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出版者:高等教育出版社

作者:罗崇善

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:2006-5

价格:21.50元

装帧:简裝本

isbn号码:9787040193398

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《几何的深邃之境》 一部探索空间形态、逻辑结构与数学之美的宏伟画卷 本书并非是对“高等几何”这一概念的简单罗列，而是力图带领读者深入数学的殿堂，去领略那些超越直观、蕴含深刻规律的几何世界。我们相信，几何学的魅力远不止于勾勒图形、计算面积，它更是人类认知世界、构建抽象思维的基石。因此，《几何的深邃之境》将为你打开一扇通往理性之美的门，让你在严谨的逻辑推演中，感受到宇宙万物潜在的秩序与和谐。 卷首语：几何，超越视觉的语言 自古以来，人类便以形认识世界。从仰观天文，俯察地理，到对土地的丈量，对建筑的规划，几何的种子早已深埋在我们的文明之中。然而，随着人类智慧的不断发展，几何学的疆域也早已超出了肉眼所见的范畴。它触及了我们无法直接观察的维度，描述了抽象概念的相互关系，并以其精妙的逻辑体系，成为现代科学得以建立的坚实基础。 《几何的深邃之境》正是这样一部尝试剥离感官束缚，直抵几何本质的作品。我们不满足于欧几里得的平面与立体，更将目光投向了更加广阔、更加抽象的几何领域。在这里，空间不再是单一的三维，而是可以拥有任意维度的“几何空间”；图形也不再局限于直线与圆弧，而是可以包含极其复杂、甚至我们难以想象的“形”。本书将循序渐进地引导读者，从熟悉的欧氏几何出发，逐步攀登至更为前沿的非欧几何、微分几何、代数几何乃至拓扑学等领域。 我们并非旨在成为一本枯燥的教科书，而是希望成为一位引人入胜的向导。我们将用清晰的语言、生动的例子、富有启发性的思考题，来阐释那些看似高深莫测的几何思想。我们将展示几何学在物理学、天文学、计算机科学、工程技术乃至艺术设计等诸多领域的深远影响，让你看到数学的优雅如何与现实世界的运行规律紧密相连。 第一篇：欧氏几何的现代诠释与延伸 虽然本书的视野远超欧氏几何，但对其精髓的深刻理解，是通往更广阔几何世界的基石。本篇并非简单重述初等几何的知识，而是以更现代的视角，重新审视欧氏几何的公理体系、定理证明以及其内在的逻辑美学。 公理化的再思考： 我们将深入探讨欧氏几何公理体系的构成，分析其完备性、一致性与独立性。同时，也会简要介绍其他公理化体系的构建思想，为读者理解“公理”作为数学语言的本质做好铺垫。 度量与距离的奥秘： 在欧氏空间中，度量和距离是我们最为熟悉的几何概念。本章将以严谨的数学语言，重新定义这些概念，并探讨它们在不同情境下的表现，例如向量空间中的范数，以及它们与坐标系选择的关系。 几何变换的优雅： 旋转、平移、伸缩、反射……这些几何变换不仅是图形的“舞蹈”，更是理解空间结构的重要工具。我们将深入研究这些变换的代数表示（矩阵），以及它们在几何研究中的应用，例如对称性分析。 高维欧氏空间的构建： 将我们熟悉的二维平面和三维空间推广到任意维度，看似抽象，实则在许多科学领域有着至关重要的应用。本章将以直观易懂的方式，介绍高维欧氏空间的构造，以及其中距离、角度等概念的定义。 第二篇：非欧几何的革命——弯曲空间的探索 人类对空间的认知，在很大程度上受到欧氏几何的影响。然而，19世纪的数学家们大胆地质疑了欧氏几何的“平行公理”，开启了非欧几何的革命，彻底改变了我们对空间本质的认识。 平行公理的挑战： 我们将详细介绍欧氏几何中的平行公理，以及历史上数学家们对其进行的各种尝试。重点将放在罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼几何（椭圆几何）的诞生，它们如何基于对平行公理的不同解读，构建出与欧氏几何截然不同的空间。 双曲空间的奇妙： 在双曲空间中，过一点可以有无数条直线不与已知直线相交。本章将通过生动的图像和类比，描绘双曲空间的几何特性，例如三角形内角和小于180度，以及圆的周长与半径的关系。我们将探讨这些看似反常的性质，如何在大尺度宇宙的某些模型中得到体现。 黎曼空间的曲率之美： 黎曼几何是描述弯曲空间的关键理论，它引入了“曲率”这一核心概念。本章将深入浅出地讲解曲率的意义，以及它如何决定空间的几何性质。我们将看到，我们所处的宇宙，其时空结构可能正是由黎曼几何来描述的。 非欧几何的物理意义： 爱因斯坦的广义相对论，正是建立在黎曼几何的基石之上。本章将揭示非欧几何与引力、时空弯曲之间的深刻联系，让你理解数学抽象如何成为理解宇宙运行规律的强大工具。 第三篇：微分几何——在光滑曲面上驰骋 当我们将视角从离散的点与线，转向连续且光滑的几何对象时，微分几何便应运而生。它借助于微积分的力量，来研究曲面、曲线以及更高维流形的局部性质。 曲面与切空间： 我们将学习如何用函数来描述曲面，并引入“切空间”的概念，它代表了曲面在某一点的“局部平面”。理解切空间，是理解曲面弯曲程度的关键。 测地线： 在弯曲的曲面上，最短路径不再是直线，而是“测地线”。本章将详细讲解测地线的概念，并探讨它们在导航、地图绘制等领域的应用。 曲率的深入探讨： 在微分几何中，曲率的概念被进一步细化，如高斯曲率、平均曲率等。我们将深入理解这些曲率指标如何刻画曲面的弯曲程度和形态。 流形的抽象： 为了统一研究各种光滑空间，数学家们引入了“流形”的概念。本章将简要介绍流形的基本思想，以及它如何作为连接微分几何与拓扑学的桥梁。 第四篇：拓扑学——不变性的几何学 拓扑学研究的是图形在连续变形下（例如拉伸、弯曲，但不撕裂或粘合）保持不变的性质。它是一种“软”的几何学，关注的是事物的“形”的本质，而非精确的尺寸和角度。 空间的连通性与洞： 拓扑学关注的是空间的连通性、界限以及“洞”的数量。例如，一个茶杯和一个甜甜圈在拓扑学上是等价的，因为它们都可以通过连续变形相互转化（都有一个“洞”）。 同胚与同态： 我们将学习“同胚”这一核心概念，它定义了两种拓扑空间是否具有相同的拓扑性质。这将帮助我们理解，看似不同的形状，在拓扑学上可能具有相同的内在结构。 基本群与同调群： 作为研究拓扑性质的工具，基本群和同调群等代数工具将在此篇中得到介绍。它们能够量化空间的“洞”的数量，从而区分不同的拓扑空间。 拓扑学在现代科学中的应用： 从粒子物理学的弦理论，到计算机科学的算法设计，再到生物学中的DNA结构研究，拓扑学的思想和方法正日益渗透到各个学科领域。 第五篇：代数几何——几何与代数的对话 代数几何是几何学和抽象代数相结合的一个分支，它利用代数方程来研究几何对象，将几何问题转化为代数问题，从而获得更强大的解决能力。 代数簇： 本篇将从代数方程出发，介绍“代数簇”的概念，即由一组多项式方程的公共零点构成的几何对象。 多项式环与理想： 我们将学习代数几何中重要的代数工具，如多项式环、理想等，并理解它们与几何对象之间的对应关系。 有理几何与复几何： 根据研究对象的不同（实数域、有理数域或复数域），代数几何会呈现出不同的风貌。本章将简要介绍这些不同的研究范式。 代数几何的现代发展： 从数论到密码学，代数几何在现代数学和技术领域有着广泛而深刻的应用。我们将简要概述其前沿的研究方向。 结语：无尽的几何探索之旅 《几何的深邃之境》旨在为读者提供一个全面而深入的几何学概览。我们所涉猎的领域，不过是这个广阔世界的一瞥。几何学的魅力在于其无限的可能性，在于它能够不断挑战我们的认知边界，揭示宇宙最深层的奥秘。 本书的编写，秉持着“由浅入深，由具象到抽象”的原则，力求让不同背景的读者都能从中获得启发。我们鼓励读者在阅读过程中，积极思考，动手演算，并尝试将书中的概念应用于解决实际问题。 愿《几何的深邃之境》成为您探索数学之美、理解世界秩序的一本得力助手，开启您通往理性与创造力无限疆域的旅程。

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这本《高等几何》的封面设计着实抓人眼球，那种深邃的蓝色调配上烫金的几何图形，让人一拿到手里就感觉沉甸甸的，仿佛里面蕴含着宇宙的奥秘。我原本以为这会是一本枯燥乏味的数学教材，毕竟“高等”二字总是自带一种劝退光环。然而，当我翻开第一章，那些关于射影几何的引言，用一种近乎诗意的语言阐述着点、线、面之间的关系，一下子就把我吸引住了。作者的叙述方式非常独特，他没有急于抛出复杂的公式，而是先用大量的几何直觉和历史背景来铺垫。比如，在讨论对偶原理时，他引用了古代建筑师的视角，将抽象的代数结构巧妙地转化成了我们日常可见的物理空间感。这种由表及里的讲解，使得原本晦涩的概念变得鲜活起来，我甚至能想象自己正站在一个巨大的三维坐标系中，用手触摸那些平行的线和相交的面。特别是关于非欧几何的那一部分，作者的笔触充满了哲学思辨的味道，让人不禁思考，我们习以为常的欧氏空间是否真的是唯一的真理。总的来说，这本书的排版和插图都非常精美，阅读体验极佳，绝非那种只有黑白文字的教辅读物可比。

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说实话，这本书《高等几何》的装帧质量简直是业界良心，这书拿在手里，那种纸张的纹理和油墨的触感，都透露着一股“正经学问”的气息。我本来只是想找一本可以睡前随便翻翻的书来提升一下自己的“人文素养”，没想到这本书的内容深度完全超出了我的预期。我最喜欢的部分是它对“仿射变换”那段的阐述，作者用了一种非常口语化但又极富洞察力的方式，将原本冰冷的矩阵变换和生活中的透视现象联系了起来。我立刻联想到了照相机的镜头原理，感觉那些复杂的坐标转换一下子就变得直观可感了。书中那些精妙的图示，虽然数量不多，但每一张都像是艺术品，精准地捕捉了数学对象的本质。我甚至把其中一页关于等距映射的图解打印出来贴在了我的工作区，时不时看看，总能带来一些新的灵感。这本书的阅读过程，与其说是学习，不如说是一种对空间美学的深度探索，它刷新了我对几何学“美”的认知。

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我是一名工科背景的研究生，对纯粹的理论数学接触不多，这次抱着试一试的心态买了《高等几何》。说实话，前期的内容对我来说确实有些挑战，尤其是在涉及到一些高维空间和张量分析的基础概念时，我不得不反复阅读才能勉强跟上作者的思路。我发现这本书的侧重点似乎更偏向于理论的严谨性而非工程应用的可视化。例如，在讲解微分几何中的曲率计算时，书中给出的证明路径非常清晰，每一步的逻辑推导都无懈可击，但如果读者没有扎实的微积分基础，很容易在公式的海洋中迷失方向。我尤其欣赏作者对于历史脉络的梳理，他会穿插介绍不同学派对同一问题的不同理解，这对于理解数学思想的演变非常有帮助。不过，对于初学者来说，这本书的难度曲线似乎有些陡峭，我建议在阅读时一定要配合大量的习题演练，否则纯粹的理论堆砌可能会让人产生“懂了，但没完全懂”的挫败感。它的价值在于建立一个坚实的理论框架，而不是提供现成的解题工具。

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我偶然从一位年长的数学教授那里借来了这本《高等几何》，发现它比我预想的要“活泼”得多。虽然是高等数学，但作者似乎非常懂得如何与读者“对话”。我特别欣赏他时不时穿插的“小注脚”，这些注释通常不会直接证明什么，而是提供一些有趣的典故或者指出当前结论在某个现代分支（比如代数几何）中的应用前景。这使得原本可能显得孤立的知识点，有了一个更广阔的背景。比如，当讲解到群论在几何变换中的应用时，他没有停留在抽象的群结构上，而是马上联系到了晶体学中的对称操作，让我立刻明白了为什么要费力去研究这些抽象的代数结构——原来它们是描述世界运行规律的终极工具。这本书的章节组织也很有特点，它不像传统教材那样线性推进，而是采用了一种螺旋上升的方式，前面对某个概念的初步介绍，会在后面的章节中以更深、更复杂的视角被重新审视和深化。这本书的价值不在于“教会你什么”，而在于“激发你去思考几何学到底是什么”。

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这本书的行文风格极其古典、严谨，读起来有一种面对权威教材的敬畏感。它似乎是为那些已经对基础几何学有深刻理解的人准备的进阶读物。我尤其注意到了作者在定义和公理化系统上的坚持，几乎没有使用任何模糊的语言或跳跃式的推理。在讨论拓扑学初步概念时，作者对“开集”和“闭集”的定义反复推敲，力求在逻辑上做到滴水不漏。这对于追求绝对精确性的读者来说无疑是极大的福音，每推导一个定理，都让人感到无比踏实。然而，这也带来了阅读上的一个挑战：它的信息密度非常高。一个句子可能包含了几个复杂的数学概念，需要读者有极强的专注力才能完全吸收。我发现自己不能像读小说那样囫囵吞枣，必须放慢速度，经常需要查阅前面的定义来验证当前的论证过程。这本书更像是供奉在书架上，在你需要系统性地查阅和验证某个高级几何结论时，才能彰显其无可替代的价值。

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非常优美的理论，但现在全忘了。。。

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一本编排混乱到老师都不肯按教材来讲的书，不过定理的证明还比较详细和严谨。

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一本编排混乱到老师都不肯按教材来讲的书，不过定理的证明还比较详细和严谨。

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