代数基础 模、范畴、同调代数与层 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:华东师范大学出版社

作者:陈志杰

出品人:

页数:222

译者:

出版时间:2001

价格:12.00

装帧:21cm

isbn号码:9787561726389

丛书系列:

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• 数学
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• 范畴
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• 其余代数5
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抽象代数进阶：群、环与域的深度探索 本书旨在为读者提供一个严谨、深入的抽象代数框架，聚焦于群论、环论和域论的核心概念、结构与应用。全书结构清晰，逻辑严密，从基础概念的构建出发，逐步深入到现代代数中的重要分支和前沿课题，适合作为高等院校数学专业本科高年级或研究生阶段的教材及参考书。 第一部分：群论的精深解析 本部分致力于对群的结构进行透彻的剖析。我们首先从更一般的代数结构（如半群、独异点）出发，奠定群定义的严谨基础，随后迅速过渡到对有限群结构的研究。 1. 群的结构与分类： 详细阐述了子群、陪集、正规子群与商群的概念，并着重讨论了同态与同构的性质。群作用（Group Actions）被提升到核心地位，通过轨道-稳定子定理，我们系统地分析了群在集合上的作用，并以此为工具深入研究有限群。重点讨论了中心（Center）和换位子子群（Commutator Subgroup），揭示群的阿贝尔化程度。 2. 重要的群类与结构定理： 对p-群（$p$-Groups）进行了细致的分析，利用Sylow定理——群论中最强大的结构工具之一——对有限群的结构进行了精确的刻画。我们详尽地证明了Sylow三定理，并展示了如何利用它们来确定特定阶群的结构。随后，本书转向对特殊类型的群的深入研究，包括有限生成阿贝尔群的结构定理，它将任何有限生成阿贝尔群分解为初等因子群（Elementary Divisors）或初等因子（Primary Components）的直和，这是理解更复杂代数对象结构的重要基石。 3. 置换群与表示论的初步： 对对称群（Symmetric Groups）和交错群（Alternating Groups）的性质进行了深入探讨，特别是对$A_n$ ($n ge 5$)的单群性证明，这是伽罗瓦理论的基础。在深入表示论之前，本书引入了群表示的基础概念，包括群代数（Group Algebra）的概念，以及酉表示和不可约表示之间的关系，为理解代数对象与线性空间之间的联系打下基础。 第二部分：环论的核心与结构 第二部分将焦点转移到环这一更丰富的代数结构上。我们将环视为具有两种运算的集合，其研究深度远超中学代数所接触的范畴。 1. 环的基本性质与重要特例： 详述了环的定义、子环、环同态及其性质。重点考察了特殊的环结构：整环（Integral Domains）和除环（Division Rings）。对交换环的特性进行了细致的探讨，并引入了零因子（Zero Divisors）的概念。 2. 理想与商环的理论： 理想（Ideals）在环论中的地位等同于正规子群在群论中的地位。本书详细阐述了左、右、双边理想，并定义了商环（Quotient Rings）。同态定理被推广到环的情形。我们深入研究了特殊类型的理想，特别是极大理想（Maximal Ideals）与素理想（Prime Ideals）——它们是连接环结构与拓扑结构（如谱空间）的关键概念。 3. 重要的环类： 本书系统地研究了几种在代数几何和数论中至关重要的环类： 主理想整环 (Principal Ideal Domains, PID)： 研究了唯一因子分解整环（Unique Factorization Domains, UFD）与PID之间的关系，并给出了在欧几里得整环（Euclidean Domains）中PID的充分条件。 唯一因子分解整环 (UFD)： 深入探讨了不可约元素与素元素之间的区别和联系，以及在UFD中的因子唯一性。 Noether 环与 Artinian 环： 引入了升链条件（Ascending Chain Condition, ACC）和降链条件（Descending Chain Condition, DCC），特别是Noether环的性质，这对于代数几何中处理多项式环至关重要。我们证明了Hilbert基定理，并探讨了Artinian环的结构，特别是Artin-Rees 定理及其在局部化中的应用。 第三部分：域论与伽罗瓦理论 第三部分聚焦于域（Fields）——那些可以进行加、减、乘、除（除数非零）的代数结构。域论是研究方程根和代数数论的基石。 1. 域的扩张： 域扩张（Field Extensions）是本部分的核心。我们从最基本的概念开始，讨论了代数扩张与超越扩张。详细分析了有限扩张的次数（Degree of Extension），并引入了重要的中间域（Intermediate Fields）的概念。 2. 代数闭包与正规扩张： 本书构建了域的代数闭包（Algebraic Closure），证明了其存在性和唯一性。正规扩张（Normal Extensions）和可分扩张（Separable Extensions）被引入，特别是对于特征为零的域，所有扩张都是可分的。我们详细研究了有限域（Finite Fields）的结构，证明了有限域的存在性与其阶数必须是素数幂，并确定了它们的结构。 3. 伽罗瓦理论的经典应用： 伽罗瓦理论（Galois Theory）是本书的高潮部分。我们定义了伽罗瓦群（Galois Group）并证明了基本的伽罗瓦对应定理，该定理将域扩张的中间域与伽罗瓦群的子群之间建立了精确的一一对应关系。 本书利用伽罗瓦理论的强大工具，系统地解决了经典代数问题： 多项式的可解性： 分析了多项式方程在有限扩张中根的表示问题，并证明了五次及以上一般多项式方程不可用根式求解的结论。 古典几何作图问题： 应用域扩张的次数限制，严格证明了尺规作图的三个经典难题（等分角、化圆为方、立方加倍）的不可能性。 第四部分：现代代数中的连接桥梁 本书最后一部分着眼于连接抽象代数核心概念与更广泛数学领域的工具。 1. 模论的引入： 在环论的基础上，本书自然地过渡到模（Modules）的概念——它们是向量空间在一般环上的推广。我们讨论了模的基本性质、子模、商模和模同态。重点分析了有限生成模的结构，特别是对于Noether环上的模，其结构定理的意义。这为后续研究提供了必要的代数语言。 2. 张量积与张量代数： 张量积（Tensor Products）是构造更高维代数结构的关键工具。我们详细定义了张量积，并探讨了其交换性、结合性和与直积的关系。张量代数（Tensor Algebras）的构造被引入，作为理解更高阶张量结构的起点。 本书的叙事风格力求保持数学的纯粹性和严谨性，强调证明的完整性与概念之间的内在联系，旨在培养读者对代数结构本质的深刻洞察力，并为其向代数几何、代数拓扑等高级领域迈进做好坚实的准备。

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这本书的标题暗示了它将从基础的代数概念出发，逐渐深入到更为抽象和高级的领域。我希望它能够提供一个清晰的脉络，展示这些概念是如何相互关联，并最终构建起一个统一的数学理论。例如，我希望看到如何从模的理论出发，自然地引出范畴论中的一些基本思想，以及同调代数如何成为研究模和范畴结构的重要工具。同时，我也好奇层论在整个框架中所处的位置，它是否是前述概念在几何上的自然延伸和应用。这种层层递进、逻辑严密的讲解方式，对于构建扎实的数学知识体系至关重要。我期待这本书能够帮助我建立起一种“全局观”，理解这些看似独立的数学分支是如何融会贯通，共同构成现代数学的宏伟图景。

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“层”（sheaves）是这本书中另一个让我感到兴奋的部分。我接触过一些关于层论的初步介绍，它似乎是连接代数和几何的桥梁，允许我们在“局部”定义对象，然后在“全局”将它们粘合起来。我理解层在代数几何中用于描述几何对象的局部性质，比如函数、微分形式或者其他代数结构。我希望这本书能够详细地介绍层的定义、预层（presheaves）、栈（stalks）、粘合公理（sheaf axioms），以及如何构造层。我也期待它能介绍一些重要的函子，比如由层生成的自由层、投射层，以及它们的分类。理解层论，对于深入研究簇的结构、上同调以及代数几何中的许多其他重要概念至关重要。

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我对于书中是否会包含一些“图示”或者“图解”也颇为关注。虽然抽象代数很多时候是高度符号化的，但有时一些直观的图示能够极大地帮助理解复杂的概念，特别是对于范畴论和层论这样的领域。我希望书中能够提供一些能够帮助读者建立直观理解的辅助材料，比如一些经典的范畴图或者层论中的纤维束图。即使这些图示不能完全涵盖所有内容，它们也能成为学习过程中的“拐杖”，帮助我们跨越理解上的障碍。同时，我也期待书中能够提供一些“备考”性质的总结或者回顾，在每个章节结束时，能够提炼出本章的核心概念和定理，方便读者巩固记忆和快速查阅。

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拿到这本书的第一感觉是它的分量。不是说物理上的重量，而是它所承载的知识内容的“分量”。“代数基础”这个副标题让我对它有了初步的定位，但后面的“模、范畴、同调代数与层”这几个词语组合起来，简直就像是打开了一个充满未知领域的宝藏。我最近对代数几何领域产生了浓厚的兴趣，而我知道，模（modules）和层（sheaves）是理解代数几何的关键概念。特别是层论，它在几何对象上定义函数和结构，为我们研究几何提供了强大的工具。我曾经尝试过阅读一些关于层的材料，但往往因为基础知识的不足而难以深入。我寄希望于这本书能够提供一个扎实的代数基础，尤其是对模论的清晰阐述，这样我才能更好地理解层论的精髓。范畴论更是让人着迷，它是一种高度抽象的语言，能够统一和概括数学中的许多不同领域，我想象着它能为我提供一种“上帝视角”来审视代数结构。同调代数则是我一直以来感到有些畏惧但又充满好奇的部分，它处理的是“不存在”的东西，比如链复形和同调群，这些概念虽然抽象，却在代数拓扑、代数几何以及数论等领域有着举足轻重的地位。

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我非常期待这本书能成为我深入探索现代代数几何、代数拓扑甚至数论的“敲门砖”。我知道，这些领域都高度依赖于模、范畴、同调代数和层论等概念。如果这本书能够为我打下坚实的基础，我将非常有信心去攻克更复杂的理论和研究前沿。我希望它不仅仅是一本“教科书”，更能成为我学习道路上的“良师益友”，在我遇到困惑时，能够提供清晰的指引；在我取得进步时，能够给我更多灵感。我还会关注书中是否会提及一些后续的阅读建议或者研究方向，这对于我规划自己的学习路径非常有帮助。总而言之，我对这本书充满了期待，希望它能真正地帮助我打开通往更广阔数学世界的大门。

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我对这本书最主要的期待，是它能够清晰地解释“模”（modules）这个概念。我知道模是群论中“表示”概念的推广，并且在环论中扮演着核心角色。理解模，对于深入学习任何与代数相关的领域都至关重要。我希望这本书能够从最基本的定义开始，一步步介绍模的性质、子模、模的同态、直和等概念，并且能提供一些具体的例子来帮助理解。例如，向量空间本身就是域上的模，这提供了一个很好的切入点。然后，我想了解如何从模的概念过渡到更抽象的范畴论。我听说范畴论提供了一种统一的语言来描述数学结构之间的关系，它关注的不是对象本身的性质，而是对象之间的“态射”（morphisms）。我希望能在这本书中找到关于范畴、函子、自然变换的介绍，理解它们如何帮助我们建立不同数学结构之间的联系。

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这本书的潜在读者群体可能非常广泛，既包括了对代数基础有初步了解但想深入研究的学生，也可能包括了希望拓展数学视野的研究者。我希望这本书的讲解风格能够兼顾普适性和深度。也就是说，它既要能够让初学者理解基本概念，也要能够让有一定基础的读者找到新的启发和深入的视角。我特别关注书中是否会引导读者思考一些“为什么”的问题，比如为什么需要范畴论？同调代数解决了什么问题？层论提供了什么新的工具？这些深层次的追问，能够激发读者的学习兴趣，并帮助他们建立对数学研究内在驱动力的认识。

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这本书的排版和字体选择也颇为考究，纸张的质感也很好，拿在手里感觉很舒适，这对长时间阅读一本厚重的数学著作来说非常重要。我一直认为，一本好的数学书，除了内容本身要严谨清晰之外，阅读体验同样不可忽视。我特别关注书中是否会包含一些历史的介绍或者是一些著名数学家的故事，这能让学习的过程更加生动有趣，也更能理解这些概念是如何一步步发展起来的。例如，范畴论的起源，以及同调代数在解决具体数学问题中发挥的作用，这些背景知识的补充，往往能极大地加深我们对抽象概念的理解。我希望这本书能够在这方面有所体现，让我在学习严谨的数学概念的同时，也能感受到数学研究的魅力和历史的沉淀。同时，我对书中是否包含练习题或者一些思考题也颇为期待，毕竟数学的学习离不开大量的实践和思考，只有通过动手演算和解决问题，才能真正掌握书中的知识。

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“同调代数”这个词汇对我来说，总有一种神秘感。我曾经接触过一些同调代数的初步概念，比如链复形、上同调和同调群，但感觉像是隔靴搔痒，无法真正掌握其内在的逻辑。我希望这本书能够系统地介绍同调代数的基本理论，例如同调函子、派生函子（例如 Ext 和 Tor 函子），以及它们在计算和证明中的应用。我尤其对同调代数如何应用于代数几何感到好奇，比如关于相交数（intersection numbers）的计算，以及它在研究簇（schemes）的性质时所扮演的角色。我相信，如果这本书能提供一个清晰的同调代数框架，将有助于我理解一些在代数几何和代数拓扑中非常重要的定理和技巧。

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这本书的封面设计倒是挺吸引人的，那种沉稳的蓝色搭配金色的书名，一看就是那种“硬核”学术著作的风格，虽然我还没正式开始读，但仅仅是这外观，就让我对它充满了好感。我猜想里面的内容一定很扎实，毕竟“模”、“范畴”、“同调代数”这些词汇本身就带着一股严谨的气息。我一直对抽象代数中的一些概念感到好奇，比如范畴论，它似乎提供了一种看待数学结构的全新视角，不同于我们熟悉的集合论或者群论的语言。我期待这本书能带领我一步步地理解这些深邃的思想，从最基础的模概念入手，逐渐建立起对更高级概念的认知。我希望它不仅仅是概念的堆砌，更能有机地将这些概念联系起来，展现出数学的内在逻辑和美感。同时，作为一本“基础”读物，我也期望它的讲解能够循序渐进，即使是对这些领域不太熟悉的读者也能有所收获。读数学书最怕的就是那种上来就抛出大量定义和定理，让人不知所云的，我希望这本书在这方面能够做得更好，提供足够的铺垫和解释。

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华师自编的教材，全书都是最基本的东西，适合迅速入门。

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优点之一是有些题目有答案 网上有比较详细的答案，请自寻解答

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