Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Sigurdur Helgason

出品人:

页数:641

译者:

出版时间:2001-6-12

价格:USD 80.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821828489

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

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好的，这是一份关于“微分几何、李群与对称空间”主题的图书简介，旨在深入探讨相关概念，同时避开对特定书籍内容的直接引用或模仿。 --- 书籍名称：拓扑结构与几何形态的交织：从流形到对称空间 简介 本书旨在为读者提供一个深入而系统的视角，探索现代微分几何的核心领域——流形理论、李群的代数结构及其在几何空间中的体现。本书的叙事线索从基础的拓扑概念出发，逐步构建起微分流形的分析框架，并最终将视角投向具有深刻内在对称性的特殊空间——对称空间。 第一部分：微分几何的基石 本书的第一部分致力于铺设微分几何的理论基础。我们首先回顾拓扑空间的基本概念，如连通性、紧致性和分离性，这是理解更精细几何结构的前提。随后，我们将引入光滑流形的严格定义，重点讨论其局部欧几里得性质以及如何在此基础上构建切丛和张量场。 我们详尽讨论了微分形式及其在积分理论中的作用。德拉姆上同调（de Rham Cohomology）作为连接微分结构与拓扑结构的关键工具，被置于核心地位。我们不仅解释了其代数构造，还通过实例展示了斯托克斯定理（Stokes' Theorem）和庞加莱引理（Poincaré Lemma）在这一框架下的优雅表述。对黎曼几何的引入是本部分的高潮，我们定义了黎曼度量，并详细阐述了联络（Connection）的概念，特别是列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）的唯一性和重要性。曲率的概念——特别是黎曼曲率张量——被用来刻画流形在局部如何偏离平坦空间，其对测地线行为的深刻影响将在随后的章节中得到细致的剖析。 第二部分：李群的代数与几何 在建立起微分几何的语言之后，本书的第二部分转向研究李群——那些既是群又是光滑流形的特殊对象。我们强调了李群作为一类具有丰富内部对称性的几何对象的地位。本书将李群视为具有内秉平移不变性的结构，这使得我们可以借助李代数——即在单位元处的切空间——来研究其局部结构。 我们深入探讨了李代数的结构，包括李括号（Lie Bracket）的定义、伴随表示（Adjoint Representation），以及指数映射（Exponential Map）如何将李代数的线性结构与李群的非线性结构联系起来。对于连通李群，指数映射的重要性被提升到核心地位。此外，我们也将探讨李群作用在流形上的几何意义，例如通过李导数（Lie Derivative）来衡量向量场对张量场的流动效果。本书不避讳代数上的复杂性，力求清晰地阐述从李代数到李群的提升过程，并讨论了李群的子群和商群的几何特性。 第三部分：对称空间的几何解析 本书的第三部分将前两部分的知识融会贯通，专注于研究对称空间这一特殊且富有洞察力的几何范畴。对称空间被定义为那些具有完备的、内禀的翻转对称性的黎曼流形。这种对称性深刻地影响了空间的测地线结构和整体形态。 我们将从经典的例子入手，如球面、双曲空间和欧几里得空间，来直观理解对称性的含义。随后，我们将引入对称性群（Symmetry Group）的概念，并将其与黎曼对称空间的定义紧密联系起来。关键在于，对称空间可以被分解为一个李群（作用群）作用于一个特定的齐性空间之上。 本书将侧重于对Cartan分解的几何解释，阐明如何将一个李代数分解为半直积的形式，这对应于对称空间中局部平坦和平坦部分的区分。通过对测地线流在这些空间上的行为分析，读者将领悟到，对称性如何极大地简化了这些空间的测地线方程，使得许多复杂的微分方程问题可以被代数方法有效解决。我们还将探讨赫尔曼流形（Hermann Manifolds），并分析对称空间在图像处理、统计推断等现代应用中的潜力。 目标读者与学习路径 本书面向具备微积分、线性代数以及基础拓扑学知识的研究生和高级本科生。对于希望在几何、拓扑、数学物理或相关工程领域进行深入研究的人士而言，本书提供了一个坚实而全面的知识体系。通过大量的几何直觉引导和严谨的数学论证，本书旨在培养读者运用现代几何工具解决复杂问题的能力。我们相信，对对称空间的深刻理解，是通往更深层次几何奥秘的必经之路。 ---

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这本书的排版和图示运用，为理解复杂结构提供了极大的便利。在介绍纤维丛和主丛的概念时，很多教材往往因为缺乏直观的辅助而让读者望而却步，但这本则不同。书中对“横截面”和“联络”的插图设计，极富匠心，它们不仅仅是装饰，而是概念的有效可视化工具。我发现，当我对着那些精心绘制的低维模型进行思考时，那些原本模糊的抽象定义立刻变得清晰起来。例如，在解释韦尔第一基本形式时，作者通过在曲面上投射切向量的投影，直观地展示了曲率是如何内化到度量结构中的。这种对教学媒介的重视程度，表明了作者不仅是领域的专家，更是一位出色的教育者。相比之下，我之前读过的某本同类书籍，其图表稀疏且信息密度过大，让人感觉像是在啃硬面包，而这本则更像是享受一场精心准备的学术晚宴。

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这本《微分几何、李群与对称空间》的导论部分，在处理基础概念时显得尤为细腻和富有洞察力。作者没有急于跃入复杂的拓扑结构，而是花了大篇幅来铺陈流形、切空间以及度量张量这些核心要素的几何直觉。特别是对于那些初次接触微分几何的读者来说，书中对“平坦”与“弯曲”的辨析，以及如何通过局部坐标系来理解全局性质的阐述，简直是一场及时的甘霖。我特别欣赏它在引入李群时的那种“润物细无声”的手法，先从矩阵群的例子入手，让抽象的群结构与具体的线性代数紧密结合起来，而不是直接抛出群作用和李代数的定义。书中对向量场和微分形式的讨论，其清晰度也远超我之前翻阅过的几本经典教材，它不仅仅是定义和定理的堆砌，更像是有一位经验丰富的向导，耐心地为你指明前进的方向，确保你每一步都走得扎实可靠，为后续的对称空间理论打下了坚不可摧的基石。那种细致到能让你在脑海中构建出高维空间切片图景的能力，是真正高水平数学写作的体现。

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这本书的习题设计是其教学价值的又一高光之处，其难度梯度设置极其合理且富有挑战性。它巧妙地避免了那种纯粹计算性的、机械重复的练习，转而设计了大量需要综合运用前后章节知识才能解决的“小项目”。比如，某个关于二维流形上的非平凡纤维丛的构造性证明题，要求读者必须同时掌握切丛的构造和李群的局部性质。更妙的是，部分习题的答案或提示部分并非直接给出结论，而是引导性的思考路径，迫使读者自己去构建严密的论证过程。这对于培养独立的数学研究能力至关重要。读完一个章节，通过做完配套的练习，我感觉自己不是在被动接受知识，而是在主动参与到数学结构的发现过程中。这种学习体验是极其珍贵且罕见的，它真正塑造了读者对几何直觉的深刻理解，而非仅仅停留在公式的记忆层面。

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坦率地说，这本书在处理更高级主题时的节奏把握，简直是教科书级别的典范。当我读到关于李群表示论的那一部分时，我感到一种豁然开朗的体验。作者并没有直接跳到抽象的表示空间，而是巧妙地利用了伴随表示（Adjoint Representation）来解释李代数的结构，这种关联性极大地增强了学习的连贯性。更令人称赞的是，它在引入黎曼几何的测地线概念时，没有止步于欧拉-拉格朗日方程的机械求解，而是深入探讨了能量泛函的变分原理，这使得测地线不再是单纯的“最短路径”，而成为了自然的运动轨迹。对于对称空间的讨论，它从根系的角度切入，但其叙述的逻辑链条非常清晰，避免了读者在繁复的代数结构中迷失方向。这种将分析、拓扑和代数以一种近乎优雅的方式融合起来的写作风格，使得原本被认为艰涩难懂的领域变得触手可及，它真正体现了数学美学。

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关于本书在处理几何物理交叉领域时的深度，是其区别于纯粹数学著作的关键所在。它在讲解Killing场和守恒量时，明显带有对经典场论中哈密顿量和拉格朗日量结构的深刻理解。作者在引入对称性时，不仅仅停留在代数层面上，而是自然而然地过渡到了能量守恒和动量守恒的物理意义。这种跨学科的视野在讨论紧致李群的表示理论时尤为突出，它将群表示的不可约性与物理学中量子态的能级划分紧密联系起来，使得理论的应用背景十分鲜明。我尤其欣赏它在探讨空间旋转群$SO(3)$时，对角动量算符及其本征态的引入，这种处理方式使得理论工具不再是孤立的数学符号，而是具有实际物理意义的操作符。这种整合能力，使得这本书不仅是数学家的宝典，也对理论物理学的高阶研究者具有不可替代的参考价值。

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symmetric spaces are locally just the Riemannian manifolds of the form Rn X G/K where Rn is a Euclidean n-space, G is a semisimpIe Lie group that has an involutive automorphism whose fixed point set is the (essentially) compact group K, and G/K is provided with a G-invariant Riemannian structure.

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symmetric spaces are locally just the Riemannian manifolds of the form Rn X G/K where Rn is a Euclidean n-space, G is a semisimpIe Lie group that has an involutive automorphism whose fixed point set is the (essentially) compact group K, and G/K is provided with a G-invariant Riemannian structure.

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symmetric spaces are locally just the Riemannian manifolds of the form Rn X G/K where Rn is a Euclidean n-space, G is a semisimpIe Lie group that has an involutive automorphism whose fixed point set is the (essentially) compact group K, and G/K is provided with a G-invariant Riemannian structure.

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symmetric spaces are locally just the Riemannian manifolds of the form Rn X G/K where Rn is a Euclidean n-space, G is a semisimpIe Lie group that has an involutive automorphism whose fixed point set is the (essentially) compact group K, and G/K is provided with a G-invariant Riemannian structure.