常微分方程讲义 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:高等教育出版社

作者:叶彦谦

出品人:

页数:342

译者:

出版时间:1982

价格:0.75

装帧:19cm

isbn号码:9780625162659

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 教材
• 常微分方程5
• 常微分方程
• 常微分
• hao
• 常微分方程
• 微分方程
• 数学
• 高等数学
• 讲义
• 教材
• 理工科
• 工程数学
• 数学分析
• 微分积分

《偏微分方程引论》 内容简介 本书是一部关于偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）的入门级教材，旨在为学习者提供坚实的理论基础和必要的分析工具，以便理解和解决各类偏微分方程问题。全书共分为八章，循序渐进地引导读者深入探索偏微分方程的精彩世界。 第一章 偏微分方程基础 本章作为全书的开篇，将系统性地介绍偏微分方程的基本概念和分类。我们会首先阐述偏微分方程与常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）的本质区别，强调其在描述多变量、多物理场相互作用现象中的核心作用。随后，我们将对常见的偏微分方程进行分类，主要包括： 按阶数分类： 讲解偏微分方程中最高阶偏导数的阶数决定了方程的阶数。 按线性分类： 区分线性偏微分方程和非线性偏微分方程，并介绍齐次与非齐次线性方程的概念。 按类型分类： 这是本章的重点，我们将详细介绍三类最基本、最重要的偏微分方程： 椭圆型方程 (Elliptic Equations)： 以拉普拉斯方程 ($Delta u = 0$) 和泊松方程 ($Delta u = f$) 为代表，它们通常描述稳态问题，如温度分布、静电势等。我们会介绍其基本性质，例如解的正则性和极值原理。 抛物型方程 (Parabolic Equations)： 以热传导方程 ($frac{partial u}{partial t} = k Delta u$) 为代表，它们描述随时间演变但不存在波动性的过程，如热量扩散、物质浓度变化等。本章将初步探讨其时间演化特性。 双曲型方程 (Hyperbolic Equations)： 以波动方程 ($frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 Delta u$) 为代表，它们描述具有传播性和波动的过程，如声波、电磁波的传播。我们将初步分析其解的传播性质。 此外，本章还会引入适定性（Well-posedness）的概念，包括解的存在性、唯一性以及解对初始和边界条件的稳定性，这是理解偏微分方程问题的关键。 第二章 线性二阶偏微分方程的分类与变换 在理解了基本概念后，本章将聚焦于线性二阶偏微分方程，这是许多实际问题建模的基础。我们将深入分析其分类的原理，并介绍如何通过变量替换（如坐标变换）将方程化简，使其形式更加清晰。 特征线法 (Method of Characteristics)： 这是求解一阶和部分线性二阶偏微分方程的强大工具。本章将详细介绍特征线的概念，并演示如何利用特征线来求解线性或拟线性方程。我们会探讨不同类型方程（椭圆、抛物、双曲）在特征线上的行为差异。 标准形式变换： 对于线性二阶偏微分方程，可以通过坐标变换将其化为某一标准形式，例如将椭圆型方程化为拉普拉斯方程或泊松方程的形式，将抛物型方程化为热传导方程的形式，将双曲型方程化为波动方程的形式。这将极大地简化后续的分析和求解。 第三章 求解方法：分离变量法 分离变量法是求解许多线性偏微分方程（特别是定解问题）的经典且重要的解析方法。本章将详细阐述该方法的核心思想和步骤。 分离变量的思想： 当方程具有齐次线性以及齐次边界条件时，可以将多变量的解函数分解为若干个单变量函数的乘积。 常微分方程的引入： 分离变量后，我们将得到一组常微分方程，这些常微分方程的解构成了偏微分方程解的“基”。 傅里叶级数与傅里叶变换： 为了处理非齐次项或非齐次边界条件，我们需要利用傅里叶级数（对于周期性区域）或傅里叶变换（对于无界区域）来表示待定系数或求解。本章将重点介绍傅里叶级数在求解边值问题中的应用，包括傅里叶正弦级数、余弦级数和一般傅里叶级数的展开。 实例讲解： 通过求解热传导方程的初边值问题、拉普拉斯方程的狄利克雷问题和诺伊曼问题等经典例子，使读者熟练掌握分离变量法的应用。 第四章 泛函分析在偏微分方程中的初步应用 本章将引入泛函分析的一些基本工具，为更深入地理解偏微分方程的性质和分析解的存在性、唯一性提供理论基础。 赋范线性空间： 介绍Banach空间和Hilbert空间的概念，以及范数和内积的重要性。 Sobolev空间： 这是偏微分方程理论中至关重要的函数空间。我们将初步介绍Sobolev空间的定义，包括其弱导数和范数，以及它在处理具有弱解的方程中的作用。 L^p空间： 介绍L^p空间及其性质，它们是泛函分析中研究函数性质的重要工具，也常用于度量解的“大小”。 收敛性概念： 讨论不同类型的收敛性，如逐点收敛、L^p收敛、一致收敛等，并探讨它们与解的性质之间的关系。 收敛性定理： 介绍一些重要的收敛性定理，如Fatou引理、控制收敛定理等，这些定理在证明解的存在性时非常有用。 第五章 弱解与能量方法 对于一些复杂的偏微分方程，特别是那些具有不光滑系数或奇点的方程，传统意义上的古典解可能不存在，此时引入弱解的概念显得尤为重要。本章将详细介绍弱解的定义以及能量方法。 弱解的定义： 将偏微分方程通过乘以适当的检验函数并进行分部积分，转化为积分形式，从而放宽对解的光滑性要求，得到弱解的概念。 能量不等式/等式： 能量方法是通过构造与方程形式相关的“能量”函数，并利用能量随时间的演化（或空间的变化）来分析解的性质。这通常涉及到对弱解的积分形式进行操作。 能量法的应用： 存在性证明： 通过能量方法，结合泛函分析中的不动点定理或Riesz表示定理，可以证明弱解的存在性。 唯一性证明： 利用能量方法，可以证明解的唯一性。例如，如果存在两个解，考虑它们的差，然后通过能量估计来证明这个差必然为零。 稳定性分析： 能量方法也常用于分析解的稳定性，即微小的扰动是否会导致解的显著变化。 第六章 拟线性方程与非线性方程初步 本章将开始探讨比线性方程更复杂的拟线性方程和非线性方程。 拟线性方程： 介绍系数依赖于解及其导数的方程。我们会讨论一些特殊类型的拟线性方程，并介绍相应的求解策略。 非线性方程： 引入非线性方程的概念，指出非线性方程的解的存在性、唯一性以及性质往往比线性方程复杂得多，解析求解的难度也大大增加。 局部存在性： 介绍一些用于证明非线性方程局部解存在性的方法，如Picard-Lindelöf定理的推广。 概括性讨论： 强调非线性方程的研究是偏微分方程领域的一个活跃且富有挑战性的方向，并指出数值方法在该领域的重要性。 第七章 边界值问题的研究 本章将深入研究不同类型的边界值问题，包括它们的不同类型以及求解的特有方法。 狄利克雷问题 (Dirichlet Problem)： 在区域边界上指定函数值的边界条件。 诺伊曼问题 (Neumann Problem)： 在区域边界上指定函数法向导数值的边界条件。 罗宾问题 (Robin Problem)： 在区域边界上指定函数值和法向导数值的线性组合的边界条件。 混合边界条件： 讨论在同一区域不同边界上采用不同边界条件的情况。 Green函数方法： 介绍Green函数作为求解线性非齐次边值问题的通用方法，理解Green函数的定义、性质及其构建。 第八章 偏微分方程的数值解法导论 考虑到许多偏微分方程无法获得精确的解析解，本章将为读者介绍几种主要的数值求解方法。 有限差分法 (Finite Difference Method, FDM)： 将连续的偏微分方程区域离散化，用差分近似代替偏导数，从而将偏微分方程转化为代数方程组。我们将介绍不同类型的差分格式（如向前差分、向后差分、中心差分）及其稳定性、收敛性。 有限元法 (Finite Element Method, FEM)： 另一种非常重要的数值方法，尤其适用于复杂几何形状的区域。它基于变分原理，将求解域划分为一系列小单元，并在每个单元内用分段多项式近似解。 有限体积法 (Finite Volume Method, FVM)： 介于有限差分法和有限元法之间的一种方法，常用于流体力学等领域。 数值方法的评价： 简要讨论不同数值方法的优缺点，以及如何根据具体问题选择合适的数值方法。 本书特点 由浅入深： 从基本概念出发，逐步引入更复杂的理论和方法，适合初学者。 理论与实践结合： 理论推导严谨，同时配以大量经典的例题讲解，帮助读者理解抽象概念。 强调物理背景： 书中穿插了大量偏微分方程在物理、工程等领域的应用实例，帮助读者理解方程的意义和价值。 现代视角： 引入了泛函分析和弱解等现代偏微分方程理论的重要工具，为读者进一步深入学习打下基础。 适用对象 本书适合高等院校数学、物理、工程、力学以及相关交叉学科的本科生和研究生作为教材或参考书。对于希望系统学习偏微分方程理论的科研人员和工程技术人员，本书也将提供重要的指导。 本书力求为读者构建一个清晰、完整、扎实的偏微分方程知识体系，为解决实际问题和进一步的深入研究奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

说实话，当我拿到这本厚厚的书时，我有些担心它会是那种枯燥乏味的纯理论集合。但我错了，这本书的结构设计简直太巧妙了。它采用了“问题导向”的教学方法，每引入一个新的概念或方法，都会立刻引出一个具有挑战性但又极具启发性的例子来巩固理解。我特别喜欢作者对边界值问题和初值问题的区分与联系的论述，这种清晰的层次感极大地帮助我构建起完整的知识体系。书中的图示和案例分析是点睛之笔，它们将那些原本抽象的相图和解的性质可视化，使得原本晦涩难懂的概念变得触手可及。我对其中关于稳定性分析的部分印象尤为深刻，作者用通俗易懂的语言解释了李雅普诺夫函数的使用，这在很多教材中都是一笔带过的地方。这本书的深度和广度都拿捏得恰到好处，既能满足希望深入研究的读者的需求，也足以让自学者建立起坚实的数学基础。阅读过程中，我感觉自己不再是被动接受知识，而是在积极地与作者一同探索数学的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

我对高等数学的学习一直抱有一种敬畏又疏离的心态，总觉得那些高深的理论离我的实际工作太远了。然而，这本讲义彻底改变了我的看法。作者在讲解中穿插了大量的实际应用场景，比如振动理论、电路分析中如何运用这些方程，语言风格上也非常接地气，完全没有高高在上的说教感。我尤其欣赏作者对“奇异点”附近解的局部行为的分析，那部分内容写得极其透彻，仿佛能看到解的曲线在那个点上是如何“挣扎”和“分叉”的。书中的习题设计也是一绝，难度梯度设置得非常合理，从基础的检验性练习到需要综合运用多个知识点的综合题，应有尽有。我尝试做了几道较难的习题，它们不仅仅是计算的考验，更是对理解深度的检验。这使得学习过程不再是简单的知识吸收，而是一场持续的、充满乐趣的智力挑战。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和细节处理非常专业，看得出来出版方在制作上是下了大功夫的。字体选择舒适，公式的排版工整清晰，这对于需要长时间阅读数学著作的人来说至关重要。更重要的是，作者在内容组织上的严谨性令人敬佩。它不仅仅停留在“是什么”的层面，而是深入挖掘了“为什么”和“怎么样”的逻辑链条。例如，在讨论摄动理论时，作者没有简单地给出公式，而是详细追溯了该方法产生的历史背景和它所解决的实际困难，这极大地增强了阅读的代入感和学习的动力。我发现，书中对许多经典定理的证明都提供了至少两种不同的视角，这对于培养灵活的数学思维非常有益。很多时候，我读完一个证明后，会合上书本，尝试用另一种方式去重构证明的逻辑，而这本书恰好提供了这种“可玩性”。这绝对是一本可以放在案头，时常翻阅，每次都能有所得益的优秀教材。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最深切的感受是它的“完整性”和“连贯性”。很多关于微分方程的书籍都会在某些关键的过渡点上显得支离破碎，但在这本讲义中，从最基本的概念引入，到线性方程组的矩阵方法，再到更高级的稳定性理论和函数空间中的解法，所有的知识点都如同精心编织的网格，紧密相连，逻辑严密。我发现自己很少需要频繁地翻阅前面的章节来回顾背景知识，因为作者在介绍新概念时，已经非常自然地回顾了必要的铺垫。特别是关于拉普拉斯变换在解非齐次线性方程中的应用部分，讲解得清晰而简洁，极大地提高了解决实际问题的效率。对于那些希望系统地掌握常微分方程理论框架的读者而言，这本书提供了一个极其坚实且可靠的基石。它不仅教会你如何解题，更重要的是，它塑造了你对这个数学分支的整体认知结构。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是数学爱好者们的福音！我向来对解析学和几何学有着浓厚的兴趣，但总觉得在真正理解微分方程的深刻内涵时缺少那么一块拼图。这本书的行文风格非常自然流畅，它不像很多教科书那样堆砌公式和定义，而是更像一位经验丰富的导师，循循善诱地引导读者进入常微分方程的美妙世界。特别是对解的存在性和唯一性定理的阐述，作者采用了非常直观且富有洞察力的方式，让我这个初学者也能领会到背后的数学哲学。书中对各种经典方程的解法介绍得极其详尽，从分离变量到常数变易法，每一步的推导都清晰可见，绝无跳跃。最让我惊喜的是，作者没有止步于理论推导，还穿插了大量实际应用实例，让我真切地感受到这些抽象的数学工具是如何描绘物理现象和工程问题的。读完前几章，我已经开始重新审视我过去对微分方程的理解，这绝不是一本普通的参考书，更像是一次深度的数学思维训练。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆