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出版者:World Scientific Publishing Company

作者:[澳]Balwant Singh

出品人:

页数:404

译者:

出版时间:2011-3-19

价格:USD 46.00

装帧:Paperback

isbn号码:9789814313629

丛书系列:

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《线性代数：理论与应用》 本书旨在为读者提供坚实的线性代数基础，深入探讨其核心概念、理论结构及其在现代科学与工程领域中的广泛应用。 第一部分：基础与核心概念 第一章：向量空间与线性依赖 本书伊始，我们将构建线性代数的理论基石——向量空间。从抽象的定义出发，我们详细阐述了向量空间的公理化结构，并考察了在不同代数结构（如实数域、复数域）上定义的向量空间。本章重点剖析了线性组合、线性包（张成）、线性无关性与线性依赖性的概念。通过大量的实例，包括函数空间和矩阵空间，帮助读者建立对抽象向量空间的直观理解。特别地，我们详细分析了如何判定一组向量是否线性相关，以及如何通过行简化技术（Row Echelon Form）来确定向量组的秩和一组向量在特定基下的坐标表示。 第二章：基、维数与子空间 在掌握了线性依赖性之后，我们进入到描述向量空间“大小”的关键概念——基和维数。本章定义了基作为生成子集与线性无关性的完美结合。我们证明了任何向量空间都存在一组基，并且任何两组基之间存在同构关系，从而确立了维数作为向量空间结构不变量的地位。子空间的概念被系统地引入，包括和子空间、交子空间。通过对直和的深入讨论，我们为后续理解投影和分解奠定了基础。本章的实践部分侧重于如何通过坐标变换来改变基，以及如何使用基的更换矩阵来简化计算。 第三章：线性变换 线性变换是连接不同向量空间的桥梁。本章将线性变换视为保持向量空间结构的映射，形式化地定义了T: V → W 及其性质，如加法和标量乘法下的保持性。我们详细讨论了线性变换的核空间（Kernel，或零空间）和像空间（Image，或值域），并给出了著名的秩-零化度定理，这是理解线性变换结构的核心定理。此外，我们探讨了线性变换的矩阵表示，即如何根据选定的基来构造表示矩阵，并分析了矩阵乘法在复合线性变换中的几何意义。 第二部分：矩阵代数与方程求解 第四章：矩阵运算与行列式 本章系统地回顾和深化了矩阵代数的基础。除了标准的矩阵加法、乘法和标量乘法外，我们着重分析了矩阵的逆、转置和伴随矩阵的性质。本章的核心是行列式（Determinant）的理论构建。我们从二阶和三阶行列式的几何意义（面积和体积的带符号的伸缩因子）出发，推广到$n imes n$矩阵，并严格证明了其乘法性质和与逆矩阵存在性的关系。我们详细介绍了计算行列式的拉普拉斯展开和利用初等行变换简化计算的方法。 第五章：线性方程组的求解 线性方程组是线性代数的起源和应用驱动力。本章使用向量空间和矩阵理论的语言来重新审视线性方程组$Amathbf{x} = mathbf{b}$。我们深入讲解了高斯消元法（Gaussian Elimination）和行阶梯形（Row Echelon Form）的稳健性。通过分析增广矩阵的秩，我们确立了方程组解集存在的充要条件，并分类讨论了唯一解、无穷多解和无解的情况。本章特别关注LU分解作为求解大型稀疏线性系统的一种高效数值方法。 第六章：对角化与特征值问题 特征值和特征向量是线性代数中描述线性变换“不变方向”的关键概念。本章定义了特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors），并展示了如何通过求解特征方程（Characteristic Equation）来找到它们。我们详细讨论了矩阵对角化（Diagonalization）的条件——即是否存在一组由特征向量构成的基。对于不可对角化的矩阵，我们引入了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）作为最终的规范形式，并阐述了其在微分方程解法中的重要性。本章还涉及了矩阵函数（如矩阵指数）的计算，这在动力系统分析中至关重要。 第三部分：结构分解与高级主题 第七章：内积空间与正交性 本章将线性代数的框架从一般的向量空间提升到具有度量结构的内积空间（Inner Product Spaces）。我们定义了内积，并由此引申出长度、距离和角度（正交性）的概念。对欧几里得空间（$mathbb{R}^n$）中的正交性进行深入分析后，我们着重讲解了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthonormalization），它能够将任意一组基转化为一组正交（或标准正交）基。本章的高潮是正交投影理论，它提供了求解最小二乘问题的几何直观基础。 第八章：对称矩阵与谱定理 对称矩阵在应用中占据核心地位。本章专门研究实对称矩阵的特殊性质。我们证明了谱定理（Spectral Theorem），该定理指出任何实对称矩阵都可以在一组标准正交特征向量下被对角化。这不仅简化了矩阵的幂次计算，也为二次型和最优化问题提供了关键工具。我们详细讨论了二次型（Quadratic Forms）和正定性、负定性的判定，这直接关联到多元函数的极值判断。 第九章：广义特征值问题与奇异值分解 (SVD) 本章将理论推向了现代数据分析的前沿。我们探讨了更普遍的广义特征值问题。随后，我们详细介绍了奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD），将其视为对任意矩阵（无论方阵与否）的最通用分解形式。SVD不仅提供了矩阵的“最佳秩逼近”，也是主成分分析（PCA）和推荐系统等现代计算科学的基础。我们从几何角度解释了SVD如何描述线性变换对空间（旋转、缩放、投影）的影响。 第四部分：应用基础 第十章：应用案例选讲 本书最后一部分侧重于展示线性代数在不同学科中的强大威力： 1. 图论与网络分析： 使用邻接矩阵和拉普拉斯矩阵来分析网络结构和传播过程。 2. 微分方程初步： 利用特征值方法求解常系数线性系统，理解系统随时间的动态行为。 3. 优化基础： 讨论线性规划问题的几何解释，以及梯度下降法中正交投影的应用。 本书的写作风格力求严谨的数学论证与清晰的几何直觉相结合，旨在培养读者运用线性代数思维解决复杂问题的能力。每一章后附有大量难度适中的习题，以巩固理论理解和提升计算技能。

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这本书如同一座深邃的知识殿堂，初次踏入，便被其严谨而优雅的结构所吸引。我之前接触过一些代数书籍，但《Basic Commutative Algebra》展现出的那种对基本概念的精雕细琢，以及对概念之间内在联系的深刻洞察，的确是前所未有的。作者在开篇就为读者构建了一个坚实的数学语言基础，这对于理解后面更复杂的理论至关重要。每一个定义都经过了反复的打磨，力求清晰、准确，并且常常辅以直观的例子，帮助读者在脑海中勾勒出抽象概念的轮廓。例如，在介绍环（ring）的概念时，作者并没有仅仅罗列公理，而是花了大量篇幅去解释这些公理的意义，以及它们如何自然地从我们熟悉的数系（如整数、实数）中提炼出来。这种循序渐进的教学方式，极大地降低了初学者的学习门槛，也让我更加确信，掌握好这些基本概念，是通往更广阔代数世界的不二法门。书中的练习题设计也十分巧妙，它们并非简单的计算，而是引导读者去探索概念的边界，去验证定理的适用性，甚至是去发现新的性质。通过这些练习，我不仅巩固了对新知识的理解，更学会了如何运用所学知识解决问题，培养了独立思考和数学推理的能力。这本书的排版也值得称赞，清晰的逻辑结构，适度的留白，以及关键术语的加粗，都为阅读体验增添了不少舒适度。它不仅仅是一本教材，更像是一位耐心而睿智的导师，引领我一步步深入理解交换代数的美妙。

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这本书对于建立扎实的交换代数基础而言，简直是无可替代的。我之前阅读过一些交换代数的入门书籍，但总感觉它们在概念的深度和广度上有所欠缺。《Basic Commutative Algebra》则提供了一种更为全面和深入的视角。作者在讲解每一个概念时，都力求做到“知其然，更知其所以然”。例如，在介绍戴德金整环（Dedekind domain）时，作者不仅给出了其定义，还详细阐述了其在理想论中的特殊地位，以及它与数域（number field）的紧密联系。这种深入的挖掘，让我对这些概念有了更深刻的理解，也让我看到了它们在整个数学体系中的价值。而且，这本书对于定理证明的严谨性要求极高，每一个步骤都逻辑清晰，推理严密。这对于培养我的数学严谨性非常有帮助。我曾经花费大量时间去理解一个关于因子分解（factorization）的证明，通过这个证明，我不仅学会了如何处理不可约元素（irreducible element）和素元素（prime element）的关系，还对唯一因子分解整环（unique factorization domain）有了更透彻的认识。这本书的练习题也十分具有挑战性，它们往往需要综合运用多个章节的知识才能解决，这极大地锻炼了我的综合分析和解决问题的能力。

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在我接触过的数学书籍中，《Basic Commutative Algebra》无疑是让我感觉最“舒服”的一本。这种舒服，并非源于其内容的简单，而是源于其组织结构的合理性和讲解方式的体贴。作者在处理每一个章节的过渡时，都做得非常自然，让我在学习新内容时，不会感到突兀或迷失。例如，在从理想（ideal）的性质过渡到模（module）的讨论时，作者清晰地阐述了模是如何从理想推广而来的，以及它们在研究中的异同。这种“承上启下”的处理方式，极大地帮助我建立起对整个交换代数体系的全局观。而且，书中还穿插了一些“思考题”，这些题目并非需要严格的证明，而是引导读者去思考一些概念的本质或性质，往往能引发更深的理解。我曾经在阅读关于寂（exact sequence）的章节时，遇到了一个关于长寂的思考题，这个问题迫使我回顾了之前学习的同态（homomorphism）和核（kernel）的概念，并最终对寂的本质有了更清晰的认识。此外，这本书的排版也非常人性化，恰到好处的留白，清晰的数学符号标识，都使得长时间阅读也不会感到疲劳。它就像一位细心的老师，总是提前预判到我的疑问，并给出最恰当的解答。

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我必须说，《Basic Commutative Algebra》在概念的引入和过渡上做得非常出色。很多时候，一本好的数学书，其价值不仅在于它包含了多少知识，更在于它如何引导读者去学习这些知识。这本书在这方面做得近乎完美。作者似乎非常清楚初学者可能会遇到的困难，因此在讲解每一个新概念时，都会先回顾相关的旧知识，并解释新概念与旧知识之间的联系。例如，在引入素理想（prime ideal）和极大理想（maximal ideal）时，作者首先回顾了整数环中的素数和质数，然后自然地将这些概念推广到一般的环中。这种“旧知新用”的学习方式，极大地增强了学习的连贯性和效率。我发现，通过这种方式，我能够更轻松地理解这些抽象的概念，并且能够将它们与已有的数学知识融会贯通。书中对于不同数学结构的比较和对比也十分精彩。例如，作者会花费篇幅去讨论整环（integral domain）、域（field）以及其他一些特殊的环的性质，并说明它们在交换代数研究中的不同作用。这有助于读者建立起一个清晰的数学分类体系，从而更好地理解不同概念之间的细微差别。而且，书中还包含了一些“历史的注脚”，简要介绍了某些重要定理的发现过程，这为枯燥的公式增添了一份生动性，也让我对数学的发展历程有了更深的认识。

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如果要我用一个词来形容《Basic Commutative Algebra》，那一定是“清晰”。这本书在概念的呈现和逻辑的组织上，都做到了极高的清晰度。作者似乎非常善于将复杂的数学思想，用最简洁、最易于理解的方式表达出来。我尤其欣赏书中对数学术语的解释，每一个术语的引入都伴随着其精确的定义，并且常常会附带一些简单的例子来辅助理解。例如，在讲解同态（homomorphism）时，作者不仅给出了其形式化的定义，还通过整数之间的加法同态和乘法同态的例子，让我对同态的意义有了直观的感受。而且，这本书在证明的逻辑结构上也做得非常出色，每一步推导都清晰可见，没有含糊不清的地方。这使得我在阅读证明时，能够轻松地跟随作者的思路，并且能够验证每一个推理步骤的正确性。我曾经在学习关于理想（ideal）的扩张性质时，遇到了一个需要证明的命题，通过对书中提供的证明的仔细分析，我不仅理解了这个命题，还学会了如何运用“反证法”来解决问题。这本书的语言也十分平实，避免了不必要的学术腔调，让我在阅读时感到非常放松，能够更专注于数学内容本身。

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说实话，一开始我抱着学习交换代数的心态来阅读这本书，但它带给我的远不止于此。这本书的魅力在于它对数学思想的阐述，而不仅仅是公式和定理的堆砌。作者在讲解诸如理想（ideal）、模（module）等核心概念时，总是能巧妙地引入历史背景和数学家们的思考过程，这使得学习过程充满了人文关怀。我发现，理解一个概念的起源和发展，比单纯记忆其定义更能加深我的印象。比如，在讲解主理想（principal ideal）时，作者联系了欧几里得整环（Euclidean domain）的概念，解释了为何在这些特殊环中，每个理想都由一个元素生成。这种联系让抽象的代数概念变得更加具体和有血有肉。更重要的是，书中对于证明的呈现方式也极具启发性。作者通常会先给出证明的大致思路，然后再逐步细化，这使得证明过程不再是神秘莫测的黑箱，而是可以被理解和掌握的逻辑推理。我尤其欣赏书中对于反例的强调，理解什么不是某个概念，有时比理解什么才是更能帮助我们把握事物的本质。通过这些反例，我学会了如何审视定理的条件，以及在何种情况下定理可能失效。这种严谨的治学态度，也深深地影响了我对数学的理解。这本书的内容非常扎实，每一个章节都经过精心组织，层层递进，让我在不知不觉中建立起对交换代数体系的整体认知。

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《Basic Commutative Algebra》最让我印象深刻的一点是，它能够将看似孤立的数学概念，巧妙地编织成一个有机整体。作者在讲解每一个新的概念时，都会回顾之前所学，并解释新概念是如何自然地从旧概念中演化而来，或者与旧概念之间存在怎样的联系。例如，在讲解零因子（zero divisor）时，作者将其与整环（integral domain）的概念进行对比，清晰地展示了零因子如何打破了整环的某些性质。这种“前后呼应”的写作方式，让我在学习过程中始终保持着对全局的认知，不会因为陷入某个细节而忽略了整体的逻辑。书中对一些重要代数结构的讨论也十分到位，比如域（field）、交换环（commutative ring）、带单位的交换环（commutative ring with unity）等，作者都细致地分析了它们之间的包含关系和性质上的差异。这有助于我构建起一个清晰的代数结构分类体系，从而更好地理解不同概念的适用范围。此外，这本书还对一些基本代数运算的性质进行了详细的讨论，这为我今后进行更复杂的代数计算和证明打下了坚实的基础。可以说，这本书不仅仅是交换代数的入门，更是我理解更广泛代数领域的“敲门砖”。

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《Basic Commutative Algebra》在我看来，是一本能够激发读者探索欲望的书。它并非一味地灌输知识，而是通过精巧的编排，引导读者主动去发现和理解其中的奥秘。我尤其欣赏作者在处理一些复杂概念时，所采用的“由浅入深，由易到难”的策略。比如，在讲解模（module）的概念时，作者首先从向量空间（vector space）的类比入手，解释了模与向量空间在结构上的相似性，以及它们在概念上的区别。这种巧妙的类比，让我能够快速地抓住模的核心特征，并且能够将已有的线性代数知识迁移过来。书中的证明也并非都是直接给出，有些定理的证明会留给读者作为练习，或者只给出证明的关键步骤。这无疑增加了学习的挑战性，但也极大地激发了我去独立思考和解决问题的动力。我曾花了好几天时间去钻研一个关于代数扩张（algebraic extension）的证明，在这个过程中，我不仅学会了新的证明技巧，还对代数扩张的性质有了更深刻的理解。此外，这本书还包含了一些关于数域（number field）和代数几何（algebraic geometry）的初步介绍，这让我看到了交换代数在更广阔数学领域中的应用前景，也为我今后的学习指明了方向。

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这是一本非常“接地气”的代数书。我一直觉得，数学不应该仅仅停留在抽象的符号层面，而应该与现实世界或至少与其他数学分支有着紧密的联系。《Basic Commutative Algebra》在这方面做得相当不错。作者在讲解各个概念时，总会不自觉地联系到一些经典的数学例子，比如整数环、多项式环等，并且还会提及一些更高级的应用，比如代数几何或数论中的一些基本思想。这种“情境化”的学习方式，让我在阅读时感到非常亲切，并且能够理解这些抽象的代数结构为什么会被研究，它们有什么意义。我特别喜欢书中关于诺特环（Noetherian ring）的讨论，作者通过对多项式环的深入分析，展示了诺特环在代数几何中的重要作用，这让我对这个抽象的概念有了更直观的认识。而且，这本书的语言风格也十分平实，没有过多的卖弄概念或晦涩的术语，而是用一种非常清晰、简洁的方式来传递信息。这使得阅读过程非常顺畅，让我能够专注于理解数学内容本身。即使是对于一些非常核心的概念，比如素理想（prime ideal）和极大理想（maximal ideal）的性质，作者也能够用非常易于理解的方式进行解释，并且通过大量的例子来巩固理解。

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这本书在我看来，是一部能够真正培养数学思维的著作。它不仅仅是在传授知识，更是在塑造一种严谨、细致、富有逻辑的思考方式。我印象特别深刻的是，作者在处理每一个定义和定理时，都会预设读者可能存在的疑问，并在接下来的内容中一一解答。这种“主动预警”式的教学，让我感觉作者仿佛就在我身边，一步步地指导我前进。例如，在讲解诺特环（Noetherian ring）的概念时，作者先解释了升链条件（ascending chain condition）的含义，然后通过一系列的例子，说明了为什么这个条件如此重要，以及它如何保证了许多重要的性质。而且，作者还鼓励读者去尝试证明一些定理，即使这些证明可能需要花费一些时间和精力，但这种亲身实践的过程，远比被动接受答案更能锻炼人的能力。我曾花了一个下午的时间去尝试证明一个关于理想分解的定理，虽然一开始走了不少弯路，但在最终证明成功的那一刻，我获得的满足感和对定理的理解程度是难以言喻的。这本书的语言也十分精准，每一个词语都经过了仔细的推敲，确保了数学意义的无歧义性。这对于学习一门严谨的学科来说，是至关重要的。它教会了我如何精确地表达数学思想，如何清晰地构建逻辑链条。

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