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出版者:科学出版社

作者:葛渭高

出品人:

页数:455

译者:

出版时间:2007-6

价格:65.00元

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isbn号码:9787030190468

丛书系列:现代数学基础丛书

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非线性常微分方程边值问题 内容概要： 本书深入探讨了非线性常微分方程边值问题（BVP）的理论与应用。不同于线性问题，非线性BVP的解的存在性、唯一性以及连续依赖于边值条件的行为往往更加复杂，需要借助更高级的数学工具和方法进行分析。本书旨在为读者提供一个全面、系统的理解，涵盖了从基础概念到前沿研究的多个方面。 第一部分：基础理论与分析方法 引言与基本概念： 介绍常微分方程边值问题的基本定义，区分初值问题与边值问题的本质差异。重点阐述非线性BVP的特点，例如解的奇点、分岔现象以及多解的可能性。通过实例说明非线性BVP在物理、工程、生物等领域出现的普遍性，激发读者的学习兴趣。 单方程单变量BVP： 详细介绍求解单方程单变量非线性BVP的经典方法。 射击法（Shooting Method）： 阐述射击法的基本原理，如何将BVP转化为一组初值问题，并通过调整初值以满足边值条件。深入分析射击法的收敛性，讨论其局限性，例如在高维问题或病态问题中的表现。介绍改进的射击法，如多重射击法，以提高计算效率和稳定性。 打靶法（Pseudospectral Methods）： 介绍打靶法的核心思想，即利用高精度逼近方法，将微分方程在特定基函数集合上进行近似。详细讲解不同类型的基函数（如切比雪夫多项式、Legendre多项式）及其性质。分析打靶法的误差估计，强调其在高精度计算中的优势。 有限差分法（Finite Difference Methods）： 系统介绍有限差分法的基本概念，如何用离散化的差分格式逼近微分算子。重点讲解不同阶数的差分格式，如中心差分、前向差分、后向差分，并分析其截断误差。深入讨论如何构造满足边值条件的离散方程组，以及求解线性方程组的技术。 李群方法（Lie Group Methods）： 引入李群在常微分方程中的应用，特别是其在求解BVP中的作用。讨论李群的生成元、指数映射等概念，并演示如何利用李群的对称性来简化方程或构造新的解。 多方程组BVP： 将理论推广到多方程组的非线性BVP。 向量射击法： 讨论如何将向量值函数视为整体进行射击法的求解，分析其在处理耦合方程组时的挑战。 有限差分方法处理耦合方程组： 介绍如何将多方程组离散化为大型稀疏矩阵方程组，并讨论求解此类方程组的迭代方法，如牛顿-克雷洛夫方法。 解的存在性与唯一性： 深入研究非线性BVP解的存在性与唯一性判据。 不动点定理： 详细介绍Banach不动点定理、Schauder不动点定理等，并阐述如何通过构造适当的算子，将BVP转化为不动点问题来证明解的存在性。 单调算子理论： 引入单调算子的概念，并讨论其在证明单调BVP解的存在性与唯一性方面的作用。 Green函数方法： 讲解Green函数在理解线性BVP解的结构中的作用，并探讨其在非线性BVP中的推广应用，例如利用Picard迭代或Banach固定点定理的变体。 第二部分：高级理论与特殊问题 分岔理论（Bifurcation Theory）： 深入研究非线性BVP中因参数变化而导致解的结构发生定性改变的现象。 鞍结分岔（Saddle-Node Bifurcation）： 讲解简单的鞍结分岔，以及在BVP中的表现形式，例如当参数穿越某个临界值时，原有的解消失或出现新的解。 Hopf分岔（Hopf Bifurcation）： 介绍Hopf分岔，当参数变化时，可能出现从稳态解到周期解的转变。 Pitchfork分岔（Pitchfork Bifurcation）： 讨论Pitchfork分岔，当参数变化时，一个平衡点分裂成三个，其中一个不稳定，两个稳定。 应用实例： 通过具体的物理和工程模型，如圆柱壳屈曲、流体力学中的伯格斯方程等，展示分岔理论的应用。 奇点分析（Singular Perturbation Problems）： 探讨包含小参数并导致解的结构发生突变的奇点摄动问题。 边界层（Boundary Layers）： 解释边界层的概念，即解在一个狭窄区域内发生剧烈变化的现象。 匹配渐近展开法（Matching Asymptotic Expansions）： 介绍如何通过内层展开和外层展开，并利用匹配条件来构造奇点摄动问题的渐近解。 奇点BVP的数值方法： 讨论专门用于处理奇点BVP的数值方法，如层状网格方法。 多重解与全局分支： 研究非线性BVP可能存在的多个解，以及这些解如何随着参数变化而连接形成分支。 球形BVP（Spherical BVP）： 以球形BVP为例，展示如何通过参数化方法或数值跟踪方法来寻找和分析多重解。 数值分支跟踪（Numerical Path Following）： 介绍弧长法（Arc-Length Method）等数值算法，用于沿着解的分支曲线进行跟踪。 稳定性分析： 研究非线性BVP解的稳定性。 线性化与特征值问题： 讲解如何通过线性化来分析非线性BVP的稳定性，并将其转化为一个线性的特征值问题。 Lyapunov稳定性理论： 介绍Lyapunov直接法和间接法在分析BVP解稳定性中的应用。 数值稳定性分析： 探讨如何通过数值模拟来评估解的稳定性，例如通过引入微小扰动并观察其演化。 第三部分：数值方法与计算实践 高级数值方法： 进一步介绍更高效、更精密的数值方法。 谱方法（Spectral Methods）： 深入讲解与打靶法相关的谱方法，如Chebyshev谱方法、Fourier谱方法，以及它们在BVP求解中的优势。 径向基函数插值（Radial Basis Function Interpolation）： 介绍径向基函数在构造高精度插值算子方面的应用，并如何将其用于BVP的离散化。 多重网格方法（Multigrid Methods）： 探讨多重网格方法在加速求解大型稀疏线性方程组中的作用，这些方程组通常由有限差分法或有限元法产生。 求解算法与实现： 迭代方法： 详细介绍求解非线性方程组的迭代方法，如Newton法及其变种（如准Newton法）、拟牛顿法（如Broyden法）。 求解器库： 介绍现有的高性能数值计算库，如MATLAB的`bvp4c`、SciPy的`solve_ivp`（配合ODE求解器）以及更专业的数值库，并提供使用示例。 计算挑战与优化： 讨论在实际计算中可能遇到的挑战，如病态问题、计算资源的限制，以及如何进行算法优化和并行计算。 软件实现与可视化： 编程示例： 提供使用Python、MATLAB等常用科学计算语言实现BVP求解算法的详细代码示例。 结果可视化： 强调可视化在理解BVP解的几何特性、行为以及参数依赖性方面的重要性，介绍常用的绘图工具和技巧。 第四部分：应用领域与前沿研究 在不同学科中的应用： 流体力学： 讨论非线性BVP在描述边界层流、非牛顿流体、湍流模型等问题中的应用。 传热与传质： 介绍非线性BVP在多相反应器、化学反应器设计、传热机理研究中的作用。 结构力学： 讲解非线性BVP在材料非线性、大变形分析、结构稳定性问题中的应用。 生物医学工程： 探讨非线性BVP在生物信号传播、疾病扩散模型、药代动力学研究中的应用。 天体物理学： 介绍非线性BVP在恒星结构、星系动力学等问题中的应用。 前沿研究方向： 随机非线性BVP： 介绍包含随机项的非线性BVP的理论和数值方法。 分布式参数系统（Distributed Parameter Systems）中的BVP： 探讨无限维BVP的理论与应用。 机器学习与BVP： 介绍如何利用机器学习方法加速BVP的求解，或利用BVP的结构来指导机器学习模型的构建。 高维BVP的计算方法： 探索处理高维非线性BVP的有效算法。 本书特色： 本书不仅系统地梳理了非线性常微分方程边值问题求解的经典理论和方法，更侧重于理论与实际应用的结合。通过大量的实例和计算示例，帮助读者理解抽象的数学概念，并掌握解决实际问题的能力。对于研究者而言，本书提供了对前沿研究方向的概览，有助于激发新的研究思路。 目标读者： 本书适合高等院校数学、物理、工程、计算科学等专业的高年级本科生、研究生以及从事相关领域研究的科研人员。具备常微分方程基础知识的读者可以更容易地理解本书内容。

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我对这本书的**参考价值**给予极高的评价，它不仅仅是一本教材，更是一份详尽的领域索引。在每个章节的末尾，作者都会附带一份精选的**文献导读**，这远超出了普通教材的范围。这些导读不是简单的罗列，而是对该子领域发展脉络的精炼总结，指出了哪些是经典工作，哪些是当前研究的热点和难点。例如，在讨论**随机微分方程的边值问题**时，它清晰地区分了基于Itô积分和Stratonovich积分的不同处理路径及其在物理模型中的适用性。这种前瞻性和包容性，使得这本书的生命力得以延续，因为它不仅解决了“现在”的问题，也为读者指明了“未来”的方向。我个人已经将这本书列为我未来五年研究计划中必须反复研读的核心参考资料之一，它的深度和广度确保了它的长久地位。

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作为一名专注于**计算数学**方向的学生，我对理论书籍的实用性要求通常较高。这本书在理论深度与工程应用之间找到了一个非常微妙的平衡点，这一点值得大书特书。它不仅讲解了**有限元方法**的基本框架，更重要的是，它深入剖析了在处理**高梯度区域**时，标准Galerkin方法容易出现的**振荡问题**以及如何通过**人工粘度项**或**局部加密网格**来克服这些挑战。书中的算法描述清晰到可以直接转化为代码实现，其中的**收敛性分析**部分详略得当，既保证了严密性，又不会让读者在冗长的$epsilon-delta$语言中迷失方向。我尤其对其中关于**接触问题**的讨论印象深刻，作者通过一个实际的机械摩擦模型，推导出了相应的非线性Variational Inequality，并展示了如何用**牛顿迭代法**结合**投影算子**进行求解。这种理论与实践紧密结合的编排，让枯燥的数学推导瞬间拥有了解决实际工程难题的强大力量。

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这本《非线性常微分方程边值问题》的出现，简直是为我这种常年在数学前沿摸索的研究者点亮了一盏明灯。我记得我第一次翻开它的时候，首先被其严谨的逻辑架构所震撼。它并非那种堆砌公式的教科书，而更像是一部精心编排的数学交响乐。作者显然对该领域的核心痛点有着深刻的洞察，开篇便直指非线性问题的本质困难——缺乏普适的解析解法，并巧妙地引出了数值方法和变分原理这两大支柱。尤其对某些经典边值问题的讨论，作者并没有满足于引用现有的结论，而是深入挖掘了每种解法背后的几何直观和物理意义。比如，在讨论**激波现象**时，书中对**奇性扰动理论**的阐述，层次分明，从最简单的模型到更复杂的系统，每一步的过渡都处理得极其自然流畅，让人在理解复杂数学构造的同时，还能体会到数学美学的那种韵味。阅读过程中，我多次停下来，不是因为看不懂，而是因为被某种精妙的证明或巧妙的构造所折服，需要时间去细细品味那种“原来如此”的顿悟感。这本书无疑为提升对非线性PDEs的理解深度提供了一个坚实可靠的平台。

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坦白说，市面上关于偏微分方程的书籍汗牛充栋，但真正能让人沉下心来，逐字逐句研读，并从中获得持续启发的不多。《非线性常微分方程边值问题》在这方面表现得尤为出色，它的价值不仅仅在于知识的传递，更在于**思维方式的塑造**。我特别欣赏作者在处理**分支理论**和**稳定性分析**部分时所展现出的那种“数学侦探”般的严谨与细致。他们没有简单地罗列巴特菲尔德（Bifurcation）的各种分类，而是通过一系列精心构造的例子，展示了参数微小变化如何导致解的结构发生剧烈突变，这对于应用数学家来说是至关重要的直觉。我记得书中有一章专门分析了**非对称边界条件**下的解的存在性与唯一性，作者采用了一种非常巧妙的**不动点定理**组合，将一个看似无从下手的全局问题，分解成了若干个局部、可控的小问题。这种化繁为简的叙事风格，让我深刻体会到，面对数学难题，拥有正确的“切入点”比蛮力计算重要得多。这本书是那种值得放在案头，随时翻阅，每次都能找到新视角的工具书。

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这本书的叙事节奏感非常强，它不像很多学术著作那样平铺直叙，而是充满了一种**内在的驱动力**。阅读它就像跟随一位经验丰富的导师进行一次循序渐进的探索之旅。从最基础的**单变量函数微分方程**出发，逐步过渡到**多变量、高阶导数**的复杂系统，每一步的升级都有明确的数学动机。我特别欣赏作者在引入新的数学工具时，总是先从一个亟待解决的物理问题入手，让读者自然而然地产生“我需要一个更强大的工具”的需求，然后再优雅地呈现出这个工具（比如，引入**Sobolev空间**来处理边界的弱解）。在关于**正则性理论**的探讨中，作者用近乎诗意的语言描述了光滑性如何“渗透”到解的结构中，避免了纯粹的公式堆砌。这种引导性的写作手法，极大地降低了非线性领域入门的门槛，让初学者感到亲切，而资深研究者也能从中获得新的启发角度。

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