Basic Algebra II

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出版者:W H Freeman & Co (Sd)
作者:Nathan Jacobson
出品人:
页数:688
译者:
出版时间:1989-09
价格:USD 86.95
装帧:Hardcover
isbn号码:9780716719335
丛书系列:
图书标签:
  • 代数
  • 数学
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  • 丘赛参考书
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  • 代数运算
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  • 函数
  • 多项式
  • 不等式
  • 数学教材
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具体描述

《高等数学基础与应用》 书籍简介 本书旨在为读者提供一套全面且深入的高等数学知识体系,重点关注微积分、线性代数和概率论在实际科学与工程领域中的应用。我们力求在保持数学严谨性的同时,增强对核心概念的直观理解,帮助读者建立起坚实的数学思维基础,并能熟练运用所学知识解决复杂问题。 第一部分:微积分核心原理与进阶 本部分内容涵盖了单变量与多变量微积分的基础理论及其在分析学中的应用。 第一章:函数、极限与连续性 本章从实数系统和函数的基本性质入手,为后续微积分的学习奠定基础。我们将详细探讨极限的 $epsilon-delta$ 定义,理解极限在描述函数行为中的关键作用。连续性被视为连接代数与分析的桥梁,本章将深入分析连续函数的性质,包括中值定理和介值定理的实际意义。特别关注一致连续性的概念,这对更高级的分析至关重要。 第二章:导数与微分学 导数的几何意义(切线斜率)和物理意义(瞬时变化率)将得到充分阐释。本章系统讲解微分法则,包括链式法则、乘积法则和商法则。高阶导数在曲线的凹凸性分析和极值问题求解中的应用是本章的重点。我们不仅会介绍费马定理、罗尔定理和均值定理(MVT),还会探讨洛必达法则在处理不定型极限时的强大效力。微分的应用,如线性近似和误差分析,将被置于实践场景中进行演示。 第三章:积分学基础 定积分的黎曼和定义是理解积分概念的基石。本章详细解析了积分的几何意义(面积、体积)和物理意义(功、流量)。我们将深入探讨微积分基本定理(FTC),这是连接微分和积分的桥梁,也是计算定积分的核心工具。不定积分的求解技术,包括换元法、分部积分法、三角代换和部分分式分解,将通过大量实例进行详尽的讲解和练习。 第四章:超越函数与积分技巧 本章专注于超越函数,如指数函数、对数函数和三角函数,及其反函数的积分。我们将系统梳理更复杂的积分技巧,包括三角函数的积分、欧拉公式在复分析预备中的应用,以及更深入的积分的数值逼近方法(如梯形法则和辛普森法则)。此外,本章会引入广义积分(反常积分)的概念,讨论其收敛性判据。 第五章:微分方程导论 本章为读者引入微分方程这一强大的建模工具。我们将主要关注一阶和二阶常微分方程(ODE)。一阶方程的解法,包括可分离变量法、积分因子法(一阶线性方程)和恰当方程,将得到详尽的讲解。二阶常系数线性齐次与非齐次方程的求解(常数法、待定系数法、参数变易法)构成了本章的核心内容。我们还将讨论物理模型(如弹簧振子和RLC电路)在这些方程中的应用。 第六章:多元微积分 从一维空间扩展到高维空间,本章介绍偏导数、梯度向量和方向导数。链式法则在高维空间中的推广是关键难点,我们将通过清晰的图示来帮助理解。极值问题在多元函数中的处理,包括利用海森矩阵(Hessian Matrix)进行二阶偏导数检验,是重要的优化技术。隐函数定理和反函数定理的陈述和应用将提升读者对多变量函数几何形态的认识。 第七章:多重积分与向量微积分基础 本章核心是二重积分和三重积分,它们在计算体积、质量、质心和转动惯量方面的应用。直角坐标、柱坐标和球坐标系下的积分转换将被详细讲解。向量场的概念引入后,本章导向线积分和曲面积分,为读者预备下一部分的内容。 第二部分:线性代数:结构与变换 线性代数是现代科学和数据分析的语言。本部分侧重于理解向量空间、线性映射的本质,以及矩阵运算在求解系统方程中的高效性。 第八章:矩阵代数与线性方程组 矩阵被视为线性变换的代表,本章详述矩阵的加减法、乘法和逆矩阵的求解。高斯消元法和行阶梯形式(RREF)是求解线性方程组的系统化工具,我们将探讨其背后的代数逻辑。矩阵的秩、零空间(核)和列空间(像)的概念,定义了线性映射的内在结构。 第九章:向量空间与基 本章深入抽象的向量空间概念,理解 $mathbb{R}^n$ 之外的函数空间、多项式空间等。线性无关性、张成、基和维数是核心概念。坐标变换的本质被解释为基底选择的变化。本章将强调基变换矩阵在简化问题中的作用。 第十章:线性变换 线性变换(或称线性映射)是研究函数如何在向量空间中“移动”或“变形”的关键。本章将从矩阵的角度分析线性变换的性质,如伸缩、旋转和投影。核空间(Null Space)和像空间(Image Space)的维数与变换的性质直接相关,并严格验证秩-零化定理。 第十一章:行列式 行列式作为描述方阵性质的一个标量值,其几何意义(体积或面积的缩放因子)和代数意义(可逆性判断)将贯穿本章。行列式的计算方法,包括代数余子式展开和性质应用,将得到详尽的论述。克莱姆法则作为求解小规模线性系统的直接方法也将被介绍。 第十二章:特征值与特征向量 本章是理解动态系统和矩阵对角化的关键。特征值和特征向量描述了在线性变换下保持方向不变的向量,是分析系统的稳定性、振动模式的核心。我们将学习如何通过求解特征方程来确定它们,并掌握对角化过程,这是简化矩阵幂运算和微分方程解法的强大技术。 第十三章:正交性与最小二乘法 内积空间的概念推广了欧几里得空间中的长度和角度。正交基和施密特正交化过程是构造简化基底的重要算法。本章的核心应用在于正交投影,它直接导向最小二乘法,这是处理超定系统(数据拟合)的唯一且最优的解析方法。对称矩阵的谱定理将作为理论的顶点展示。 第三部分:概率论与统计基础 本部分旨在建立随机现象的数学模型,为统计推断和风险评估提供理论支持。 第十四章:概率论基础 从样本空间、事件和概率的公理化定义出发,本章介绍了条件概率、独立事件以及贝叶斯定理在更新信念中的作用。计数原理(排列组合)在计算复杂概率问题中的应用将被强调。 第十五章:随机变量与分布 离散随机变量(如二项分布、泊松分布)和连续随机变量(如均匀分布、指数分布)的概率质量函数(PMF)和概率密度函数(PDF)将被区分讨论。期望值和方差的计算及其性质是本章的核心。特别关注正态分布(高斯分布)作为自然界中最普遍分布的重要性。 第十六章:联合分布与随机过程初步 多维随机变量的联合分布、边缘分布和独立性检验是本章的重点。协方差和相关系数用于衡量两个随机变量之间的线性关系。本章将引入大数定律和中心极限定理(CLT),它们是统计推断得以成立的理论基石。 附录:数值方法与编程接口 本书在主要章节的论述中,融入了如何使用现代计算工具(如Python的NumPy或MATLAB)来验证或求解涉及大型矩阵或复杂迭代的数学问题的思路和伪代码,以确保理论知识能高效地转化为实践技能。 目标读者 本书适合于工程、物理、计算机科学、经济学及其他量化科学领域的本科生和研究生,作为其专业数学课程的核心教材或参考书。尤其适合那些需要深入理解数学理论,并希望将其应用于建模、分析和解决实际问题的读者。本书的结构确保了从基础概念到高级应用的平稳过渡,强调了概念的深度理解而非仅仅是公式的记忆。

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读后感

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用户评价

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这本《Basic Algebra II》给我带来的惊喜是它在理论深度和实践应用之间的完美平衡。作者在讲解每一个代数概念时,不仅深入剖析了其数学原理,还极其注重将其与现实世界的各种应用场景相结合。我特别欣赏书中对“函数”这一核心概念的阐释,作者通过对不同类型函数的图像特征、性质以及在物理、经济、工程等领域的实际应用案例进行详细讲解,让我深刻理解了函数作为描述事物之间相互关系的强大工具。例如,在讲解指数函数时,作者将其与人口增长、复利计算等实际问题联系起来,让我能够直观地感受到数学在预测和分析动态过程中的重要作用。此外,书中还穿插了一些“小贴士”和“常见错误分析”,这些细致入微的指导,有效地帮助我避免了学习过程中可能遇到的陷阱,也让我能够更好地掌握解题的关键。我感觉这本书不仅仅是在传授知识,更是在培养一种解决问题的能力和一种严谨的科学思维方式。

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这本书的语言风格非常贴合初学者,《Basic Algebra II》用词精准且通俗易懂,没有过多华丽辞藻,但却能将复杂的数学概念解释得清晰透彻。我曾因为数学书籍中晦涩的语言而望而却步,但《Basic Algebra II》的作者似乎深谙此道,总能找到最恰当的词语来描述抽象的概念。例如,在讲解“因式分解”时,作者将其比作“拆解”或“重组”积木,这种形象的比喻让我瞬间就理解了其核心思想。此外,书中还提供了大量的图表和示意图,这些视觉化的辅助工具极大地降低了理解的门槛,让我能够更直观地看到代数公式和定理的含义。我尤其欣赏书中对“不等式”的学习设计,作者通过不同颜色的线条和区域来表示不等式的解集,这种直观的呈现方式,让我对不等式的概念有了更深刻的理解。我感觉,这本书就像一位耐心而细致的老师,一步步地引导我走向代数的殿堂。

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《Basic Algebra II》给我带来的另一个宝贵财富是它对学习方法和策略的指导。作者在每一章的开头和结尾,都会提供一些关于如何有效学习代数的建议,以及如何攻克学习难点的方法。我发现,这些建议非常实用,能够帮助我更好地规划学习时间,提高学习效率。例如,作者强调了“预习”和“复习”的重要性,并提供了具体的预习和复习方法。在遇到难题时,作者建议我不要轻易放弃,而是尝试从不同的角度去思考,或者查阅相关的资料,寻找灵感。这种积极的学习态度,让我能够克服学习中的挫折,保持学习的动力。我感觉,这本书不仅是在教授代数知识,更是在传授一种高效的学习方法,为我未来的学习之路提供了宝贵的经验。

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《Basic Algebra II》给我最直观的感受就是其内容的丰富性和结构的严谨性。这本书涵盖了高中代数中的大部分核心内容,从一元一次方程的解法,到多项式的运算,再到不等式的性质,无一不全。更重要的是,作者在组织这些内容时,充分考虑到了学习的循序渐进性,确保每一个新的概念都是建立在前面知识的基础之上。我曾尝试过阅读其他一些代数书籍,但往往会因为章节之间的跳跃过大而感到吃力,而《Basic Algebra II》则非常流畅,仿佛一条清晰的河流,将我带入代数的知识海洋。我特别欣赏书中对于“应用题”的处理方式,作者将复杂的应用场景转化为清晰的数学模型,并详细讲解了如何一步步地将其转化为代数方程进行求解。这对于培养我的问题解决能力和将数学知识应用于实际生活非常有帮助。例如,在处理“工程预算”和“投资回报”这类问题时,作者提供的解题框架清晰而实用,让我能够自信地应对类似的挑战。总而言之,这是一本结构合理、内容详实、非常适合系统学习代数的优秀教材。

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不得不说,《Basic Algebra II》在激发学习兴趣方面做得非常出色。这本书并没有让代数学习变得枯燥乏味,反而通过各种引人入胜的讲解方式,让我对代数产生了浓厚的兴趣。作者在讲解“方程的根”时,不仅仅是给出求解的方法,还巧妙地将其与现实生活中的“未知数”联系起来,例如寻找问题的解决方案、预测未来的趋势等等。这种“问题导向”的学习模式,让我觉得代数不再是孤立的数学符号,而是解决生活中各种问题的强大工具。此外,书中还穿插了一些“数学趣闻”和“历史故事”,这些内容不仅增加了阅读的趣味性,更让我了解到数学的起源和发展,以及那些为之付出的伟大头脑。我感觉,这本书就像一位充满活力的导游,带领我游览代数的奇妙世界。

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在我看来,《Basic Algebra II》不仅仅是一本教材,更像是一位循循善诱的良师益友。作者在每一章节的讲解都力求做到深入浅出,对于一些容易混淆的概念,更是反复强调,并提供了多种不同的角度和方法来解读。我尤其喜欢书中大量的例题和练习题,它们的设计非常巧妙,由易到难,能够有效地检验我学习的效果。每次完成一组练习后,我都能感受到自己对知识的掌握程度在不断提升。作者在解析例题时,不仅给出了详细的步骤,更注重讲解解题思路和技巧,这对于培养我的数学思维能力至关重要。我发现,通过这本书的学习,我不再仅仅是被动地记忆公式和定理,而是开始主动思考问题,寻找解决问题的最优路径。在学习二次函数的部分,我曾一度感到困惑,但作者通过对抛物线图形的细致分析,以及与实际应用场景(如投射运动)的结合,让我豁然开朗。这本书的语言风格也十分亲切,没有过于生硬的学术术语,读起来有一种很强的亲近感。我非常期待通过这本书的系统学习,能够扎实地掌握代数的核心知识,为日后的学习打下坚实的基础。

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《Basic Algebra II》给我留下的最深刻印象是它在引导读者思考方面所做的努力。作者并没有简单地提供答案,而是通过提问、引导和鼓励,促使读者主动去探索和发现。我非常喜欢书中那些“思考一下”和“挑战一下”的环节,它们往往是那些能够触及知识核心,需要读者深入思考才能解决的问题。当我遇到这些问题时,虽然有时会感到困惑,但通过反复琢磨和尝试,最终找到答案时,那种成就感是无与伦比的。作者在讲解“代数方程的解法”时,不仅仅是给出各种公式和技巧,更重要的是解释了这些方法背后的数学原理,让我理解“为什么”要这样做,而不是仅仅“怎么”做。这种教学方式极大地提升了我对代数学习的兴趣和自主性。我感觉,通过这本书的学习,我不再是被动接受知识的容器,而是主动探索数学世界的学习者。

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这本《Basic Algebra II》给我带来的最深刻感受是它对“理解”的极致追求。作者并没有满足于简单地罗列公式和定理,而是花了大量的篇幅去解释这些知识点背后的原理和逻辑。我一直认为,只有真正理解了事物的本质,才能灵活运用,而这本书恰恰做到了这一点。例如,在讲解指数和对数时,作者并没有直接给出繁琐的计算规则,而是从指数的幂运算规律出发,层层递进地引出了对数这一概念,并详细阐述了它们之间的内在联系。这种“溯本求源”的教学方式,让我对这些看似复杂的数学工具产生了全新的认识。此外,书中穿插的“历史回眸”和“数学家故事”也为枯燥的代数学习增添了不少乐趣,让我了解到这些知识是如何在历史长河中逐渐发展和完善的,也激发了我对数学史的兴趣。我发现,通过阅读这些小故事,我更能体会到数学的魅力和人类智慧的光辉。这本书不仅提升了我的代数水平,更重要的是,它培养了我对数学学习的积极性和主动性,让我愿意去探索更深层次的数学奥秘。

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《Basic Algebra II》带给我的最大收获之一是它在培养逻辑思维和严谨性方面的卓越表现。代数本身就是一门高度逻辑化的学科,而这本书的作者在讲解过程中,始终强调逻辑的严密性和推理的准确性。我发现,通过学习这本书,我不仅掌握了代数知识,更重要的是,我的逻辑思维能力得到了显著的提升。例如,在学习“证明题”时,作者详细讲解了各种证明的思路和方法,以及在证明过程中需要注意的逻辑细节。这让我明白,在数学中,每一个结论都必须有严密的逻辑推理作为支撑。这种严谨的态度也逐渐渗透到我学习的其他科目以及日常生活中,让我做事更加有条理,思考问题更加周全。我感觉,这本书不仅是一本代数书,更是一本培养批判性思维和严谨态度的“成长之书”。

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这本书的封面设计简洁而富有质感,沉甸甸的纸张散发出淡淡的书墨香,让人一眼就感受到它是一本值得认真研读的著作。我一直以来对代数这门学科都有着浓厚的兴趣,但又觉得某些概念和技巧总是在理解的边缘徘徊,无法真正融会贯通。当我翻开《Basic Algebra II》时,一种久违的求知欲被点燃了。作者在开篇就为读者勾勒出了代数世界的宏大图景,从最基础的变量、方程,到更复杂的函数、不等式,层层递进,逻辑清晰。我尤其欣赏作者在解释抽象概念时所使用的生动比喻和实际案例,这让我能够更好地将理论知识与生活经验联系起来,从而加深理解。例如,在讲解线性方程组时,作者巧妙地将其比作现实生活中多个变量之间的相互制约关系,比如供需平衡、成本效益分析等,这不仅消除了我对抽象数学的畏惧感,更让我看到了代数在解决实际问题中的强大力量。更让我惊喜的是,这本书的排版也非常人性化,图文并茂,关键概念和公式都以醒目的方式呈现,方便我随时查阅和回顾。我迫不及待地想要深入探索这本书的每一个章节,相信它会带我进入一个全新的数学视野。

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