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出版者:Dover Publications

作者:Jack K. Hale

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2009-05-21

价格:USD 19.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486472119

丛书系列:

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• ODE
• 数学
• ODEs
• 常微分方程
• 微分方程
• 数学
• 高等数学
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• 数值分析
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• 科学计算
• 数学建模

《数学物理方程概论》 内容简介 本书旨在为读者提供一套系统而深入的数学物理方程理论学习框架。我们将从最基础的概念出发，逐步引导读者理解那些在经典力学、电磁学、热力学、量子力学等众多物理学分支中扮演核心角色的偏微分方程。本书的设计理念在于，通过清晰的逻辑脉络、严谨的数学推导以及丰富的物理背景介绍，帮助读者构建起坚实的理论基础，并能灵活运用这些工具解决实际的科学问题。 第一章：偏微分方程导论 本章将奠定本书的理论基石，重点在于引入偏微分方程（PDEs）这一核心概念。我们将首先明确偏微分方程与常微分方程（ODEs）在形式和应用上的根本区别，强调它们在描述多变量函数关系时的不可替代性。我们将详细阐述偏微分方程的阶、线性与非线性、齐次与非齐次等基本分类，并给出大量跨越不同物理领域的实例，例如描述流体运动的纳维-斯托克斯方程，描述热量扩散的二阶抛物型方程，以及描述波动现象的二阶双曲型方程。通过这些具体的例子，读者可以直观地感受到偏微分方程在刻画复杂物理现象中的强大能力。 此外，本章还将介绍偏微分方程的解的概念，包括解析解、数值解以及弱解。我们将探讨解的存在性、唯一性与光滑性等基本性质，并初步接触到不同类型方程所表现出的不同数学特性。对于初学者，我们特别准备了“PDEs 与物理直觉”这一小节，通过类比和可视化手段，帮助读者建立对PDEs行为模式的初步感知，例如波动方程中的波的传播，扩散方程中的能量耗散等，旨在消除对抽象数学概念的恐惧，激发学习兴趣。 第二章：经典偏微分方程详解 本章将聚焦于几类最基本、应用最广泛的经典偏微分方程。我们将逐一深入探讨： 拉普拉斯方程（Laplace’s Equation）： 作为势场理论的基石，拉普拉斯方程 ($ abla^2 u = 0$) 广泛应用于静电学、引力势、稳态流体流动等领域。我们将详细推导其在不同坐标系下的形式，并介绍其重要性质，如调和函数的最大模原理、平均值性质等。本章还将初步介绍求解拉普拉斯方程的解析方法，例如分离变量法在简单几何区域内的应用，为后续章节的复杂问题求解打下基础。 泊松方程（Poisson’s Equation）： 这是拉普拉斯方程的推广，形式为 $ abla^2 u = f$，其中 $f$ 为源项。它在描述带电体产生的电势、引力源场等方面扮演关键角色。我们将分析源项对解的影响，并介绍一些求解泊松方程的技巧，包括格林函数法的概念引入。 热传导方程（Heat Equation）： 这是一个典型的二阶抛物型方程，描述了热量在物体中的扩散过程。我们将分析其物理背景，例如傅里叶定律，并详细推导其数学形式。本章将重点讨论热传导方程的性质，如解的无穷可乘延拓性、无孤立奇点性以及平均值性质。我们将详细介绍求解热传导方程的若干方法，包括分离变量法在不同边界条件下的应用，以及傅里叶级数和积分变换在求解初边值问题中的作用。 波动方程（Wave Equation）： 这是一个典型的二阶双曲型方程，描述了振动波在介质中的传播，如声波、光波、弦的振动等。我们将从牛顿第二定律或达朗贝尔原理出发，推导出一维、二维及三维波动方程。本章将深入探讨波动方程的特性，例如有限传播速度、因果律以及解的奇点传播。我们将重点介绍求解波动方程的方法，包括达朗贝尔公式（用于一维情况）、分离变量法以及惠更斯原理的直观解释。 第三章：求解偏微分方程的解析方法 本章将系统地介绍求解偏微分方程的多种强大解析方法。这些方法能够为特定类型的方程和区域提供精确的数学表达式，对于深入理解方程的性质至关重要。 分离变量法（Separation of Variables）： 这是求解线性齐次偏微分方程最常用也最有效的方法之一。我们将详细阐述其基本思想：将一个具有多个自变量的偏微分方程转化为一系列常微分方程。本章将通过大量实例，包括矩形、圆形、圆柱形和球形等区域上的热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程的求解，展示分离变量法在不同边界条件下的具体应用。读者将学习如何处理齐次边界条件和非齐次边界条件，以及如何利用傅里叶级数或傅里叶-贝塞尔级数展开求解。 傅里叶变换（Fourier Transform）与傅里叶级数（Fourier Series）： 傅里叶变换和傅里叶级数是处理周期性或无限延拓问题的强大工具。本章将详细介绍傅里叶变换的基本性质、逆变换以及卷积定理，并阐述其在求解无限区域上的偏微分方程（如热传导方程）中的应用。同时，我们将深入探讨傅里叶级数，包括正弦级数、余弦级数和复数形式，以及它们在求解有限区域边界值问题中的重要性，特别是与分离变量法结合使用的情况。 格林函数法（Green’s Function Method）： 对于非齐次线性偏微分方程，格林函数法提供了一种统一的求解框架。本章将解释格林函数的概念及其物理意义，即作为一种“点源响应”。我们将推导不同类型方程（如泊松方程、拉普拉斯方程）的格林函数，并展示如何利用格林函数积分来求解非齐次问题，包括齐次边界条件和非齐次边界条件下的情况。 特征线法（Method of Characteristics）： 此方法特别适用于求解一阶偏微分方程以及某些二阶双曲型方程。我们将解释特征线的概念，即解在空间中传播的“轨迹”。通过构造特征方程组，将偏微分方程转化为一组常微分方程，从而求解。本章将演示特征线法在求解守恒律方程、例如交通流模型和浅水波方程中的应用。 第四章：数值求解偏微分方程 虽然解析方法能够提供精确解，但在许多复杂问题中，解析解难以获得或不存在。此时，数值方法成为解决问题的关键。本章将介绍几种主流的数值求解偏微分方程的技术。 有限差分法（Finite Difference Method）： 这是最直观、最常用的数值方法之一。我们将介绍如何利用差商来近似偏导数，从而将偏微分方程转化为代数方程组。本章将详细阐述如何建立网格、定义差分格式（如显式、隐式和Crank-Nicolson格式）、处理边界条件以及分析数值解的收敛性和稳定性。我们将以热传导方程和波动方程为例，展示有限差分法在实际问题中的应用。 有限元法（Finite Element Method）： 有限元法是一种更为强大的数值技术，尤其适用于复杂几何形状的区域以及非均匀介质中的问题。本章将介绍有限元法的基本思想，即“弱形式”和“变分原理”，并将方程离散化为一系列简单的单元。我们将解释形函数、刚度矩阵、载荷向量的构建过程，以及如何通过求解大型稀疏线性方程组来获得数值解。本书将重点介绍在二维区域上的应用，例如弹性力学和流体力学问题。 有限体积法（Finite Volume Method）： 这种方法介于有限差分法和有限元法之间，特别适用于守恒型方程。本章将介绍其基本思想，即积分形式下的方程在离散控制体积上的应用，确保了守恒律的精确满足。我们将讨论如何构建界面通量，以及在不同离散化方案下的应用。 第五章：特殊函数与微分方程 在解决许多物理问题时，我们会遇到一些特殊的函数，它们本身就是某些微分方程的解，例如贝塞尔函数、勒让德函数、埃尔米特函数等。本章将介绍这些特殊函数及其重要的数学性质，并阐述它们与不同偏微分方程（如贝塞尔方程、勒让德方程）之间的联系。我们将详细讨论它们的级数展开、积分表示、递推关系以及正交性等性质。通过学习这些特殊函数，读者将能够更好地理解和求解涉及球对称、柱对称等问题的物理模型。 第六章：偏微分方程在物理学中的应用实例 本章将通过一系列生动的应用案例，进一步巩固读者对偏微分方程理论的理解。我们将深入探讨： 经典力学： 例如，描述弹性体振动的梁方程和板方程，描述流体运动的纳维-斯托克斯方程及其简化形式（如伯努利方程）。 电磁学： 例如，麦克斯韦方程组的方程的解释及其求解，静电场和稳恒磁场问题。 热力学： 例如，更复杂的传热模型，涉及相变和辐射传热。 量子力学： 例如，薛定谔方程的含义及其在解决原子、分子和固体物理中的应用。 其他领域： 例如，在地球物理学中描述地震波传播，在生物学中描述拡散方程式，在金融学中描述期权定价的布莱克-斯科尔斯方程。 每个案例都将从物理背景出发，引导读者建立相应的偏微分方程模型，并选择合适的数学方法进行求解，强调数学工具与物理现象之间的紧密联系。 学习目标 通过学习本书，读者将能够： 1. 理解偏微分方程的核心概念和分类。 2. 熟练掌握几种经典偏微分方程（拉普拉斯方程、泊松方程、热传导方程、波动方程）的性质和解的存在性、唯一性。 3. 灵活运用分离变量法、傅里叶变换、格林函数法、特征线法等解析方法求解偏微分方程。 4. 理解并初步掌握有限差分法、有限元法等数值求解偏微分方程的基本原理。 5. 认识特殊函数在解偏微分方程中的作用，并掌握其基本性质。 6. 能够将实际物理问题转化为偏微分方程模型，并选择合适的数学方法进行求解。 7. 培养严谨的数学思维和解决复杂科学问题的能力。 本书适合物理学、工程学、数学等相关专业的本科生、研究生以及对偏微分方程感兴趣的研究人员阅读。我们希望通过本书的学习，读者能够深刻体会到偏微分方程在揭示自然规律、解决科学技术难题方面的重要价值。

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这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，用色大胆而又不失稳重，那种深沉的墨蓝与跳跃的亮黄的碰撞，仿佛在诉说着数学世界里严谨与创新的交织。我第一眼看到它时，就被那种强烈的艺术气息所吸引，完全不像一本枯燥的教科书。翻开扉页，排版的设计也极其考究，字体的选择既保证了易读性，又透露出一种古典的韵味。尤其值得称赞的是，书中大量的插图和图示，它们并非简单的装饰，而是与文字内容紧密结合的工具，那些复杂的概念在图表的辅助下变得清晰明了，仿佛有一位经验丰富的老师，正耐心地为你描绘每一个抽象的几何意义。我花了很长时间去欣赏这些细节，这让阅读过程本身成了一种享受，而不是单纯的任务。作者在细节处理上的用心程度，足以看出他对知识传播的深刻理解，他明白，好的内容需要一个优雅的载体才能真正打动人心。这种对形式美学的追求，在理工科的教材中是极为罕见的，也让我对接下来内容的期待值飙升。

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这本书的印刷质量和装帧设计，透露着一种对知识的敬畏感。纸张的选择非常出色，那种略微偏黄的米白色，长时间阅读下来，眼睛的疲劳感明显减轻，这对于一个需要面对大量数学符号的读者来说，简直是福音。装订非常牢固，即便是频繁翻阅查找公式和例题，书脊也丝毫没有松动的迹象，完全可以经受住多年高强度的使用。更细微之处在于，书中对公式和变量的排印规范性，每一个希腊字母、每一个上下标都精确无误，这种专业水准的排版，极大地提升了阅读的准确性和流畅性，避免了因排版模糊而导致的误读。在如今许多出版物都追求快速、廉价的背景下，能看到一本如此注重实体品质的书籍，实在令人感到欣慰。它不仅仅是一本学习资料，更像是一件值得珍藏的工具书。

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这本书的习题设计，简直是教科书级别的典范，其难度跨度和层次感处理得炉火纯青。从最基础的暖身练习，到那些需要融会贯通才能攻克的“压轴大戏”，编排得如同一个精心设计的攀岩墙。最让我欣赏的是，它不满足于纯粹的代数计算。很多题目都巧妙地融入了实际物理场景或者工程背景，比如描述振动衰减、电路分析中的电流响应等等。这使得原本抽象的数学工具瞬间拥有了生命力和应用价值。我特别喜欢那些需要综合运用前几章知识才能解答的综合题，它们迫使你必须建立起知识点之间的联系，而不是孤立地看待每一个公式。更贴心的是，书后附带的参考答案部分，不仅给出了最终结果，还辅以了精炼的解题思路提示，这在独立学习时提供了及时的反馈和指导，避免了陷入僵局而产生挫败感。

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我过去在学习高等数学时，常常会感到公式的推导过程像是一场在迷雾中摸索的旅程，每一步都充满不确定性。然而，这本书的讲解方式彻底颠覆了我的这种刻板印象。它不是简单地罗列定理和公式，而是像在讲述一个精彩的侦探故事，每一步逻辑推理都清晰可见，每一步的动机都解释得淋漓尽致。作者似乎深谙读者的认知路径，总能在关键的转折点给出恰到好处的铺垫和回顾，让人感觉思路始终处于被引导的状态，几乎不会感到迷茫。特别是对于那些初学者望而生畏的“存在性与唯一性”的证明，书中采用了非常具象化的类比和多角度的阐释，即便是对分析学不太熟悉的读者，也能从中窥见其内在的逻辑骨架。这种教学法的精妙之处在于，它培养的不是机械记忆的能力，而是对数学思维的深刻洞察力。读完一个章节后，我感觉自己不仅仅是记住了解法，更是掌握了一种解决问题的全新视角。

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我尝试过市面上好几本相关的参考书，它们大多要么过于注重理论的严谨性，将阅读门槛设置得极高，要么又过于简化，牺牲了解析的深度。这本书则找到了一个近乎完美的平衡点。它在保持学术严谨性的同时，对那些非核心但有助于理解的背景知识也进行了充分的挖掘和介绍。比如，书中穿插了一些关于历史上数学家们如何发展出这些理论的轶事和思考过程，这些“花絮”极大地丰富了阅读体验，让我感受到了数学发展的曲折与伟大。这种“讲故事”的方式，让冰冷的公式充满了人性的温度。它不把你当成一个纯粹的计算机器，而是邀请你成为一个历史的参与者和思考的同行者。这种温暖而又充满智慧的叙述风格，是许多同类书籍所欠缺的，也是它能够长时间吸引我持续阅读的关键所在。

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