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出版者:世界图书出版公司

作者:Steven Roman

出品人:

页数:363

译者:

出版时间:1997

价格:56.00

装帧:平装

isbn号码:9787506233033

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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现代组合数学基础 本书旨在为读者提供现代组合数学的全面而深入的介绍，内容涵盖了该领域的核心概念、重要理论及其在不同学科中的应用。组合数学作为数学的一个重要分支，研究有限或可数的离散结构，是理论计算机科学、信息论、运筹学、统计学乃至物理学等领域不可或缺的工具。 第一部分：基础与计数原理 本部分从组合数学的基石——计数方法入手。我们首先回顾并深化了集合论的基本概念，特别是笛卡尔积、幂集以及集合的基数。随后，详细阐述了基本计数原理，包括加法原理和乘法原理，并用大量实例说明其应用场景。 核心内容聚焦于排列（Permutations）与组合（Combinations）。我们不仅区分了有序选择与无序选择，还引入了重复元素的排列组合问题，如多重集的全排列。随后，重点引入了二项式系数及其著名的二项式定理，并将其推广至多项式定理，用于解析形如 $(x_1 + x_2 + dots + x_k)^n$ 展开式的系数。 为解决更复杂的计数问题，我们引入了容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）。该原理被视为组合构造中处理“非A且非B”类型问题的关键工具。我们通过经典的“错排问题”（Derangements）和覆盖问题，展示了容斥原理的强大威力。最后，本部分以鸽巢原理（Pigeonhole Principle）作结，阐述了其在证明存在性问题中的基础作用，并探讨了其推广形式——加权鸽巢原理。 第二部分：生成函数与递归关系 生成函数是组合数学中将离散序列转化为连续函数进行分析的强大工具。本部分将普通生成函数（Ordinary Generating Functions, OGF）作为核心工具进行系统介绍。我们详细讨论了如何通过序列的显式公式构造OGF，以及如何利用OGF的代数性质（如加法、乘法、求导、积分）来求解组合问题。特别地，我们展示了如何利用幂级数展开来确定特定组合数的封闭形式。 随后，内容过渡到指数生成函数（Exponential Generating Functions, EGF）。EGF的引入主要针对那些涉及标记元素（Labeled Objects）的计数问题，如排列、有根树的计数等。通过比较OGF与EGF在处理不同类型结构时的适用性，加深了读者对生成函数选择的理解。 在生成函数的应用部分，我们深入研究了线性递推关系。读者将学习如何利用特征方程法求解常系数齐次线性递推关系，并掌握如何通过生成函数方法求解非齐次递推关系。经典的斐波那契数列、卢卡斯数列等将被用作案例分析。 第三部分：图论基础与应用 图论是组合数学中应用最广泛的领域之一。本部分构建了图论的严谨基础。我们定义了图、多重图、有向图与无向图，并引入了邻接矩阵和关联矩阵等基本表示工具。 核心概念包括路径、回路、连通性。我们详细分析了欧拉路径和哈密顿回路的存在性条件，特别是欧拉的柯尼斯堡七桥问题及其在图论中的奠基意义。 结构方面，本部分重点讨论了树（Trees）。树的定义、性质（如边数与顶点数的关系）被严格证明。随后，我们介绍了生成树的概念，并利用矩阵树定理（Matrix Tree Theorem），通过计算拉普拉斯矩阵的特定余子式来精确计数图中的生成树数量，这是理论与计算结合的典范。 图的着色问题是本部分的重要主题。我们定义了图的色数（Chromatic Number），并探讨了二分图的判定与性质。此外，还简要介绍了平面图及其欧拉公式，以及四色定理的背景。 第四部分：组合设计与结构 本部分探索了具有特定对称性和结构约束的组合对象。 首先介绍的是平衡不完全区组设计（Balanced Incomplete Block Designs, BIBD）。我们详细阐述了BIBD的参数 $(v, b, r, k, lambda)$ 的含义，并着重分析了有限射影平面（Projective Planes）和仿射平面（Affine Planes）等经典设计结构，它们是组合几何的基石。 接着，我们深入研究了正交多方阵（Orthogonal Arrays）和拉丁方（Latin Squares）。拉丁方的构造、同构问题以及它们在实验设计中的核心作用被详尽阐述。我们还讨论了柯克曼最佳分解问题（Kirkman's Schoolgirl Problem）作为这类设计应用的复杂实例。 最后，本部分引入了蜂巢结构与覆盖。我们讨论了斯坦纳系统（Steiner Systems），特别是著名的 $S(2, 3, v)$ 系统，展示了如何利用组合构造的原理来设计具有高度对称性的结构。 第五部分：代数组合与概率方法 最后一部分将视角转向更前沿的研究方法。 代数组合部分侧重于使用群论工具解决计数问题。我们详细介绍了伯恩赛德引理（Burnside's Lemma）和更强大的波利亚计数定理（Pólya Enumeration Theorem, PET）。读者将学习如何利用置换群的结构，计算在特定对称操作下等价的对象的数量，例如计算不同颜色的项链或立方体的数量。 概率组合方法部分则强调利用期望和概率工具来证明组合结构的存在性，即使无法构造出具体的例子。我们探讨了线性期望法在证明图论中存在某些子结构时的应用，并介绍了概率论证法在极端组合学问题中的强大潜力。 全书通过大量的定理、推论和精选例题进行支撑，旨在培养读者严谨的数学思维和解决离散结构问题的能力。每章末均附有不同难度的习题，以巩固所学知识并激发深入探究的兴趣。

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我特别注意到本书在“二次型”这一章节中，对“ Sylvester 惯性定律”的论述。这一定律在分类二次型以及理解其几何意义方面有着关键的作用。我曾经遇到过一些关于二次型的化简问题，虽然能够通过正交变换将其化为对角形式，但对于对角化后二次型的符号性质（正定、负定、不定等）如何唯一确定，以及这个确定性背后的原理，一直感到有些模糊。我希望这本书能详细地阐述 Sylvester 惯性定律的内涵，解释为什么在对角化过程中，非零的对角元个数和它们各自的符号是保持不变的。这本书是否能提供一些严谨的证明，或者通过具体的例子来 ilustrate 这一定律，例如在处理二次曲线的分类时，如何利用惯性定律来判断其类型（椭圆、抛物线、双曲线等），这将非常有价值。我期待这本书能帮助我彻底理解二次型的几何意义，并能够熟练运用 Sylvester 定律来分析和解决相关问题。

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说实话，这本书的装帧设计我个人觉得相当不错，简洁大方，封面那种深邃的蓝色，仿佛蕴含着无限的数学知识等待我去挖掘。我翻开目录，看到那些熟悉的章节标题，比如“向量空间”、“线性变换”、“矩阵理论”、“特征值与特征向量”等等，心中涌起一股亲切感，同时也感到一丝莫名的压力。我知道，线性代数绝不仅仅是行列式的计算，更深层次的理论，例如关于内积空间、酉空间、正交对角化、Jordan 标准型，这些都是我一直渴望深入理解的。我特别关注到书中关于“迹”、“行列式”等概念的更一般化定义和性质的讨论，以及它们在几何和代数上的深刻含义。我希望这本书能够带领我走出“计算陷阱”，真正领悟到这些工具背后所蕴含的数学思想，例如矩阵的秩如何反映了线性系统的“自由度”，特征值和特征向量又如何揭示了线性变换的“内在结构”和“运动规律”。我曾遇到过一些关于线性方程组无解或有无穷多解的情况，在当时我只是机械地套用公式，并没有真正理解其背后的几何意义，这本书是否能为我提供更深刻的洞察，这是我非常期待的。另外，关于“正交性”的概念，在很多领域都有着重要的应用，比如傅里叶分析，我希望这本书能在这方面有所铺垫，为我后续的学习打下坚实的基础。

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这本书在“向量格”和“格论”方面的阐述，给我带来了全新的视角。我一直认为，线性代数是关于“向量”的学科，而“格”的概念似乎是将向量的性质与“序”联系起来，这是一种非常有趣的结合。我希望书中能够详细介绍向量格的定义，以及它所具备的代数结构和格结构。我特别好奇，在向量格中，我们是否仍然可以定义线性运算，以及这些运算与格运算之间是如何相互作用的。我曾听闻，格论在计算机科学中的形式化方法、逻辑推理以及在其他数学分支如组合数学、偏序集理论中都有着重要的应用。我希望这本书能通过一些具体的例子，例如如何用向量格来描述某些集合的包含关系，或者如何利用格的性质来解决一些优化问题，来展示向量格的强大之处。如果这本书能帮助我理解，线性代数的思想如何能够被抽象和推广，并与其他数学领域相结合，那将是一次非常有意义的学习体验。

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在阅读这本书的过程中，我发现它在处理“多项式环”和“模”这些更抽象的概念时，展现出了不同于以往线性代数书籍的视角。我一直对代数结构，尤其是抽象代数中的概念，感到着迷，而将线性代数的思想延伸到更一般的代数结构中，无疑是通往更深层次数学理解的一条重要途径。我希望书中能够详细阐述多项式环的性质，以及如何在线性代数中使用它们，比如特征多项式、最小多项式这些概念，它们在揭示矩阵的性质方面起着至关重要的作用。此外，关于“模”的介绍，这是一个我相对陌生的概念，但据我所知，它被认为是向量空间的一种推广。如果这本书能清晰地解释“模”的定义，并展示它与向量空间之间的联系和区别，以及在模的理论中如何运用线性代数的思想，例如自由模、有限生成模等，那我将从中受益匪浅。我知道，理解这些更抽象的代数结构，对于掌握更高级的数学理论，如代数几何、代数数论等，至关重要。我期待这本书能够为我打开这扇门，让我看到线性代数思想的普适性和深刻性。

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我对书中关于“代数闭域”和“有限域”上的线性代数理论的介绍非常感兴趣。我知道，通常我们在实数域或复数域上学习线性代数，但将线性代数的理论扩展到更一般的域上，是探索数学本质和应用边界的重要一步。我希望这本书能够清晰地定义代数闭域和有限域，并阐述在这些域上，向量空间、线性变换、行列式等基本概念的性质会有何不同。例如，在有限域上，我们是否仍然可以保证所有的多项式都有根，或者说特征多项式是否总能分解？我期待书中能够通过具体的例子，例如在 GF(2) 上的线性代数，来演示这些概念在实际中的应用，比如在编码理论、密码学等领域，有限域上的线性代数扮演着关键角色。如果这本书能帮助我理解，线性代数的强大思想是如何跨越不同的数系，并在各种抽象的数学结构中发挥作用的，那将是对我数学视野的一次极大的拓展。

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这本书在“算子理论”这一章节中的内容，似乎将线性代数的范畴进一步推向了更抽象和更深刻的领域。我一直对“算子”这个词感到好奇，它似乎比“线性变换”更加通用和抽象。我希望这本书能够清晰地定义“算子”，并阐述算子与线性变换之间的联系与区别，特别是在无限维向量空间或更一般的函数空间中，算子扮演着怎样的角色。我特别关注书中对“有界算子”、“紧算子”等概念的介绍，以及它们在谱理论中的重要性。我知道，谱理论是理解算子性质的关键，而特征值和特征向量的概念在无限维空间中是如何推广和演变的，这对我来说是一个巨大的未知领域。我期待这本书能够通过一些基础的函数空间，例如 L^2 空间，来展示算子的性质和谱的刻画，并且能够简单介绍算子理论在物理学（如量子力学中的算符）、工程学或甚至在泛函分析中的应用。如果这本书能让我对算子理论有一个初步的认识，并感受到它在解决复杂数学和物理问题时的强大力量，那将是对我数学理解的一次重要飞跃。

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拿到这本《高等线性代数》的时候，我其实是抱着一种又期待又忐忑的心情的。期待是因为我知道线性代数是现代数学的基石之一，无论是在纯粹的数学研究还是在应用科学领域，它都扮演着至关重要的角色，而“高等”这个词，更是预示着更深层次的理论探索和更严谨的数学构造。我一直觉得，数学的美，很多时候就体现在它那种高度抽象而又逻辑严密的体系之中，而线性代数无疑是展现这种美感的绝佳载体。我希望这本书能够带我进入一个更加广阔和深刻的数学世界，让我理解那些在本科阶段可能只是点到为止的定理背后的真正含义，比如向量空间的基、维数、线性变换的核与像空间，还有那些充满魅力的特征值和特征向量。我知道，这些概念不仅仅是抽象的符号和公式，它们往往对应着现实世界中各种各样的模型和现象。比如，在物理学中，量子力学的许多表述都离不开线性代数；在计算机科学中，图像处理、机器学习、数据科学等领域更是对线性代数有着海量的需求。我期待这本书能帮我建立起这些知识点之间的桥梁，让我能够更自如地在这些领域之间游走，并且能够欣赏到数学思想在不同学科中的巧妙应用。我希望它能提供清晰的解释，丰富的例子，以及一些有挑战性的习题，能够真正提升我的数学功底，让我不再停留在“会计算”的层面，而是真正“懂”线性代数。

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这本书对于“线性流形”和“仿射变换”的深入探讨，着实吸引了我。在我的初步学习中，线性代数主要关注的是向量空间中的线性关系，而“流形”和“仿射”这些概念似乎将我们带入了更广阔的空间。我很好奇书中是如何将线性代数中的向量、基、线性变换等概念，巧妙地引入到流形和仿射变换的框架中的。我希望作者能够清晰地解释什么是线性流形，以及它与子空间的关系，同时，仿射变换与线性变换在定义和性质上又有哪些异同之处。我曾听说，仿射变换在计算机图形学、几何变换以及物理建模等方面有着广泛的应用，例如刚体运动的描述就常常涉及到仿射变换。我期待这本书能够通过生动的例子，例如三维空间中的平移、旋转、缩放等操作，来展示仿射变换的几何意义，并且说明如何用矩阵和向量来表示这些变换。如果这本书能帮助我建立起线性代数与几何变换之间的联系，让我看到数学工具在描绘和操纵几何对象时的强大威力，那将是我非常大的收获。

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我一直对“子空间”的概念感到着迷，而这本书对“子空间结构”和“商空间”的深入探讨，让我觉得非常契合我的求知欲。在本科阶段，我们学习了子空间的概念，以及如何判断一个集合是否是子空间，也接触了核空间和像空间，但对于子空间之间更复杂的结构，例如子空间之间的关系、子空间的分解等，我感觉还有很多未解之谜。我希望这本书能够详细阐述子空间之间的包含关系、交集、和以及它们各自的维度之间的关系，并且能够介绍一些关于子空间分解的重要定理。此外，“商空间”是一个我一直觉得非常抽象但又非常重要的概念，它允许我们将一个向量空间“压缩”到由某些等价类构成的空间中。我希望书中能够清晰地解释商空间的定义，以及它与原空间子空间之间的联系，并且通过一些直观的例子，例如如何理解一个向量空间与其某个子空间的商空间之间的关系，来帮助我理解这个概念的几何意义和代数意义。

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这本书的理论深度确实让我眼前一亮。我尤其对书中关于“二次型”和“合同变换”的论述印象深刻。在我以往的学习经历中，二次型通常只是作为矩阵的一个性质被提及，或者是在优化问题中出现，但这本书似乎赋予了它更丰富的内涵。我很好奇作者是如何将二次型与矩阵的对角化联系起来的，以及合同变换在分类二次型中的作用。我知道，二次型的研究与几何学中的二次曲线和二次曲面有着密切的联系，我希望书中能提供一些相关的几何解释，让我能够更直观地理解这些抽象的代数概念。同时，我也非常关注书中关于“张量”的介绍。张量是线性代数理论中一个非常重要的概念，在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用，但它的概念往往比较抽象，理解起来有一定难度。我希望这本书能够以一种清晰易懂的方式来介绍张量的基本概念、运算以及它们在不同领域的应用，例如在连续介质力学中，应力张量和应变张量就是描述物质受力状态和形变的重要工具。如果这本书能帮助我建立起对张量的初步认识，并能感受到它在解决复杂问题时的强大力量，那将是我最大的收获之一。

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人生第一本GTM啊，热泪盈眶

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