常微分方程续论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:山东大学出版社

作者:范进军

出品人:

页数:214

译者:

出版时间:2009-7

价格:18.00元

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isbn号码:9787560738895

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《常微分方程续论》图书简介 概述 《常微分方程续论》并非一本简单意义上的“续篇”，它是在广泛而深入地探讨了常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）基本理论和经典解法之后，进一步拓展研究领域、深化理论认识、并引导读者走向更前沿、更复杂数学分析的一部重要著作。本书旨在构建一个系统性的框架，将读者从初识常微分方程的奇妙世界，引向对其内在深邃规律的深刻理解，并为进一步探索微分方程在各个学科领域的应用奠定坚实的基础。 本书的内容设计充分考虑了读者在掌握了基础常微分方程知识后的学习路径。它并非仅仅罗列各种“高级”方法，而是通过严谨的数学推导和精妙的逻辑组织，层层递进地展现了常微分方程理论的广阔图景。全书的主线是围绕着“不只是求解”这一核心理念展开：我们关注方程的结构、解的存在性与唯一性、解的性态（如稳定性、周期性、渐近行为）、以及更一般意义下的微分方程系统的动力学特性。 核心内容与亮点 第一部分：解的存在性与唯一性理论的深化 在许多初学者的入门教材中，Picard-Lindelöf定理常常是关于解的存在性与唯一性的“终点”。《常微分方程续论》则以此为起点，深入探讨了该定理的普适性局限，并引出了更一般条件下的存在性与唯一性结果。 Peano存在定理及其意义： 介绍在只要求右端连续而无需Lipschitz条件下，解的存在性。这显著拓宽了理论适用的范围，尤其在那些函数导数不总是存在的复杂模型中显得尤为重要。本书将详细阐述Peano定理的证明思路，并分析其与Picard-Lindelöf定理在条件和结论上的差异。 延拓定理与解的“生命周期”： 任何一个局部的解，理论上都可以在某个区间上存在。延拓定理则告诉我们，只要方程在定义域内保持良好性质，这个局部解就可以被“无限”地延拓下去，直至遇到定义域的边界。本书将深入探讨延拓定理的证明，并分析解的“最大存在区间”这一概念的重要性，理解解的“生命周期”是如何被方程的性质决定的。 奇异情形的分析： 许多实际问题中，微分方程的右端函数在某些点上可能不是处处可微，甚至不连续，这导致解的存在性与唯一性成为一个更复杂的问题。本书将触及这些奇异情形，介绍一些初步的分析方法，例如使用不动点定理在更广阔的空间中寻找解，以及讨论解的“多值性”问题。 第二部分：线性微分方程组的深入研究 线性微分方程组是常微分方程理论中研究最透彻、应用也最广泛的一类。本书将在此基础上，超越简单的常数系数解法，引入更精细的分析工具。 变系数线性方程组的解法与结构： 对于变系数线性方程组，其解的表达式通常不能通过初等函数直接写出。本书将侧重于理解其解的结构。 基的性质与Wronskian行列式： 深入探讨线性无关解基的概念，并详细讲解Wronskian行列式在判断解的线性无关性、以及作为辅助计算中的作用。 常数变易法： 详细阐述常数变易法（Variation of Parameters）的原理和具体操作步骤，这是求解非齐次变系数线性方程组的通用方法，本书将通过大量算例展示其应用。 矩阵指数函数： 介绍矩阵指数函数 $e^{At}$ 的定义和性质，它是求解齐次常系数线性方程组 $x' = Ax$ 的解析解的重要工具。本书将深入探讨其计算方法，包括利用特征值分解、若尔当标准型等，并讨论其在系统响应分析中的作用。 稳定性理论初步： 线性系统零解的稳定性是理解整个动力学系统行为的关键。 特征值与稳定性： 详细分析常系数线性系统零解的稳定性与其矩阵特征值之间的深刻联系。本书将详细讲解如何通过特征值的实部来判断系统的渐近稳定性、临界稳定性或不稳定性。 Lyapunov稳定性理论简介： 介绍Lyapunov稳定性理论的初步思想，即通过构造Lyapunov函数来判断非线性系统的稳定性，为后续非线性系统稳定性分析奠定基础。 第三部分：非线性微分方程的定性分析 相较于线性系统，非线性系统的分析更为复杂和迷人。《常微分方程续论》将重点放在非线性系统的定性分析方法上，即不总是寻求精确解，而是通过分析解的几何行为、平衡点、极限环等来理解系统。 相平面分析（Phase Plane Analysis）： 对于二维非线性自治系统，相平面分析是一种强大的可视化和分析工具。 平衡点（Equilibria）的分类： 详细介绍如何计算非线性系统的平衡点，并分析不同类型平衡点的稳定性，如结点、鞍点、焦点、中心等。本书将通过绘制相轨迹来直观展示这些平衡点的性质。 极限环（Limit Cycles）的存在性与唯一性： 探讨周期解——极限环——的存在性判据，如Poincaré-Bendixson定理。本书将展示如何利用相平面分析来识别和近似计算极限环，这对于理解振动、振荡等现象至关重要。 自治系统与非自治系统： 区分自治系统（右端不显含自变量 $t$）与非自治系统，并介绍一些处理非自治系统的方法，如通过升维转化为自治系统。 奇点（Singularities）的分析： 某些非线性系统在特定点上行为会变得异常。本书将介绍如何识别和分析奇点附近系统的行为。 第四部分：一些重要特例与进阶主题 为了使内容更加充实和具有启发性，《常微分方程续论》还将触及一些在理论和应用中具有特殊意义的微分方程类型和分析方法。 奇异摄动问题（Singular Perturbation Problems）： 介绍包含小参数 $epsilon$ 的微分方程，当 $epsilon o 0$ 时，方程阶数可能发生“跳跃”的现象。本书将阐述奇点摄动问题的基本概念，以及如何应用匹配渐近展开等方法来近似求解这类问题，这在控制理论、流体力学等领域有广泛应用。 振动方程与边界值问题： 讨论一些典型的振动方程，如二阶线性常微分方程的 Sturm-Liouville 特征值问题。本书将介绍特征值和特征函数的重要性，以及它们在求解边界值问题和展开函数（如傅里叶级数）中的作用。 初等解法局限性与数值方法的引入： 明确指出，许多常微分方程（尤其是非线性方程）无法获得初等解析解。因此，本书将简要介绍数值求解方法的基本思想，为读者后续深入学习数值分析奠定基础，如欧拉法、龙格-库塔法等，并讨论其精度和稳定性问题。 本书特色与价值 严谨的数学论证： 全书注重理论的严谨性，每一个定理的提出都伴随着清晰的证明过程。 多角度的理解： 结合几何直观（如相平面分析）和代数运算，帮助读者从不同角度理解微分方程的性质。 启发式教学： 通过对经典问题的深入分析，引导读者思考更一般、更复杂的情况。 应用导向： 虽然本书以理论为主，但其内容深刻影响和指导着微分方程在物理、工程、生物、经济等众多领域的应用。 承前启后： 作为一本“续论”，本书巧妙地连接了基础常微分方程的知识与更前沿的动力系统、偏微分方程等领域。 《常微分方程续论》适合具备了常微分方程基础知识的本科生、研究生，以及在科研和工程领域需要深入理解和应用常微分方程的专业人士阅读。它不仅能够帮助读者构建更完整、更深刻的常微分方程知识体系，更能激发读者对数学建模和科学探索的兴趣。本书将引领读者进入一个更加广阔和精妙的数学世界，体验常微分方程理论的无穷魅力。

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当我翻开这本书的某些章节时，仿佛被拉入了一个关于数学美学的殿堂。它处理偏微分方程（PDEs）的侧重，尤其是在介绍椭圆型和抛物线型方程的弱解概念时，那种哲学思辨的深度让人震撼。作者对待泛函分析在PDE理论中的应用，丝毫不含糊，充分展示了Sobolev空间、分布理论这些抽象工具如何成为解决实际物理模型（如波动与扩散）的坚实基础。我尤其对其中关于能量守恒和熵的讨论印象深刻，它不仅仅停留在数学证明的层面，更深入探讨了这些物理约束是如何决定了数学解的唯一性和长期行为的。阅读体验是沉浸式的，需要反复咀嚼才能体会到其中精妙的逻辑链条，它迫使你跳出传统的微积分思维定势，用更宏大、更抽象的视角去审视那些描述自然现象的方程组。这本书绝不是用来快速翻阅的快餐读物，它要求读者拿出对待经典著作的敬畏之心。

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这本书的后半部分，关于动力系统（Dynamical Systems）的讨论，无疑是全书的精髓所在，它将之前分散的知识点汇聚成一个统一的、描述时间演化的宏大框架。作者对吸引子、极限环以及混沌现象的介绍，处理得既富有启发性又极其审慎。我欣赏它对洛伦兹吸引子等经典案例的选取，不是为了猎奇，而是为了阐释为什么即使在完全确定的方程中，也会出现对初始条件的极端敏感性。书中对拓扑共轭和结构稳定性等概念的引入，使得读者能够跳出坐标系的束缚，去关注系统本质的几何结构。这种抽象层次的提升，要求读者必须对几何直觉和代数技巧都有深刻的理解。读完这一部分，你会感觉到自己对“变化”的理解，已经从线性的、可预测的运动，提升到了对复杂系统整体行为模式的洞察，这是一种质的飞跃，是多年学习中难得一遇的智力盛宴。

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这本书的叙事风格极其鲜明，带着一种冷静的、近乎冷酷的数学家气质，尤其在引入随机过程和随机微分方程（SDEs）的部分，更是如此。它没有用太多花哨的例子来稀释核心的Itô积分概念，而是直接切入到鞅论和随机微积分的严密构建中去。对于我这种偏爱确定性系统的读者来说，最初接触这部分内容时，确实感到有些吃力，因为它要求对概率论有极高的熟练度。然而，一旦跨过了最初的障碍，就会发现作者构建的理论框架是如此的自洽和强大，它揭示了微观世界中的无序如何通过数学工具转化为宏观上的可预测趋势。书中对于SDEs的解的存在性和唯一性的论证，详略得当，既保证了理论的严密性，又为后续的应用（如金融数学或布朗运动的建模）打下了坚实基础。总而言之，这是一部关于“不确定性下的确定性结构”的力作。

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这套教材简直是为那些在经典常微分方程学习后，仍渴望深入探索更广阔数学世界的读者量身打造的。它并没有沉溺于基础概念的重复讲解，而是迅速将我们引向了理论的深水区，比如更复杂的定性分析方法，诸如庞加莱映射和分支理论的基础应用。我特别欣赏作者在引入变分法和控制论时那种严谨而又不失洞察力的笔触。它不是简单地罗列公式，而是细致地剖析了这些工具在解决实际工程和物理问题时的优雅之处。比如，在讨论稳定性理论时，对李雅普诺夫函数的构建和选择，书中给出了多种不同的角度和权衡，这使得即便是面对高度非线性的系统，读者也能掌握一套系统性的分析框架。那种层次感，让初学者望而生畏，但对于有一定基础的进阶学习者来说，简直是久旱逢甘霖的宝典。它成功地架起了从“会解方程”到“理解系统动态本质”之间的桥梁，读起来酣畅淋漓，充满了智力上的挑战和满足感。

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我对这本书在数值方法和计算实现上的平衡把握赞赏有加。很多高级的常微分方程书籍往往止步于理论推导，对实际求解束手无策。但此书在讲解了定性理论之后，立刻引入了诸如龙格-库塔法的更高阶改进、以及针对刚性方程（Stiff Equations）的隐式方法。作者在对比不同方法的效率和稳定域时，使用了非常直观的图形辅助，这对于理解算法的局限性至关重要。特别是关于误差的传播和控制，书中对局部截断误差和全局误差的区分论述得极为清晰。它成功地让读者意识到，理论上的解与实际计算机算出的解之间，往往存在着巨大的鸿沟，而弥补这个鸿沟的正是对数值稳定性的深刻理解。这本书的实用价值，在于它培养了一种“计算思维”，而不是仅仅停留于“证明思维”。

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