、最普遍的概念之一，本章将从集合论的角度深入解析函数的定义，将其视为一种特殊的二元关系。我们将清晰地界定函数的三个关键要素：定义域、值域和一对一的对应法则。在此基础上，我们将重点研究函数的性质，特别是单射（一对一）、满射（映上）和双射（一一对应）这三种重要的函数类型。函数的组合操作将展示链式反应的威力，而反函数的概念则引领我们探索逆向操作的奥秘。为了使读者对函数的应用有更直观的认识，本章还将简要介绍一些在数学分析中具有基础地位的特殊函数，如幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数，为更高级的数学学习打下基础。 第五章 图的风景：连接、路径与遍历 本章将带领读者进入直观且富有表现力的图论世界。我们将从图的基本定义出发，理解顶点与边的概念，并区分无向图、有向图、多重图和简单图等不同类型的图。图的表示法，如邻接矩阵和邻接表，将帮助我们高效地存储和操作图结构。我们将深入探讨顶点的度数，它是衡量连接强弱的重要指标，并分析图的连通性，理解连通分量、割点与桥等概念如何影响图的整体结构。图的遍历是图论中的核心问题，本章将详细介绍深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）这两种经典的图遍历算法，它们在计算机科学和实际问题中有着广泛的应用。最后，我们将关注一些特殊的图结构，如树——一种无环连通图，以及欧拉图和哈密顿图——那些能够遍历所有边或顶点的迷人图。 第六章 组合学的奇妙：计数、排列与选择 组合学是关于“数数”的艺术，本章将揭示其内在的数学魅力。我们将从最基本的加法原理和乘法原理开始，学习如何进行分类计数与分步计数。随后，我们将深入探讨排列，理解有序选择的精髓，包括n个不同元素的全排列以及从n个元素中取出k个元素的排列。组合则关注无序选择，我们将学习从n个不同元素中取出k个元素的组合数公式，并深入理解二项式定理的强大之处。为了解决计数问题中的重叠和遗漏，本章将详细介绍容斥原理，它在处理集合的交集与并集时尤为有用。最后，抽屉原理将以其简洁而深刻的洞察力，揭示在一定条件下必然出现的规律。 第七章 数学的严谨：证明的艺术与科学 本章是全书的升华，将聚焦于数学证明的艺术与科学。我们将系统介绍多种证明的类型，包括直接证明、间接证明、反证法和数学归纳法，并深入剖析它们的逻辑流程与核心技巧。读者将学习如何运用反证法来确立命题的正确性，以及数学归纳法在证明与自然数相关的命题时的强大威力。本章还将详细阐述进行数学证明的规范步骤，从明确待证命题到合理运用已知条件与定理，再到确保逻辑严密、推理清晰。通过对分类讨论、构造法等常见证明技巧的应用示例，读者将逐步掌握将抽象的数学概念转化为严谨证明的艺术，从而真正理解数学的严谨性所在。 《逻辑的艺术：演绎与构造的世界》通过对逻辑、集合、关系、函数、图以及组合数学等核心概念的系统梳理和深入讲解，旨在为读者提供一个坚实的数学基础。本书以培养读者的逻辑思维能力、分析问题能力和解决问题能力为目标，无论您是即将踏入高等学府的学子，还是希望系统回顾和深化数学知识的专业人士，本书都将是您探索严谨数学世界的一本不可或缺的指南。它教会您如何严谨地思考，如何精确地表达，以及如何用逻辑的语言构建出宏伟的数学大厦。

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这本书对逻辑和集合论的阐述，给我带来了极大的思维冲击。它没有将逻辑视为一套僵硬的规则，而是将其视为一种构建严密推理体系的强大工具。开篇对命题逻辑的介绍，就摒弃了传统教材那种生硬的真值表堆砌，而是着重于自然语言到符号逻辑的转换过程，这对于理解日常论证的有效性至关重要。随后过渡到谓词逻辑，作者对量词的精确使用进行了详尽的剖析，让我彻底理解了“存在”和“对于所有”在数学证明中的决定性作用。关于集合论的部分，虽然涉及到罗素悖论这样的经典难题，但作者的处理方式非常高明，他没有回避矛盾，而是通过公理化集合论，展示了数学家们如何建立一个坚实的基础来避免这些陷阱。对我个人而言，最大的收获在于对无限概念的理解。从可数集到不可数集，对康托尔对角线论法的阐释，那种“即便我们把所有自然数都排好队，也总有漏网之鱼”的震撼感，是任何感性描述都无法比拟的。这本书的结构层层递进，从最基础的逻辑推理，逐步攀升到集合的构建，是一部真正意义上的“思维的基石”之作。

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作为一名对算法设计与分析有浓厚兴趣的自学者，我尝试过好几本相关的参考书，但很多要么过于偏重证明而忽视了实际代码实现，要么就是只罗列算法而缺乏对复杂度背后的直觉解释。直到我接触到这本关于高效算法的书籍，才感觉找到了缺失的一环。书中对分治策略的讲解极其到位，它不仅仅是介绍了快速排序和归并排序，而是用主定理的迭代树方法，将算法的性能分析过程可视化，让你能“看见”时间复杂度的增长趋势。而关于动态规划的部分，作者的“最优子结构”和“重叠子问题”的解释，配以背包问题、最长公共子序列的详细分解，使得原本晦涩的递推关系变得清晰可见。书中对贪心算法的适用范围和局限性的讨论也非常坦诚，没有将它描绘成万能钥匙，而是明确指出了哪些问题可以放心使用，哪些地方需要警惕。更难能可贵的是，它没有停留在经典的算法上，而是对 NP-完全性问题进行了深入浅出的介绍，让读者明白，有些问题的“难”，是理论上的宿命，从而引导我们去寻找近似算法或启发式方法。这本书的整体风格是严谨而不失生动，是理论指导实践的典范。

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我一直觉得，学习概率论和数理统计，最怕的就是陷入无休止的公式推导，让人感觉晦涩难懂，难以与实际应用联系起来。然而，这本关于随机过程的书籍，成功地避开了这个陷阱。它将马尔可夫链、泊松过程等核心概念，置于金融建模和信息论的背景下进行讲解，使得每一个公式都有了鲜活的意义。作者在讲解布朗运动时，没有直接抛出复杂的随机微分方程，而是先通过对微观粒子运动的直观描述，逐步引入极限的概念，这种“由表及里”的教学方法，极大地降低了理解难度。特别欣赏的是，书中对大数定律和中心极限定理的应用案例分析，选取了大量真实的统计数据样本，读者可以清晰地看到理论是如何预测和解释现实世界中发生的随机事件的。相比于其他教材中那种冷冰冰的数学证明，这本书更像是一位经验丰富的统计学家在与你进行深入的、富有启发性的对话，它教会你的不只是计算概率，更是如何用概率的思维去量化不确定性，这对于任何需要做决策的专业人士来说，都是宝贵的财富。

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拿到这本关于组合数学的教材时，我原本有些抗拒，因为“计数”这个主题听起来似乎过于基础和重复。然而，这本书的编排结构和内容深度，彻底颠覆了我的固有印象。它巧妙地将生成函数、容斥原理、图论基础这些看似独立的模块编织成一个有机的整体。作者在介绍隔板法和捆绑法时，使用的例子新颖而富有挑战性，绝非教科书式的“分苹果”游戏，而是涉及到复杂的调度安排和网络设计问题，这立刻提升了学习的趣味性和实用性。最让我印象深刻的是关于 Pólya 计数定理的章节，那种将群论的抽象结构应用于解决实际“不同颜色排列”问题的过程，简直是数学美学的极致体现。那种通过对称性来化繁为简的洞察力，让人不禁拍案叫绝。它教会我的不仅仅是如何数数，更重要的是如何识别问题中的隐藏结构，如何利用代数工具来系统地解决计数难题。这本书的习题设计也极为精妙，难度递进合理，很多题目本身就是对相关理论的深化和拓展，强迫读者跳出固有的思维定势。

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这本关于计算理论的专著，简直是打开了通往计算机科学核心逻辑的钥匙。作者并没有仅仅停留在枯燥的符号堆砌上，而是用一种近乎哲学的深度去探讨了“可计算性”的本质。例如，书中对图灵机模型的阐述，不仅仅是机械地描述了纸带和读写头如何运作，更是深入挖掘了其背后的计算极限。我记得有一章专门讲解了不可判定问题，特别是停机问题，作者的推导过程清晰得令人拍案叫绝。他将抽象的数学概念转化为可以想象的、有逻辑的流程，即便是初次接触这些概念的读者，也能被其严谨性所折服。书中对非确定性图灵机和复杂度类P、NP的区分，更是点睛之笔，它不仅是理论上的划分，更预示了未来几十年内，人类在解决复杂优化问题时将面临的根本性挑战。读完这部分，我开始重新审视自己日常解决问题的思路，如何将一个看似无解的问题，转化为一个可以被“有效”验证的结构，这才是这本书真正的价值所在。它不只是一本教材，更是一部关于思维范式的升级指南。

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