Elementary Differential Equations (5th Edition) (Edwards, C. H. Elementary Differential Equations Wi pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Prentice Hall

作者:C. Henry Edwards

出品人:

页数:640

译者:

出版时间:2003-10-30

价格:USD 133.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780131457737

丛书系列:

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数学的边界：微分方程的探索与应用 在广阔的数学领域中，微分方程无疑是最具活力和实用性的分支之一。它们是描述自然界和社会现象中瞬息万变过程的语言，从行星的运行轨迹到经济增长的曲线，无不被它们所勾勒。本书旨在带领读者深入探索微分方程的世界，理解其核心概念，掌握解题的技巧，并领略其在各个学科领域的广泛应用。我们将从基础概念出发，逐步深入，为读者构建一个坚实的知识体系。 第一章：导论与基本概念 本章将为我们开启微分方程的奇妙旅程。我们将首先明确什么是微分方程，它与代数方程有何本质区别。我们将介绍微分方程的阶数、线性与非线性、齐次与非齐次等基本分类，这些分类将为我们后续的学习奠定基础。接着，我们将引入导数的概念，它是微分方程的核心组成部分。理解导数在描述变化率上的作用，对于理解微分方程的物理意义至关重要。 例如，想象一个物体自由落体的过程。它的速度随时间变化，而速度的变化率就是加速度，也就是位置对时间的二阶导数。描述物体运动的牛顿第二定律 $F = ma$ 本质上就是一个微分方程，它将力（通常与位置和速度有关）与物体的加速度联系起来。通过学习本章，读者将能够识别和理解各种形式的微分方程，并对其基本性质有一个初步的认识。 第二章：一阶微分方程 一阶微分方程是最简单的微分方程形式，但它们却能描述许多实际问题。本章将详细介绍几种常见的一阶微分方程的解法。 可分离变量方程： 这类方程的形式可以写成 $f(y)dy = g(x)dx$，通过简单的积分即可求解。例如，人口增长模型常常可以简化为可分离变量方程，其中人口增长率与当前人口数量成正比。 线性一阶微分方程： 形如 $frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 的方程。我们将学习使用积分因子法来求解这类方程。这类方程在电路分析、化学反应速率等领域有广泛应用，例如描述电容器充放电过程中电压的变化。 恰当方程（Exact Equations）： 形如 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$，并且 $frac{partial M}{partial y} = frac{partial N}{partial x}$ 的方程。我们将学习如何识别和求解这类方程。 伯努利方程（Bernoulli Equations）： 形如 $frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ 的方程。通过变量代换，伯努利方程可以转化为线性一阶微分方程，从而求解。 通过本章的学习，读者将能够熟练掌握求解各种类型一阶微分方程的方法，并能将其应用于实际问题的建模。 第三章：高阶线性微分方程 本章将把我们的目光转向更高阶的微分方程，特别是高阶线性微分方程。我们将主要关注二阶线性微分方程，并在此基础上推广到更高阶。 齐次线性方程（Homogeneous Linear Equations）： 形如 $a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + dots + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0$ 的方程。 常系数齐次线性方程： 当系数 $a_i(x)$ 为常数时，我们将学习如何通过特征方程法来求解。特征方程的根（实根、重根、复根）决定了方程的通解形式。例如，描述弹簧振子运动的微分方程就是一个典型的常系数二阶齐次线性微分方程。 变系数齐次线性方程： 当系数 $a_i(x)$ 是关于 $x$ 的函数时，求解会更复杂。我们将介绍一些特殊情况下的解法，以及数值方法的重要性。 非齐次线性方程（Nonhomogeneous Linear Equations）： 形如 $a_n(x)y^{(n)} + dots + a_0(x)y = G(x)$，其中 $G(x) eq 0$。 待定系数法（Method of Undetermined Coefficients）： 当非齐次项 $G(x)$ 具有特定形式（如多项式、指数函数、三角函数或它们的组合）时，可以使用此方法。 常数变易法（Variation of Parameters）： 这是一种更通用的方法，适用于任何形式的非齐次项 $G(x)$，只要我们能求解对应的齐次方程。 理解高阶线性微分方程的解的叠加原理（即齐次解加上特解）是本章的核心。我们将通过大量实例，让读者体会到这些方法在实际问题中的应用。 第四章：微分方程的应用 微分方程的魅力在于其强大的应用能力，本章将集中展示这一点。我们将通过具体的案例，展示微分方程如何描述和预测各种现象。 物理学中的应用： 力学： 自由落体、受阻运动（阻尼振动）、受迫振动、弹簧振子系统、摆的运动。 电学： RLC电路的瞬态响应。 热学： 傅里叶定律描述热传导。 生物学中的应用： 种群动态模型： 逻辑斯蒂增长模型、捕食者-猎物模型（Lotka-Volterra方程）。 药物动力学： 药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄过程。 化学中的应用： 化学反应速率： 描述反应物和生成物浓度随时间的变化。 经济学中的应用： 经济增长模型： 描述国民生产总值或资本存量的增长。 金融模型： 例如期权定价模型。 通过对这些实际应用的深入分析，读者将能深刻理解微分方程的价值，并学会如何将现实世界的问题转化为数学模型，再通过求解微分方程来获得问题的答案。 第五章：拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是一种强大的数学工具，尤其适用于求解线性常系数微分方程，特别是那些具有不连续或脉冲输入的系统。本章将介绍拉普拉斯变换的基本性质和应用。 拉普拉斯变换的定义与性质： 我们将学习如何计算函数的拉普拉斯变换，以及线性、移位、卷积等重要性质。 利用拉普拉斯变换求解微分方程： 我们将演示如何将微分方程及其初始条件转化为代数方程，求解后再进行拉普拉斯反变换得到方程的解。这种方法在工程领域，特别是控制系统和信号处理中非常常用。 单位阶跃函数和狄拉克 $delta$ 函数： 本章还将介绍这些特殊的函数，它们在描述开关电路、瞬时冲击等问题中扮演重要角色，并结合拉普拉斯变换进行求解。 拉普拉斯变换能够极大地简化求解过程，将微分运算转化为代数运算，从而使问题更加易于处理。 第六章：级数解 对于一些系数不恒定的线性微分方程，例如欧拉-柯西方程或具有奇点的方程，级数解法是一种重要的求解手段。 泰勒级数与幂级数解： 我们将学习如何假设方程的解可以表示为幂级数的形式，然后通过代入方程来确定级数的系数。 初等函数表示的级数： 读者将了解到，许多初等函数（如指数函数、三角函数）都可以表示为幂级数。 正则奇点（Regular Singular Points）： 对于在奇点附近求解方程，我们将介绍如何使用福罗贝尼乌斯方法（Frobenius Method）来寻找级数解。 级数解法为我们提供了一种处理更复杂微分方程的途径，尽管有时会得到无穷级数形式的解，但这些级数在许多情况下能够准确地描述问题的行为。 第七章：参数方程与极坐标方程 本章将介绍参数方程和极坐标方程在描述曲线和运动中的应用，以及它们与微分方程的联系。 参数方程： 当我们用一个公共参数（如时间）来表示坐标 $(x, y)$ 时，我们得到参数方程 $x = x(t)$, $y = y(t)$。我们将学习如何计算参数方程的导数 $frac{dy}{dx}$ 和二阶导数 $frac{d^2y}{dx^2}$。 极坐标方程： 在极坐标系下，位置由距离原点的距离 $r$ 和与极轴的夹角 $ heta$ 来描述。我们将学习如何在极坐标下进行微分运算。 这些表示法的应用： 例如，在描述天体运动时，使用极坐标通常比直角坐标更方便。 这些不同的坐标系和表示方法为我们描述和分析几何形状和运动提供了更多的灵活性。 第八章：向量函数与曲线积分 本章将引入向量函数和曲线积分的概念，它们在描述空间曲线和向量场中的应用至关重要。 向量函数： 描述空间曲线的运动轨迹，其分量是关于参数的函数。 向量场的导数与积分： 我们将学习向量场的散度（divergence）和旋度（curl），以及曲线积分的计算。 格林公式、高斯散度定理和斯托克斯定理： 这些重要的定理将连接平面区域上的线积分与面积分，以及空间区域上的面积分与体积分，它们在物理学和工程学中有广泛的应用。 这些概念是更高级的数学分析和物理学的基础。 第九章：数值解法 在许多情况下，微分方程无法得到解析解，或者解析解的形式过于复杂，这时就需要借助数值方法来近似求解。 欧拉法（Euler's Method）： 最简单的数值解法，通过步步逼近来逼近方程的解。 改进欧拉法（Improved Euler's Method）与龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods）： 这些方法通过增加计算的精度，提供更准确的数值解。 误差分析： 我们将讨论数值解法的收敛性和截断误差，以及如何选择合适的步长来平衡精度和计算效率。 数值解法使得我们能够处理大量无法解析求解的实际问题，是现代科学计算的重要组成部分。 第十章：偏微分方程导论 本章将初步介绍偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）。与常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）不同，偏微分方程中包含未知函数的偏导数，它们通常用来描述多变量的数学物理问题。 常见偏微分方程： 热传导方程、波动方程、拉普拉斯方程。 分离变量法： 求解一些齐次线性偏微分方程的重要方法，通过将多变量问题转化为一系列常微分方程来求解。 边界条件与初始条件： 偏微分方程的解依赖于其边界条件（定义在区域边界上的条件）和初始条件（定义在初始时刻的条件）。 偏微分方程是描述诸如流体动力学、电磁学、量子力学等复杂现象的核心工具，本章将为读者打开通往这个领域的大门。 结语 本书力求在严谨的数学推导与生动的实际应用之间取得平衡，希望通过系统性的学习，读者能够掌握求解微分方程的强大工具，培养解决复杂问题的数学思维能力，并深刻体会到微分方程在理解和塑造我们周围世界中所扮演的关键角色。从宏观的宇宙运行到微观的粒子相互作用，从经济的潮起潮落到生命的繁衍生息，微分方程无处不在，它们是探索未知、理解世界的钥匙。

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我必须承认，这本书的深度是需要投入时间的。它绝不是那种可以快速翻阅、囫囵吞枣的读物。那些需要严密逻辑推理的部分，比如证明过程，要求读者必须集中注意力，逐步推导。但我认为，这种“挑战性”恰恰是它的价值所在。它不提供廉价的答案，而是培养你独立思考和进行数学推导的能力。书中提供的理论证明是完整且无可挑剔的，这对于建立扎实的数学思维至关重要。我发现，每当我攻克书中一个比较困难的定理证明后，都会有一种强烈的成就感，这种感觉是做几道简单题所无法比拟的。这本书的作者在数学的严谨性和教学的实用性之间拿捏得非常到位，它既满足了数学系学生对完备性的要求，又兼顾了工程背景学生对解决实际问题的需求，是一种非常高级的平衡艺术。

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这本教材的排版和印刷质量相当不错，纸张的触感很舒服，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。装订也很结实，感觉能扛得住我这种频繁翻阅的“折磨”。内容结构上，作者的处理方式非常清晰，从最基础的概念入手，循序渐进地引导读者进入微分方程的殿堂。特别是对初学者而言，书中提供的那些详尽的例子和步骤分解，简直是救星。我记得有一次在处理一个复杂的拉普拉斯变换问题时，书里的一个例题几乎就是我的解题模板，让我豁然开朗。而且，书中对理论的阐述绝不含糊，既保证了数学的严谨性，又不会让非数学专业的学生望而却步。章节之间的逻辑衔接非常自然，仿佛是在进行一场精心设计的导览，每走一步都能看到新的风景，而不是生硬的知识堆砌。那些穿插在正文中的历史小注和实际应用案例，更是锦上添花，让原本抽象的数学概念鲜活了起来，让我能更好地理解“为什么要学这个”。总的来说，从物理层面到视觉体验，这本书都展现出了极高的专业水准，让人爱不释手。

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这本书最大的亮点之一，在于它对各种解法进行了系统而全面的梳理和比较。很多教材只介绍“如何解”，但这本书更进一步，会讨论不同方法的适用范围、优缺点以及计算复杂度。比如，在处理常微分方程组时，它不仅详细讲解了矩阵指数法，还对比了数值逼近法的优势，这对于我后续进行数值模拟的工作大有裨益。此外，书中对边值问题和傅里叶级数的讲解，清晰得令人赞叹。作者似乎深知读者在学习傅里叶展开时容易在哪里卡住，因此特地用好几页篇幅来解释收敛性的意义，而不是简单地给出一个公式。这种前瞻性的教学设计，极大地减少了我在自学过程中可能遇到的挫折感。我尤其欣赏它在引入新概念时，总是会先回顾相关的背景知识，确保读者没有遗漏任何必要的铺垫，构建起了一个非常坚固的知识框架。

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从工具书的角度来看，这本书的索引和附录部分设计得非常人性化。当我需要快速回顾某个特定公式或定理时，可以毫不费力地找到它所在的位置。附录中对常数和特殊函数的总结，也为我查阅资料节省了大量时间，这在期末复习或者赶项目报告时显得尤为重要。再者，书中对“物理背景”的描述，虽然篇幅不占主导，但选取得极其精准。它没有陷入繁琐的物理推导，而是用最简洁的语言点明了数学模型所代表的物理意义——比如热传导、振动系统等。这种“以小见大”的方式，让我意识到微分方程不仅仅是抽象的代数运算，更是描述我们周围世界的强大语言。总而言之，这是一本值得反复研读的经典教材，其价值远超出了课本本身的范畴，更像是一位沉默的、耐心的导师。

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坦白说，我最初拿到这本书时，内心是有些抗拒的，毕竟“微分方程”这四个字听起来就让人头皮发麻。然而，这本书的叙述风格却出乎意料地“接地气”。作者仿佛是一位经验丰富的老教授，他不会直接扔给你一堆公式然后让你自己琢磨。相反，他会用一种非常口语化，但又不失学术深度的语言来解释每一个定理背后的直觉意义。举个例子，关于稳定性分析那一部分，我以前总觉得很玄乎，但书里引入的那个关于“小扰动”的形象比喻，一下子就击中了我。它把复杂的相平面分析具象化了，让我明白了为什么某些解会趋于平衡点，而另一些会发散。书中提供的习题难度梯度设置得非常巧妙，基础练习夯实了基本功，而后面的挑战题则足够让我绞尽脑汁，真正体会到解决问题的乐趣。对于那些想深入研究应用数学的同学来说，这本书提供的深度是远远超过一般入门教材的，它在基础和前沿之间找到了一个绝佳的平衡点。

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This book is pretty good and full of theories, but I don't like the format very much; I think it is not concise enough. Sometimes the proofs are just too long to read- -

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