常微分方程及其应用 pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:周义仓

出品人:

页数:328

译者:

出版时间:2003-7

价格:32.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030115447

丛书系列:

图书标签:

常微分方程
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具体描述

《常微分方程及其应用:方法、理论、建模、计算机》是常微分方程理论、方法与应用有机结合的一本教材，它保持我国现行教材中理论性强、方法多样、技巧和实例丰富等特点，结合国外教材中强调建模、应用和计算机等特点，形成理论、方法、建模、应用、计算机互相渗透与补充的新体系。不仅训练学生严密的数学思维方式，而且引导学生建立数学模型去解决实际问题。既讲述求解各类微分方程解析解、数值解的方法，又介绍用计算机分析求解的过程。本教材的主要内容包括求解各类微分方程的方法、常微分方程的基本理论、定性稳定性基础、近似方法及其实现、建立微分方程模型解决实际问题。

《常微分方程及其应用:方法、理论、建模、计算机》可以作为数学与应用数学专业、信息科学与计算数学专业的常微分方程课程教材，也可以作为理工科学生数学建模、数学实验等参考书。

《常微分方程及其应用》：穿越时空，洞察万象的数学语言在浩瀚的数学海洋中，常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）宛如一条连接着理论世界与现实应用的璀璨纽带，以其独特的优雅与强大的解释力，描绘着自然界和人类社会中瞬息万变的动态过程。本书《常微分方程及其应用》，正是带领读者深入探索这一迷人领域的权威指南。它不仅系统梳理了常微分方程的理论基石，更将其触角延伸至科学、工程、经济、生物等诸多学科的前沿，展现了数学模型在理解和预测复杂现象中的至关重要作用。本书的编排逻辑清晰，层层递进，旨在为不同背景的读者提供一条平滑的学习路径。我们从最基本的概念入手，如函数、导数、积分以及它们在描述变化率上的直观意义。通过一系列生动形象的例子，读者将逐渐领悟到，一个简单的导数关系，例如“物体的速度是其位置随时间的变化率”，便是一个最原始的微分方程。这种从“变化”到“关系”的思维转变，是理解整个微分方程理论的起点。随后，我们将正式引入“常微分方程”这一核心概念。这里，我们将严谨定义一阶、二阶乃至高阶常微分方程的形式，并介绍其构成要素：未知函数、自变量以及它们各阶导数。为了使抽象的数学符号变得鲜活，我们引入了许多经典的例子，例如牛顿第二定律描述的物体运动，以及描述人口增长或放射性衰变的指数模型。这些例子不仅展示了 ODE 的数学结构，更揭示了它们如何抽象地概括现实世界中的基本规律。理论的建立离不开求解方法的掌握。本书将系统性地介绍求解各类常微分方程的解析方法。我们从最简单的一阶方程开始，如变量可分离方程、线性一阶方程（包括伯努利方程），讲解如何通过代数运算将微分方程转化为积分问题。随后，我们将深入探讨齐次方程、线性二阶方程（包括常系数和变系数）、欧拉方程等更复杂的类型，并介绍特征方程法、常数变易法、幂级数解法等经典求解技巧。对于那些解析解难以获得或不存在的方程，本书也将介绍数值解法的基本思想和常用算法，如欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等，让读者能够通过近似计算来逼近方程的解，从而在实践中获得有意义的结果。除了静态的方程求解，理解微分方程解的性质同样至关重要。本书将深入探讨解的存在性与唯一性定理，这为我们断言一个解的可靠性提供了数学保障。我们还将分析解的稳定性，例如在描述系统平衡点附近的振荡或衰减行为，这对于工程控制和系统预测具有极其重要的意义。通过相平面分析等几何直观方法，读者将能更深刻地理解动态系统的演化轨迹及其长期行为。本书的核心价值在于其“应用”导向。我们坚信，数学的生命力在于其解决实际问题的能力。因此，本书的后半部分将聚焦于常微分方程在各个学科领域的广泛应用，力求展现数学模型强大的解释力和预测能力。在物理学领域，常微分方程是描述经典力学、电磁学、热力学等分支的基石。从行星的轨道运动到电路中电流的变化，从振子的自由振动到机械系统的阻尼振动，无数物理现象都可以通过建立相应的微分方程模型来刻画和预测。本书将详细剖析这些经典应用，例如单摆的运动方程、LC 电路的振荡方程、以及傅里叶热传导方程的简化形式等，展示如何将物理定律转化为数学语言，并通过求解 ODE 来获得对物理过程的深刻理解。在工程学中，常微分方程的应用更是无处不在。在自动控制理论中，PID 控制器、状态空间方程等都离不开微分方程的描述。在电路分析中，RLC 电路的瞬态响应、放大器的频率响应等，都需要利用微分方程来求解。在机械工程中，结构的振动分析、流体动力学的模拟，例如管道中的水流速度变化、风洞中的气流模型，都依赖于微分方程的求解。本书将提供具体的工程案例，例如桥梁结构的共振分析、飞行器姿态控制的动力学模型，展示 ODE 如何指导工程师设计和优化系统。化学领域同样受益于微分方程。化学反应速率的描述，例如酶促反应动力学、自催化反应的演化，都常被建模为微分方程组。这些模型能够帮助我们理解反应进程，预测产物生成速率，并优化反应条件。本书将介绍如何构建和求解描述简单化学反应动力学的 ODE 模型。生物学界，常微分方程也发挥着越来越重要的作用。种群动态学是其中一个经典的例子，例如捕食者-猎害者模型（Lotka-Volterra 方程）就生动地描述了两个物种数量的相互影响与周期性波动。流行病学中，SIR 模型等经典的传染病传播模型，也是基于微分方程来描述疾病在人群中的传播过程。此外，药物在体内的代谢过程、神经网络中的信号传递等，都能够通过微分方程进行建模和分析。本书将深入探讨这些生物学应用，揭示 ODE 如何帮助我们理解生命的奥秘。在经济学领域，常微分方程也被用于宏观经济模型的构建。例如，经济增长模型，如索洛增长模型，就涉及描述资本存量、劳动力的动态变化。金融市场中，例如期权定价模型（Black-Scholes 模型）的推导，也巧妙地运用了偏微分方程，而其基础的随机过程分析往往也与常微分方程的理论紧密相连。本书将介绍一些基础的经济学 ODE 应用，例如描述资本积累和人口增长的耦合模型。本书在阐述理论知识的同时，也十分注重理论与实践的结合。我们提供大量的例题和习题，覆盖了从基础概念到复杂应用的各个层面，旨在帮助读者巩固所学，提升解题能力。对于一些具有挑战性的问题，我们还提供了详细的解题思路和步骤。此外，本书鼓励读者利用现有的数学软件（如 MATLAB, Python 的 SciPy 库等）来求解复杂的微分方程，体验数值计算的强大威力，并探索真实世界数据。《常微分方程及其应用》不仅仅是一本教材，更是一扇通往理解世界背后运行规律的大门。它教会我们如何用精确的数学语言来描述变化，如何通过建立模型来洞察复杂系统，以及如何利用求解工具来预测未来。无论您是数学专业的学生，还是对科学、工程、金融等领域感兴趣的研究者或从业者，本书都将为您提供宝贵的知识和深刻的启迪，助您在探索未知、解决难题的道路上，拥有更强大的分析工具和更广阔的视野。踏上这场数学之旅，我们将一起揭开常微分方程那穿越时空、洞察万象的神秘面纱。

作者简介

目录信息

D1二版前言
D1一版前言
D11章引论
1.1微分方程的概念和实例
1.1.1导出微分方程的一些实际例子
1.1.2微分方程的概念
1.1.3微分方程的发展
习题1.1
1.2解的存在唯Yi性
1.2.1例子和思路
1.2.2存在唯Yi性定理及其证明
1.2.3存在唯Yi性定理的说明及例子
习题1.2
1.3一阶微分方程的向量场
1.3.1向量场
1.3.2积分曲线的图解法
习题1.3
复习题1
D12章一阶微分方程
2.1线性方程
2.1.1线性齐次方程
2.1.2线性非齐次方程
2.1.3Bemoulli方程
2.1.4线性微分方程的应用举例
习题2.1
2.2变量可分离的方程
2.2.1变量可分离方程的求解
2.2.2齐次方程
2.2.3变量可分离方程的应用
习题2.2
2.3全微分方程
2.3.1全微分方程的定义与充要条件
2.3.2全微分方程的积分
2.3.3积分因子
习题2.3
2.4变量替换法
2.4.1形如dy/dx=f-axbyc的方程
2.4.2形如yf-xydxxg-xydy=0的方程
2.4.3其他变换举例
2.4.4Riccati方程
习题2.4
2.5一阶隐式微分方程
2.5.1可解出y或x的方程与微分法
2.5.2不显含x或y的方程与参数法
2.5.3奇解与包络
习题2.5
2.6近似解法
2.6.1逐次迭代法
2.6.2Taylor级数法
2.6.3Euler折线法
习题2.6
2.7一阶微分方程的应用
2.7.1曲线族的等角轨线
2.7.2放射性废物的处理问题
2.7.3我国人口的发展预测
习题2.7
复习题2
D13章二阶及高阶微分方程
3.1可降阶的高阶方程
3.1.1不显含未知函数z的方程
3.1.2不显含自变量￡的方程
3.1.3全微分方程和积分因子
3.1.4可降阶的高阶方程的应用举例
习题3.1
3.2线性微分方程的基本理论
3.2.1线性微分方程的有关概念
3.2.2齐次线性方程解的性质和结构
3.2.3非齐次线性方程解的结构
习题3.2
3.3线性齐次常系数方程
3.3.1复值函数
3.3.2常系数齐次线性方程
3.3.3某些变系数线性齐次微分方程的解法
习题3.3
3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法
3.4.1非齐次项为多项式的情形
3.4.2非齐次项为多项式与指数函数之积的情形
3.4.3非齐次项为多项式与指数函数、正余弦函数之积的情形
习题3.4
3.5高阶微分方程的应用
3.5.1机械振动
3.5.2RLC电路
习题3.5
复习题3
D14章微分方程组
4.1微分方程组的概念
4.1.1微分方程组的实例及有关概念
4.1.2函数向量和函数矩阵
4.1.3微分方程组解的存在唯Yi性定理
习题4.1
4.2微分方程组的消元法和首次积分法
4.2.1微分方程组的消元法
4.2.2微分算子与线性微分方程组
4.2.3微分方程组的首次积分法
习题4.2
4.3线性微分方程组的基本理论
4.3.1线性齐次方程组解的结构
4.3.2非齐次线性微分方程组解的结构
习题4.3
4.4常系数齐次线性微分方程组
4.4.1系数矩阵A有单特征根时的解
4.4.2系数矩阵A具有重特征根时的解
4.4.3矩阵指数函数的定义和性质
习题4.4
4.5常系数非齐次线性微分方程组
4.5.1常数变易法
4.5.2线性变换法
4.5.3待定系数法
习题4.5
4.6微分方程组应用举例
4.6.1两个弹簧和物体的竖直运动
4.6.2复杂电路的计算
4.6.3人造卫星的轨道方程
习题4.6
复习题4
D15章非线性微分方程组
5.1非线性方程研究的例子与概念
5.1.1例子
5.1.2自治微分方程与非自治微分方程、动力系统
5.1.3基本定义
习题5.1
5.2自治微分方程组解的性质
5.2.1自治系统轨线的特点
5.2.2自治系统解的基本性质
习题5.2
5.3平面线性系统的奇点及相图
……
5.4几乎线性系统解的稳定性
5.5LyapunOvD1二方法
5.6二维自治微分方程组的周期解和极限环
复习题5
D16章Maple简介与应用
6.1Maple的基本功能
6.2微积分运算
6.3线性代数
6.4图形
6.5方程求解
6.6Maple编程
参考文献
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，这本书在内容的选择上显得极为“克制”，它几乎没有涉及太多新兴的数值解法或者基于计算的探索性内容，几乎所有的篇幅都聚焦于解析理论的深度挖掘。这可能让一些期待快速获得计算工具的读者感到不满足。但恰恰是这种“固守经典”的态度，赋予了本书无与伦比的深度和穿透力。作者在处理边界条件和特解的求解过程中，展现了极高的数学修养，他对于傅立叶级数、拉普拉斯变换这些经典工具的应用达到了炉火纯青的地步，并将它们完美地融入到偏微分方程的求解框架中。阅读这本书的过程，就像是跟着一位技艺精湛的工匠学习打磨一件艺术品，每一步的精细处理，都旨在达到理论上的完美和优雅。对于那些渴望理解解析方法内在美感，并希望在纯数学领域有所建树的读者而言，这本书无疑是近些年来难得一见的佳作，它强调的是数学的“永恒性”而非“时效性”。

评分☆☆☆☆☆

这本书，说实话，拿到手里的时候，我就感觉到一股厚重的学术气息扑面而来。装帧设计虽然朴实，但纸张的质感相当不错，拿在手里很有分量，让人觉得这是一部真正用心打磨的作品。我一直对数学理论的严谨性有着很高的要求，翻开目录，看到那些熟悉又陌生的章节标题，心里就有点小小的期待和紧张。特别是那些关于定性分析和稳定性理论的部分，作者的行文风格显得非常沉稳，每一个定义、每一个定理的引入都像是精心设计的棋局，步步为营，不留一丝可以被质疑的空隙。我尤其欣赏它在引入新概念时，并非急于展示高深的数学技巧，而是先从直观的物理背景或实际问题入手，将抽象的数学语言与现实世界的现象巧妙地勾连起来。这种“先知其然，后求其所以然”的叙述方式，极大地降低了初学者进入这个深奥领域的心理门槛，即便面对复杂的微分方程组，也能感受到背后蕴含的清晰逻辑脉络。对于那些想扎扎实实打好理论基础的研究人员来说，这本书无疑是一份极佳的参考资料，它不仅仅是知识的罗列，更像是一套严谨的思维训练手册。

评分☆☆☆☆☆

这本书的版式设计真是让人眼前一亮，这在通常严肃的数学专著中是比较少见的。它没有那种令人压抑的黑白灰风格，而是巧妙地运用了不同颜色的字体和粗细变化来突出重点概念、引理和关键步骤。例如，当涉及到收敛性证明时，那些依赖于特定参数的项会被特别标记出来，使得读者在追踪长串的推导公式时，视线不容易迷失。我个人对那些例题的选取非常赞赏，它们不落俗套，很多都是在控制论、振动理论或者流体力学中出现的经典模型，而且每一个例题后面都附带了详细的几何解释或者物理意义的解读，这对于我这种偏向工科背景的读者来说，是莫大的福音。更棒的是，在某些章节的末尾，作者会设置一些“思考题”或“拓展阅读建议”，这些建议往往指向了该领域最前沿的研究方向，而不是简单重复课本内容，这无疑为有志于继续深造的读者指明了方向，体现了作者的广阔视野和对学科发展的深刻理解。

评分☆☆☆☆☆

老实讲，这本书的阅读体验是渐进式的，它要求读者具备一定的预备知识，如果你是完全零基础，直接上手可能会感到挫败。我第一次翻阅时，对其中关于泛函分析的一些基础知识点感到有些吃力，不得不经常停下来查阅其他参考书进行补充。然而，一旦跨过了最初的知识壁垒，接下来的学习过程就变得如丝般顺滑了。作者在处理高阶内容时，展示了一种非凡的组织能力，他总能将看似分散的知识点，通过一个清晰的主线逻辑串联起来，构建出一个宏大的理论体系。特别是关于稳定性分析的部分，作者对李雅普诺夫函数法的阐述极为精妙，他不仅介绍了如何构造这些函数，更深入剖析了不同构造方法的适用场景和局限性，这种“辩证”地看待数学工具的视角，让我受益匪浅。这本书不是一本让你快速通过考试的书，而是一本需要你沉下心来，与之进行深度对话的“良师益友”。

评分☆☆☆☆☆

说来惭愧，我是在一个项目催得紧，需要快速掌握某个特定领域应用时才翻开这本书的。坦率地说，我更偏爱那种直击应用、代码实现紧随其后的教材。然而，这本书却给了我一种“溯本清源”的顿悟。它的叙述逻辑并非那种快餐式的技巧传授，而是更倾向于深入挖掘数学工具的内在美学。初读时可能会觉得有些吃力，因为它用了大量的篇幅去论证一些看起来像是“理所当然”的性质，比如解的存在性和唯一性，那些详尽的 $epsilon-delta$ 语言的推导，对于习惯了直接调用现有工具的我来说，简直是一种折磨。但坚持读下去后，我发现正是这些看似繁琐的细节，构筑了整个理论大厦的坚实地基。一旦你真正理解了这些基础是如何被搭建起来的，你在处理那些高度非线性的、边值问题时，就不会再像无头苍蝇一样乱撞了。它教会我的不只是“怎么解”，更是“为什么能这么解”，这种对底层原理的深刻洞察，远比速成的应用技巧更有价值，也更持久。

评分☆☆☆☆☆

挺注重运用的。

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