基础训练与学习指导·高中数学·第一册(上) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京师范大学出版社

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出版时间:2004-06-01

价格:7.5

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isbn号码:9787303054497

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• 高中数学
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• 数学

深度解析与应用：高中数学进阶系列读本 系列主题： 聚焦高中阶段数学核心概念的深化理解、思维模式的构建与高级应用能力的培养。 目标读者： 普通高中在读学生（尤其推荐高一及高二上学期学生作为同步提升读物），对数学有浓厚兴趣并希望挑战自我、寻求系统化拔高训练的自学者。 --- 卷一：函数与代数思维的精微之旅 本册内容聚焦于： 对初中所学函数概念的严格化、拓展，并深入探究初等代数在解决复杂问题中的应用深度。 第一部分：函数概念的严谨重构与性质深探 本部分致力于将学生从初中对“形”的直观理解，过渡到对“数与变”的抽象把握。 1. 集合与映射的数学语言基础： 集合论的入门： 强调集合作为数学描述的基本单元。详细区分有限集、无限集、空集，并引入子集、交集、并集、补集的严格定义和韦恩图的解析应用。 映射的本质： 首次系统引入“映射”这一核心概念，明确定义域、值域与对应法则。通过实例区分函数与一般映射的区别，为后续函数的深入研究奠定形式逻辑基础。 2. 函数的性质与图像的解析： 单调性与奇偶性： 深入剖析函数的单调性（增函数、减函数）的严格定义，并教授“取特殊值法”、“差值法”和“导数工具初步介入（仅限定性讨论）”来判断单调区间。奇偶性不仅停留在代数判断，更注重其图像的对称性特征及其对解题的简化作用。 周期性与有界性： 对周期函数的概念进行精确界定，并通过三角函数背景初步展示其应用。有界性的讨论，侧重于函数值域的控制与不等式求解中的边界约束。 复合函数的构建与求值： 拆解复合函数 $f(g(x))$ 的内部结构，训练学生在已知单调性或奇偶性时，如何通过“链式反应”推导出复合函数的整体性质。此部分是后续求解复杂函数问题的关键技能。 3. 幂函数、指数函数与对数函数的系统比较： 指数与对数的本质联系： 不仅复习指数函数 $y=a^x$ 的图像与性质，更强调对数函数 $y=log_a x$ 作为指数函数的反函数的地位，统一在同一坐标系下进行对比分析。 图像的渐进与增长速度： 引入“增长率”的定性概念，对比 $y=x^2, y=2^x, y=x!$ 等常见函数在自变量趋向无穷大时的增长速度差异，为微积分思想做铺垫。 幂、指、对数函数在不等式求解中的应用： 结合换底公式和对数运算的性质，解决涉及不同底数、不同指数的复杂指数/对数不等式组。 --- 卷二：探索性几何与向量化思维的初步建立 本部分着重于从传统欧氏几何向解析几何和向量代数过渡，培养学生对空间关系的精确量化能力。 第二部分：平面解析几何的深化与向量基础 1. 直线与圆的解析表示： 直线方程的多元化表示： 不仅限于斜截式，重点掌握点斜式、两点式，以及一般式 $Ax+By+C=0$ 在处理特殊位置关系（如平行、垂直）时的优势。 直线间的关系判定： 深入讲解利用斜率判断平行、垂直的局限性（垂直于坐标轴的情况），以及使用向量法（法向量）解决更普适问题的思路。 圆的标准方程与几何意义： 强调圆心坐标、半径与方程系数之间的对应关系，并引入圆与直线的位置关系（相交、相切、相离）的判定——主要通过圆心到直线的距离公式。 2. 向量：从几何直感到代数运算的桥梁： 向量的基本概念与表示： 明确向量的几何意义（有方向的量）与代数表示（坐标法）。引入零向量、单位向量、相等向量的概念。 向量的线性运算： 详细讲解向量的加法（三角形法则、平行四边形法则）与减法，以及数乘运算。强调向量加法的结合律和交换律在解析几何中的应用，例如如何用向量表示中线、角平分线。 平面向量的数量积（点积）与几何意义： 这是本章节的核心突破点。定义数量积 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}||mathbf{b}|cos heta$，并推导出坐标运算公式 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = x_1x_2 + y_1y_2$。 数量积的应用： 重点训练利用数量积判定两个向量是否垂直（数量积为零），以及如何用向量的坐标来求两向量间的夹角、投影的长度。这为后续学习解析几何的直线、平面的角度问题提供了代数工具。 第三部分：三角函数的周期性与解三角形 1. 任意角的概念与弧度制： 角度制的局限性与弧度制的引入： 解释弧度制（弧长与半径的比值）在微积分和高等数学中的必然性。熟练掌握 $pi$ 与 $180^circ$ 的换算，并理解弧度制下扇形面积公式 $S=frac{1}{2}lr$ 的简洁性。 2. 广义三角函数的定义与单位圆： 三角函数的统一化： 基于单位圆定义任意角的正弦、余弦、正切函数，解决了初中仅限于锐角三角函数的局限。理解 $sin alpha, cos alpha, an alpha$ 的正负性与象限关系。 3. 三角恒等变换的深化： 和差角公式的推导与应用： 不仅是公式的记忆，更侧重于对 $sin(alpha pm eta)$ 和 $cos(alpha pm eta)$ 公式推导过程的理解（特别是利用向量点积或复数模型进行的几何推导）。 倍角公式与半角公式的衍生： 熟练利用倍角公式进行复杂的化简和求值。重点关注“降幂”与“升幂”的转化技巧，这在和差化积、化简复杂和差式中至关重要。 辅助角公式 $asin x + bcos x$ 的转化： 强调将和角公式反向应用，将 $a, b$ 转化为 $sqrt{a^2+b^2}$ 的三角函数值，从而将和式转化为单角的正弦或余弦形式，是求解三角函数最值问题的核心手段。 4. 解三角形（正弦定理与余弦定理）： 定理的普适性： 明确正弦定理和余弦定理在任意三角形中的适用性，而非仅仅局限于直角三角形。 应用策略： 训练在已知边角关系时，选择合适的定理进行求解。特别关注“两边夹一角”（SAS）和“两角夹一边”（ASA/AAS）的解法模式，以及“SSA”情况（可能存在两解）的几何分析与判定。 --- 学习指导与方法论建议 本册内容要求学生具备较强的抽象思维能力和代数运算的熟练度。建议学习时： 1. 强调概念的“来源”： 无论是向量的点积还是弧度制，都要追溯其产生的实际需求，理解其几何背景，避免死记硬背公式。 2. 重视图形与代数的结合： 在解析几何和三角函数部分，务必结合图像进行分析。例如，研究函数单调性时，应在坐标系中观察其图像的变化趋势。 3. 构建知识网络： 函数性质（奇偶性、周期性）与三角函数的性质是高度关联的，应在学习过程中进行横向比较和知识迁移。 4. 专项训练： 数量积和辅助角公式是易错点，需要通过针对性的变式训练来固化运算技巧。

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从一个已经脱离高中阶段很久，但仍对基础知识保持好奇心的成年人角度来看，这本书的内容显得有些“过时”了。它强调的很多解题技巧和侧重点，似乎更贴合十年前的考试大纲，对于当前强调素养和探究性学习的新课程标准，其引导性是不足的。举个例子，它在解析几何部分的讲解中，依旧大量依赖于代数消元法，而对于向量法或更现代的坐标系变换思想的引入则显得非常保守和迟缓。这种保守的处理方式，虽然保证了“基础”，但却牺牲了培养学生创新思维和适应未来考试趋势的可能性。我希望一本好的“上册”教材，应该为接下来的学习打下一个更具前瞻性的地基，而不是仅仅巩固过去已经确立的范式。它更像是一个“记录者”，忠实地记录了知识点，却缺乏“引导者”的智慧，没有指引读者去探索数学世界的更多可能性。

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我对这本教材的排版和字体选择感到非常困惑。在如今这个视觉信息爆炸的时代，一本好的教辅书理应对读者的视觉疲劳度有所关注。然而，这本书的字体选择偏小，行距也比较紧凑，使得长时间阅读下来，眼睛非常容易酸涩。更糟糕的是，数学符号和公式的呈现方式，很多时候显得拥挤不堪。例如，一些分式嵌套或者带有上下标的复杂表达式，在有限的版面空间里被挤压得很难一眼分辨清楚各个部分的层级关系，这无疑给理解复杂公式带来了额外的认知负担。对于需要精确解读数学语言的读者而言，这种排版上的不适感，极大地削弱了学习的效率和兴趣。坦白地说，我更倾向于那些留白充足、重点突出、符号清晰易读的印刷品，它们能让我的注意力集中在数学逻辑本身，而不是去努力辨认那些模模糊糊的“小尾巴”和“小帽子”。这本书在硬件层面的设计，明显跟不上现代学习工具的要求。

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这本书的封面设计颇为朴实，那种略带年代感的米黄色纸张，让人想起中学时代书店里堆满的教辅材料。我本来对这种“基础训练”类的书籍抱有很高的期待，毕竟名字里点明了“基础”二字，想着能帮我夯实那些薄弱的代数和几何概念。然而，翻开内页后，我的心情就像是爬山时发现路标指向了错误的方向——迷茫且略带失望。它给出的例题和习题，虽然覆盖了高中数学大部分基础知识点，但讲解的深度和广度，远不如我预想的那么深入。尤其是在处理那些需要灵活变通的综合题型时，书中的步骤往往是直接给出结论或者极为简略的推理过程，这对于那些真正需要“指导”而非仅仅“练习”的读者来说，无疑是个障碍。我更希望看到的是，它能像一位耐心的老师，一步步拆解那些思维的难点，而不是仅仅罗列“是什么”，而避开了“为什么”和“怎么办”。那些插图，也显得有些单调刻板，缺乏现代教辅材料中常见的图示辅助，使得一些空间想象的题目读起来颇为费力，整体感觉像是从上个世纪的印刷品里直接拿出来的，缺乏对当代高中生学习习惯的友好度考量。

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这本书的配套资源，或者说它在自主学习支持方面的功能，几乎是空白的。在如今这个互联网时代，一本好的教辅不应该只是一本“纸质书”，它理应提供一个学习闭环。这本书的所有内容都止步于印刷品本身，没有任何二维码链接指向详细的视频讲解、错误分析集锦，或者在线的互动测试。这对于自学能力较弱或者学习进度容易掉队的同学来说，无疑是雪上加霜。当我在某一个概念上卡住时，我需要的是一个立即能得到反馈和解释的途径，而不是只能翻阅后面的参考答案，徒劳地对照着那些简短的步骤去猜测作者的思考过程。购买一本教辅，我们期望的不仅仅是习题，更是完整的学习支持系统。这本书似乎完全没有考虑到学习者在遇到困难时的即时需求，使得它在实际应用场景中，功能性大打折扣，更像是一本静止的、冷冰冰的资料集合。

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老实说，我买这本书的初衷是想找一本能让我真正“动脑筋”而不是纯粹“动手抄答案”的资料。我对数学的理解是，它是一种思维方式的训练，不仅仅是公式的机械记忆。但这本书给我的感受，更像是一本精心编排的“题库”，而不是“学习指导”。它的内容编排逻辑性是存在的，从最基础的集合概念过渡到函数，这种线性推进的结构本身无可厚非。可问题在于，这种线性的推进过于平缓，缺乏必要的“阶梯感”。很多章节的过渡显得生硬，前一节学完的内容，在后一节的习题中几乎没有得到充分的、有层次的深化应用，仿佛知识点之间是孤立存在的一个个小岛。我花了很大精力去尝试寻找不同知识点之间的内在联系，比如如何将三角函数与数列的求和技巧巧妙结合，却发现这本书提供的解题思路往往是“用哪个知识点就用哪个知识点的标准解法”，缺乏那种令人豁然开朗的“融会贯通”的体验。这使得在进行阶段性复习时，我发现自己只是记住了几套标准答案的解题步骤，而真正的数学直觉并没有得到培养。

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