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出版者:世界图书出版公司

作者:V.S.Varadarajan

出品人:

页数:430

译者:

出版时间:2008-5

价格:69.00元

装帧:

isbn号码:9787506292245

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

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抽象代数核心概念的深度探索：群论与代数结构基础 本书聚焦于现代数学，特别是抽象代数领域中，群论与代数结构理论的严谨构建与深入应用。 本书旨在为高等数学专业学生、研究生以及希望系统学习代数基础的科研人员提供一份详尽、深入且富有启发性的教材与参考资料。我们不涉及特定于李群或李代数的专题内容，而是将重点放在奠定理解这些高级主题所必需的、更为基础和普适的代数框架之上。 本书的结构设计遵循了数学理论发展的自然逻辑，从最基本的集合论概念出发，逐步构建起抽象代数的核心支柱。 --- 第一部分：代数结构的基础构建 第一章：集合、映射与二元运算的严谨定义 本章首先对数学对象的基础——集合进行复习，强调集合的精确描述、子集关系以及笛卡尔积的概念。随后，我们引入二元运算（Binary Operation）作为连接集合元素的桥梁，并探讨运算的性质，如封闭性、结合律和交换律。重点分析了恒等元（Identity Element）和逆元（Inverse Element）在代数结构中的关键作用。映射（Functions）的引入聚焦于单射、满射和双射，这些性质是定义代数结构同构性的基础。通过对有限集合上运算的详尽讨论，为后续的群论奠定操作层面的直观理解。 第二章：群（Groups）的公理化定义与基本性质 本章是本书的核心起点之一。我们严格遵循四个公理（封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元）来定义群。详细分析了群的唯一性定理（单位元和逆元的存在性和唯一性），并展示了初等群的性质，例如 $( ext{ab})^{-1} = ext{b}^{-1} ext{a}^{-1}$ 的推导。 我们将群的例子划分为有限群与无限群，对有限群，引入阶的概念（Order of a Group），并初步探讨了循环群（Cyclic Groups）——这是最简单且结构最明确的一类群。循环群的生成元、生成关系以及其子群结构得到了详尽的分析。 第三章：子群（Subgroups）与陪集（Cosets） 本章深入研究群的内部结构。定义了子群的概念，并给出了判定子群的充分必要条件（两步检验法和单步检验法）。大量实例展示了不同类型的子群，如中心（Center）和换位子子群（Commutator Subgroup）的初步概念。 陪集作为分割群体的工具被引入。详细阐述了左陪集与右陪集的概念，并证明了陪集构成了群的一个划分（Partition）。陪集理论的逻辑严密性保证了下一章中拉格朗日定理的建立。 第四章：同态（Homomorphisms）与同构（Isomorphisms） 本章将代数结构之间的关系提升到运算保持的层面。同态的定义强调了对运算结构的尊重，即 $f(ab) = f(a)f(b)$。我们详细分析了同态的核（Kernel）和像（Image），并证明了核是子群，且像也是子群。 同构作为一种结构上的等价关系得到了强调。同构定理（Isomorphism Theorems）——特别是第一同构定理——被视为连接商群（Factor Groups）与同态像的关键桥梁，其证明过程被细致分解。通过同构的概念，读者可以理解不同看似不同的代数系统在本质上可能是相同的。 --- 第二部分：核心结构理论的深化 第五章：商群（Factor Groups）与正规子群（Normal Subgroups） 商群的构造是抽象代数中最精妙的部分之一。本章首先定义了正规子群的概念——当左陪集等于右陪集时。随后，我们证明了正规子群是构造商群的唯一先决条件，并详细说明了商群 $G/N$ 上的乘法是如何良定义的。通过具体例子，如整数群 $mathbb{Z}$ 及其子群 $nmathbb{Z}$ 构成的商群 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$，展示了商群在解决周期性和模运算中的威力。 第六章：群的作用（Group Actions） 本章从更动态的角度审视群与集合之间的关系。群作用的公理化定义（结合律与恒等元作用）被确立。我们分析了轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的概念，并利用它们推导出了著名的轨道-稳定子定理：$|G| = | ext{Orb}(x)| cdot | ext{Stab}(x)|$。这一定理是解决计数问题和证明许多群论结论（如柯西定理的简单推论）的强大工具。不动点（Fixed Points）的分析也贯穿本章。 第七章：西洛定理（Sylow Theorems）的初步介绍 西洛定理是有限群理论的基石。本章详细介绍了 $p$-群、西洛 $p$-子群的概念。我们系统地证明了西洛的第一、第二和第三定理。第一定理确保了存在最大 $p$-子群；第二定理涉及这些子群之间的关系；第三定理提供了关于西洛 $p$-子群数量的精确计数公式。对这些定理的深刻理解是分析中等大小有限群结构不可或缺的。 --- 第三部分：拓展与环论的引入 第八章：环（Rings）的公理化与基本性质 从群过渡到环，本章引入了第二个核心代数结构——环，它包含两个二元运算：加法和乘法。我们严格定义了交换环、单位环，并讨论了乘法单位元和零元（Zero Element）的性质。加法群的结构（通常是阿贝尔群）是环的首要特征。本章随后介绍了特殊类型的环元素：零因子（Zero Divisors）、整环（Integral Domains）以及域（Fields）。 第九章：理想（Ideals）与商环（Factor Rings） 类比于群中的子群和正规子群，本章定义了环中的理想，并区分了左、右、双边理想。重点分析了性质更强的“主理想”（Principal Ideals）。接着，我们构造了商环 $R/I$，并明确了其运算依赖于理想 $I$ 必须是双边理想。环同态和同构的定义被扩展，并给出了环的同构定理，巩固了商结构在抽象代数中的统一性。 第十章：域（Fields）的结构与多项式环（Polynomial Rings） 域被视为运算结构最完备的代数系统，其中所有非零元素都有乘法逆元。本章探讨了域的基本性质。随后，我们将关注于多项式环 $F[x]$，其中 $F$ 是一个域。讨论了多项式的除法算法（Division Algorithm），并展示了多项式环 $F[x]$ 的结构特性，为更高级的伽罗瓦理论和代数数论的后续学习铺平了道路。 --- 总结与展望： 本书通过对集合、运算、群、环等基本代数结构的严谨定义、深入分析和相互关联的阐释，为读者构建了一个坚实的抽象代数基础。内容聚焦于经典代数理论的逻辑推导和结构洞察，而不涉及李群、李代数或微分几何中的特定拓扑结构与分析工具。本书的每一个概念和定理都旨在培养读者严密的数学思维和精确的代数表达能力。

评分☆☆☆☆☆

因为没有看到有人说这本书，所以写一点笔记。 V.S.Varadarajan，此书作者，现在UCLA任教，研究方向大致关于对称超对称。A.H.Evans，扉页诗歌作者，美国诗人。以及，我还蛮喜欢的，在数学书的扉页引这一段诗歌什么的。 关于读这本书的先修内容，理论上只需要数学分析、线性代...

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

数学的魅力，常常体现在那些能够将看似无关的概念联系起来的理论体系中。李群、李代数及其表示，这三个概念的组合，在我看来，正是这样一种将几何、代数和分析融为一体的深刻理论。我一直对连续对称性及其在物理和几何中的广泛应用充满兴趣，而李群和李代数正是描述这些现象的核心工具。我希望这本书能够从李群的定义出发，清晰地阐述其作为光滑流形上的群结构，以及它在连续变换中所扮演的角色。更让我着迷的是，书中能够深入解释李代数与李群之间的紧密联系，特别是李代数如何通过其李括号运算来捕捉李群在单位元附近的行为。而“表示”这一概念，更是吸引我的关键。我理解，表示理论是将抽象的代数对象转化为具体的线性代数运算的桥梁，它能够帮助我们理解李群和李代数的结构，以及它们如何在各种数学和物理模型中得到应用。我期待书中能够通过一系列精心挑选的例子，比如介绍一些重要的李代数，如sl(n)、so(n)以及sp(n)，并深入探讨它们的表示理论，包括如何计算它们的不可约表示，以及这些表示如何与物理学中的对称性以及量子力学中的算符相对应。这本书，对我而言，不仅是学习知识的途径，更是对数学抽象思维的一次深刻锻炼，我期望它能为我开启通往更广阔数学世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

我对数学的兴趣，很大程度上源于它能够以一种抽象而又精确的方式描述现实世界的复杂性。李群和李代数，这两个概念的结合，在我看来，预示着一种能够捕捉连续对称性精髓的强大理论框架。这本书《李群，李代数及其表示》，正是引领我进入这一领域的向导。我迫切希望它能从李群的定义出发，清晰地阐述其作为光滑流形上的群结构所具有的独特属性。更重要的是，我希望书中能够深入浅出地解释李代数与李群之间的紧密联系，特别是李代数如何通过其李括号运算来反映李群在局部区域的微小变换性质。而“表示”这个部分，对我而言更是充满了吸引力。我理解，表示理论是将抽象的代数结构映射到更易于理解的线性代数空间中的关键工具，它能够揭示李群和李代数结构的内在奥秘。我期待书中能够通过丰富的例子，比如对常见李群如GL(n)、SO(n)、Sp(n)的表示进行深入的介绍，例如如何计算它们的不可约表示，以及如何利用特征标理论来区分不同的表示。我更希望书中能够展示这些表示在物理学中的实际应用，比如在量子力学中对对称性的描述，或者在粒子物理中对基本粒子的分类。这本书，对我来说，是一次探索数学深层逻辑的旅程，我希望它能让我领略到数学之美，并激发我对更广泛数学问题的研究热情。

评分☆☆☆☆☆

我一直坚信，数学的魅力在于其能够以一种抽象而又精确的方式，描绘和理解我们所处世界的深刻规律。李群、李代数及其表示，这几个概念的组合，在我看来，正是这样一种连接几何、代数与物理的强大理论体系。我一直对连续对称性及其在现代科学中的广泛应用深感兴趣，而李群和李代数正是描述这类对称性的核心数学工具。我期待这本书能够从李群的定义出发，清晰地阐述其作为光滑流形上的群结构所具有的几何属性，以及它在描述连续变换中的作用。更让我着迷的是，书中能够深入解释李代数与李群之间的紧密联系，特别是李代数如何通过其李括号运算来捕捉李群在单位元附近的行为。而“表示”这一概念，更是吸引我的关键。我理解，表示理论是将抽象的代数结构映射到更易于理解的线性代数空间中的关键工具，它能够揭示李群和李代数的结构，以及它们如何在各种数学和物理模型中得以应用。我期待书中能够通过一系列精心挑选的例子，比如介绍一些重要的李代数，如sl(n)、so(n)以及sp(n)，并深入探讨它们的表示理论，包括如何计算它们的不可约表示，以及这些表示如何与物理学中的对称性以及量子力学中的算符相对应。这本书，对我而言，不仅是学习知识的途径，更是对数学抽象思维的一次深刻锻炼，我期望它能为我开启通往更广阔数学世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次看到《李群，李代数及其表示》这本书的书名时，我的思绪便被那些在数学发展史上留下了浓墨重彩的数学家名字所吸引。我一直对那些能够深刻理解自然界运作规律的数学框架感到着迷，而李群和李代数无疑是其中的佼佼者，它们在物理学的许多前沿领域，如粒子物理、凝聚态物理以及广义相对论中扮演着至关重要的角色。我希望书中能够从李群的定义出发，清晰地阐述其作为光滑流形上的群结构，以及它在连续变换中所扮演的角色。更让我着迷的是，书中能够深入解释李代数与李群之间的紧密联系，特别是李代数如何通过其李括号运算来捕捉李群在单位元附近的行为。而“表示”这一概念，更是吸引我的关键。我理解，表示理论是将抽象的代数结构映射到更易于理解的线性代数空间中的关键工具，它能够揭示李群和李代数的结构，以及它们如何在各种数学和物理模型中得以应用。我期待书中能够通过一系列精心挑选的例子，比如介绍一些重要的李代数，如sl(n)、so(n)以及sp(n)，并深入探讨它们的表示理论，包括如何计算它们的不可约表示，以及这些表示如何与物理学中的对称性以及量子力学中的算符相对应。这本书，对我而言，不仅是学习知识的途径，更是对数学抽象思维的一次深刻锻炼，我期望它能为我开启通往更广阔数学世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

作为一名数学爱好者，我一直对抽象代数领域充满好奇，尤其是那些能够深刻揭示数学结构内在联系的概念。当我偶然发现这本《李群，李代数及其表示》时，心中涌起一股强烈的学习冲动。这本书的标题本身就散发着一种深邃而迷人的气息，预示着一个充满几何美感和深刻理论的世界。我并非科班出身，但多年来通过自学，已经对群论、环论、域论等基础概念有了一定的了解。然而，李群和李代数这些更高级的概念，对我来说一直像一座难以逾越的高山。这本书的出现，让我看到了攀登这座高峰的希望。我期待它能以一种清晰、循序渐进的方式，带领我深入理解这些重要的数学工具。例如，我非常好奇李群如何在连续变换的背景下体现其群的结构，以及李代数如何捕捉李群的局部性质。书中关于“表示”的部分更是吸引了我，因为我深知表示论是理解数学对象结构的关键途径。我希望这本书能用生动的例子和严谨的论证，解释李群和李代数如何通过线性表示来揭示其内在的对称性和结构，从而使我对这些概念的理解更加深入和立体。我期望这本书能够给我带来数学的启发，不仅仅是知识的获取，更是思维方式的提升，让我在面对更复杂的数学问题时，能够更加自信和游刃有余。

评分☆☆☆☆☆

数学的精妙之处，往往在于其能够以一种高度抽象的方式，揭示不同领域事物的共同规律。李群、李代数及其表示，这几个概念的组合，在我看来，正是这样一种连接几何、代数与物理的强大理论体系。我一直对连续对称性及其在现代科学中的广泛应用深感兴趣，而李群和李代数正是描述这类对称性的核心数学工具。我期待这本书能够从李群的定义出发，清晰地阐述其作为光滑流形上的群结构所具有的几何属性，以及它在描述连续变换中的作用。更让我着迷的是，书中能够深入解释李代数与李群之间的紧密联系，特别是李代数如何通过其李括号运算来捕捉李群在单位元附近的行为。而“表示”这一概念，更是吸引我的关键。我理解，表示理论是将抽象的代数结构映射到更易于理解的线性代数空间中的关键工具，它能够揭示李群和李代数的结构，以及它们如何在各种数学和物理模型中得以应用。我期待书中能够通过一系列精心挑选的例子，比如介绍一些重要的李代数，如sl(n)、so(n)以及sp(n)，并深入探讨它们的表示理论，包括如何计算它们的不可约表示，以及这些表示如何与物理学中的对称性以及量子力学中的算符相对应。这本书，对我而言，不仅仅是学习知识的途径，更是对数学抽象思维的一次深刻锻炼，我期望它能为我开启通往更广阔数学世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字，初读之下，便让我联想到那些在数学发展史上闪耀着智慧光芒的名字。李群与李代数，它们的名字背后承载着怎样的理论体系？我尝试着去想象，这些概念是如何从对连续对称性的观察中诞生的，又如何演变成一套能够描述微分方程、几何流甚至量子力学深刻规律的强大工具。作为一名对物理学应用抱有浓厚兴趣的数学爱好者，我尤其关注数学理论如何与现实世界建立联系。《李群，李代数及其表示》的标题，无疑点燃了我对这种联系的探求欲。我希望书中能够清晰地阐述李群作为光滑流形上的群结构的定义，以及与之紧密相连的李代数，作为李群“线性化”后的切空间上的代数结构。我更期待的是，书中能够深入浅出地介绍李群和李代数的“表示”这一核心概念。理解一个数学对象，常常需要将其映射到更熟悉的领域，而表示论正是提供了这样的途径。我希望书中能够通过丰富的例子，展示如何将抽象的李群和李代数转化为线性变换的矩阵，以及这些表示如何揭示李群和李代数的内在对称性和结构。例如，我希望能看到书中对于经典李群，如SO(n)或SL(n)的表示的详细介绍，理解它们的不可约表示如何对应着重要的物理量或几何性质。这本书，是我探索连续对称性深层奥秘的钥匙，我期待它能够带领我打开一扇全新的数学之门。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学的抽象结构和内在联系充满好奇心的学习者，我一直对那些能够深刻揭示事物本质的数学理论抱有浓厚的兴趣。《李群，李代数及其表示》这本书的书名，就散发着一种既有深度又有广度的吸引力。我期待它能引领我进入一个关于连续对称性的迷人世界。我希望书中能够清晰地定义李群，并阐述其作为光滑流形上的群结构的几何意义。更重要的是，我希望书中能深入剖析李代数与李群之间的关系，理解李代数如何捕捉李群在单位元附近的局部性质，以及李括号运算的意义。我尤其对“表示”这一概念感到好奇，我理解表示理论是将抽象的数学对象转化为更具体的线性代数运算的有力工具。我希望书中能够通过丰富的实例，例如介绍经典李群如SO(n)或SL(n)的各种表示，以及它们如何帮助我们理解这些群的结构和性质。例如，我希望能看到关于这些群的不可约表示的分类和构造，以及它们在物理学中的应用，如在量子力学中描述对称性操作。这本书，对我而言，是一次探索数学深层逻辑和揭示自然界基本规律的旅程，我期待它能带给我数学上的启发和智慧的增长。

评分☆☆☆☆☆

我是一位在数学领域耕耘多年的研究生，一直对群论和表示论的基础知识有着扎实的掌握。然而，当我接触到李群和李代数这一领域时，我深感其中蕴含着更深层次的抽象与美妙。这本书《李群，李代数及其表示》恰好填补了我在这方面知识的空白。我期待书中能够以一种高度严谨的数学语言，对李群和李代数的定义、性质进行深入的阐述。具体来说，我希望书中能够详细介绍李群的拓扑结构和微分几何性质，以及李代数作为李群在单位元处的线性化对象，其李括号运算如何体现了群的非交换性质。更重要的是，我期望书中能够深入探讨李群和李代数的表示理论。我尤其关心那些关于有限维表示的分类、构造以及其特征标理论的部分，因为它们是理解李群和李代数结构的关键。例如，我希望书中能够详细介绍根系理论，以及它在分类李代数和其表示中的作用。此外，我也期待书中能够提及一些关于无限维表示的初步介绍，以及它们在量子场论等领域的应用。这本书，对我而言，是进一步深造的基石，我希望它能为我打开通往更高级数学研究的大门，让我能够更深刻地理解那些支配着自然界基本规律的数学语言。

评分☆☆☆☆☆

当我翻开《李群，李代数及其表示》这本书的封面，一股严谨而又充满活力的气息扑面而来。我一直以来都对那些能够深刻理解自然界运作规律的数学框架感到着迷，而李群和李代数无疑是其中的佼佼者，它们在物理学的许多前沿领域，如粒子物理、凝聚态物理以及广义相对论中扮演着至关重要的角色。我对书中关于李群的几何本质充满了好奇，希望它能清晰地解释李群作为光滑流形上的群结构如何融合了代数和几何的深刻思想。更让我期待的是，书中能够详细阐述李代数如何作为李群的“切空间”，捕捉了群结构在单位元附近的局部信息。这种从全局到局部的转化，是理解李群复杂性质的关键。而“表示”这个词，更是激发了我进一步探索的欲望。我理解，表示论是将抽象的代数对象转化为具体线性变换的研究，它能够帮助我们理解李群和李代数的结构，以及它们如何在各种数学和物理模型中得以应用。我希望书中能够通过一系列精心挑选的例子，例如介绍一些重要的李代数，如sl(n)、so(n)以及sp(n)，并深入探讨它们的表示理论，比如如何计算它们的特征标，以及这些表示如何与物理学中的角动量、自旋等概念相关联。这本书，对我而言，不仅仅是一本关于抽象数学的教材，更是一扇通往理解宇宙基本对称性和运作机制的窗口。

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入门很适合

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范阮达若詹。。。

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这书的符号太老了很纠结，分析基础不好，现在看见微分几何就头痛。GL不是代数群，由于它是开子群。

评分☆☆☆☆☆

这书的符号太老了很纠结，分析基础不好，现在看见微分几何就头痛。GL不是代数群，由于它是开子群。

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这书的符号太老了很纠结，分析基础不好，现在看见微分几何就头痛。GL不是代数群，由于它是开子群。