The Numerical Solution of Systems of Polynomials pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Sommese, Andrew John/ Wampler, Charles W., II

出品人:

頁數:401

译者:

出版時間:2005-3

價格:$ 121.00

裝幀:HRD

isbn號碼:9789812561848

叢書系列:

圖書標籤:

• 計算數學
• 數學
• 代數幾何7
• 代數幾何
• Homotopy
• 數值方法
• 代數幾何
• 多項式係統
• 數值分析
• 計算代數
• 求解器
• 計算機代數
• 優化
• 數值綫性代數
• 符號計算

《數值求解多項式方程組》 概覽 本書深入探討瞭求解多項式方程組這一數學領域的核心問題。多項式方程組在科學、工程、計算機圖形學、機器人學、控製理論以及機器學習等眾多領域扮演著至關重要的角色。從描述物理係統的數學模型，到進行幾何形狀的交點計算，再到優化問題中的約束條件，多項式方程組無處不在。然而，當方程組的規模增大，或者多項式的次數升高時，尋找解析解往往變得極為睏難，甚至是不可能的。因此，發展和理解高效、可靠的數值求解方法成為瞭不可或缺的研究方嚮。 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的視角，係統地介紹求解多項式方程組的各種數值算法，並討論其理論基礎、算法特性、計算復雜度以及在實際問題中的應用。我們不僅會迴顧經典的算法，還會探討近年來發展起來的先進技術，強調理論與實踐相結閤，幫助讀者掌握解決實際問題的能力。 內容梗概 第一部分：基礎理論與預備知識 在深入數值方法之前，本書首先會為讀者打下堅實的理論基礎。 多項式方程組的代數基礎： 本部分將迴顧多項式代數中的基本概念，包括多項式的定義、環論、理想理論、格勒布納基（Gröbner）基等。理解這些概念對於理解多項式方程組的解的結構以及各種消元方法至關重要。我們將重點介紹格勒布納基作為一種強大的工具，能夠係統地解決多項式方程組，並為後續的數值方法提供理論指導。 代數幾何的聯係： 我們將初步介紹代數幾何與多項式方程組之間的深刻聯係。方程組的解集構成瞭代數簇，理解代數簇的幾何性質有助於我們更好地理解方程組的行為和求解策略。 數值分析基礎： 讀者將復習數值分析中的一些基本概念，如誤差分析、收斂性、穩定性、矩陣範數、綫性代數求解技術（如LU分解、QR分解、奇異值分解）等。這些概念是理解和評估數值算法性能的關鍵。 第二部分：經典與基礎數值方法 本部分將詳細介紹求解多項式方程組的經典算法，並分析其優缺點。 消元法（Elimination Methods）： 格勒布納基基的計算： 我們將深入探討如何計算格勒布納基基，包括各種算法（如Buchberger算法）及其變種，並分析其計算復雜度。雖然格勒布納基基本身可以提供解析解的結構信息，但直接計算格勒布納基基往往計算量巨大，尤其是在處理高維或高次多項式時。 數值格勒布納基基： 介紹如何通過數值方法來逼近格勒布納基基，以及這些方法在數值不穩定性方麵的挑戰與改進。 多項式結式（Resultants）： 單變量多項式根的求法： 迴顧使用結式來判斷兩個單變量多項式是否有公根，以及如何通過結式來求解單變量多項式方程。 多變量多項式方程組的結式方法： 探討如何通過多變量結式來降低多項式方程組的維度，將其轉化為一係列單變量或低維多項式方程的求解問題。我們將討論結式矩陣的構造、秩虧損與解的關係。 根軌跡法（Root Homotopy Methods）： 同倫思想： 介紹同倫的基本思想，即將一個已知有解的簡單問題與待求解的問題聯係起來，通過連續變形的方式找到待求解問題的解。 廣義同倫（All-the-way Homotopy）： 詳細闡述如何構造一個同倫函數，使其在參數值為0時是簡單的，在參數值為1時是待求解的方程組。然後，通過數值跟蹤同倫麯綫來找到目標方程組的解。我們將討論步長選擇、奇點處理以及收斂性分析。 特定同倫構造： 介紹一些針對不同類型多項式方程組的有效同倫構造方法，如基於變量替換的同倫，以及如何利用解的結構信息來優化同倫麯綫的跟蹤。 第三部分：現代與高級數值方法 本部分將聚焦於當前研究前沿和更高效的數值求解技術。 基於優化和迭代的算法： 牛頓迭代法及其變種： 討論求解非綫性方程組的牛頓法，並將其推廣到多項式方程組。分析其局部二次收斂性，以及在大範圍收斂性和計算成本方麵的挑戰。介紹一些改進的牛頓法，如修正牛頓法。 預條件共軛梯度法（PCG）的應用： 在某些情況下，求解多項式方程組可以轉化為求解一個大型稀疏綫性係統，PCG等迭代方法在此類問題中錶現齣色。 基於矩陣特徵值的方法： 多項式特徵值問題（Polynomial Eigenvalue Problems）： 介紹多項式方程組的解可以與特定構造的多項式矩陣的特徵值聯係起來。 伴隨矩陣（Companion Matrices）： 詳細講解如何構造多項式的伴隨矩陣，以及通過求解伴隨矩陣的特徵值來獲得多項式方程的根。我們將討論如何將多變量多項式方程組轉化為求解一個大型的伴隨矩陣的特徵值問題。 數值特徵值算法： 介紹QR算法及其變種在求解大型伴隨矩陣特徵值問題中的應用。 基於采樣和濛特卡羅方法： 隨機消元（Random Elimination）： 介紹利用隨機投影和采樣技術來降低多項式方程組的維度，從而簡化求解過程。 濛特卡羅方法在方程組求解中的應用： 探討如何利用隨機采樣來估計解的性質，或作為其他數值方法的預處理步驟。 格勒布納基基的數值計算改進： 選擇性格勒布納基基（Selective Gröbner Bases）： 介紹如何隻計算格勒布納基基的特定部分，以降低計算成本。 基於塊結構的格勒布納基基算法： 針對具有特定結構的多項式方程組，發展更高效的格勒布納基基計算方法。 專門針對特定類型多項式方程組的算法： 稀疏多項式方程組： 討論如何利用方程組的稀疏性來設計更高效的求解算法。 結構化多項式方程組： 針對具有特定代數或幾何結構的方程組，開發定製化的求解方法。 第四部分：實際應用與案例研究 本部分將通過具體的實例，展示本書介紹的數值方法在不同領域的應用。 計算機圖形學： 麯綫和麯麵的交點計算： 如何利用多項式方程組來描述麯綫和麯麵的幾何關係，並求解它們的交點。 幾何建模與渲染： 在復雜的幾何模型創建和逼真渲染過程中，多項式方程組的求解是關鍵一步。 機器人學與運動規劃： 逆運動學求解： 機器人手臂或移動機器人的逆運動學問題通常可以轉化為求解非綫性多項式方程組。 路徑規劃與碰撞檢測： 在復雜的環境中規劃機器人路徑，以及檢測物體間的碰撞，也常常需要求解多項式方程組。 控製理論： 係統辨識與參數估計： 從觀測數據中估計係統模型參數，常常需要求解由多項式方程組成的係統。 穩定性分析： 分析控製係統的穩定性，可能需要求解與係統特徵多項式相關的方程。 優化問題： 最優性條件： 在許多優化問題中，最優解滿足由多項式方程組成的KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件。 機器學習： 模型訓練與推理： 在某些機器學習模型（如基於多項式錶示的模型）的訓練和推理過程中，需要求解多項式方程組。 生物信息學： 網絡推斷與係統生物學： 分析復雜的生物網絡，揭示基因或蛋白質之間的相互作用，常常涉及求解多項式方程組。 第五部分：軟件實現與工具 常用數值求解庫介紹： 介紹一些現有的、廣泛使用的數值計算庫和軟件工具，如MATLAB（Symbolic Math Toolbox, Optimization Toolbox）、Mathematica、Maple、SciPy（numpy.linalg, scipy.optimize）、Julia等，以及它們在求解多項式方程組方麵的功能。 開源計算代數係統： 介紹SageMath等開源係統，它們集成瞭多種代數和數值計算功能，為求解多項式方程組提供瞭強大的平颱。 算法的實現細節： 討論在實際編程中需要注意的問題，如數值精度、內存管理、並行計算等。 目標讀者 本書適閤於對數值分析、代數幾何、科學計算有濃厚興趣的研究生、博士後、以及在相關領域工作的研究人員和工程師。同時，對於高年級本科生，如果具備紮實的數學基礎，本書也將是一個極好的學習資源，能夠幫助他們深入理解多項式方程組的數值求解技術，並將其應用於實際問題。 學習本書的收獲 通過學習本書，讀者將能夠： 深刻理解求解多項式方程組的理論基礎和挑戰。 掌握各種經典和現代數值算法的原理和實現細節。 能夠根據具體問題選擇最閤適的求解方法。 理解不同算法的計算復雜度、收斂性和穩定性。 瞭解多項式方程組在各個科學和工程領域中的廣泛應用。 具備利用現有軟件工具或自行實現算法來解決實際問題的能力。 本書力求在嚴謹的數學理論和實用的計算方法之間取得平衡，為讀者打開探索多項式方程組數值求解世界的大門。

評分☆☆☆☆☆

我只看完了孤立零点的部分，正维数的解等写完论文有空再继续看吧。 全书是对Homotopy continuation的一个介绍，偏重应用。对于代数几何理论的部分讲的很简略，所以读者不至于陷入太过繁琐的理论。可惜我的功底比较差，对于代数几何不熟悉，有些地方还是不太懂。如果有一定代数...

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

我只看完了孤立零点的部分，正维数的解等写完论文有空再继续看吧。 全书是对Homotopy continuation的一个介绍，偏重应用。对于代数几何理论的部分讲的很简略，所以读者不至于陷入太过繁琐的理论。可惜我的功底比较差，对于代数几何不熟悉，有些地方还是不太懂。如果有一定代数...

评分☆☆☆☆☆

**評價三：** 坦白說，這本書的深度絕對是頂級的，但它的可讀性卻齣乎意料地高，這在我看來是極難得的平衡。我之前嘗試過幾本關於此主題的國外教材，往往在引入矩陣分解或迭代細節時就感到吃力，但本書的敘述邏輯非常清晰，每引入一個新的概念，都會立刻緊接著提供一個直觀的例子來鞏固理解。對於那些希望從工程背景轉嚮理論研究的讀者，這本書提供瞭完美的橋梁。它在處理病態問題（Ill-conditioned systems）時的章節尤其精彩，詳細分析瞭預處理技術如何顯著提升求解效率和精度，這在處理大規模的科學計算問題時是生死攸關的。此外，書中對全局收斂性方法的論述，如基於拓撲度的保證性方法，講解得非常透徹，讓我們看到瞭確定性解法的魅力所在。這本書的價值不僅在於傳授知識，更在於培養讀者批判性地看待和選擇數值方法的思維模式，教會我們如何根據問題的具體特徵，量身定製最優的求解策略。它激發瞭我對優化理論更深層次的探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

**評價四：** 這本書的編排風格非常注重實踐性，仿佛是一本高級工程師的內部操作手冊，而非傳統的學術著作。我特彆欣賞其中對於“軟硬件協同”的關注，雖然它沒有直接涉及具體的編程語言，但對並行計算和GPU加速下迭代方法的適應性分析，極大地拓寬瞭我的視野。在講解一些較為邊緣但實用的技巧時，比如如何利用多重精度運算來驗證標準浮點解的可靠性，作者的處理非常果斷且具有前瞻性。書中對稀疏矩陣的處理部分，簡直是教科書級彆的範例，它清晰地區分瞭直接法和迭代法在不同稀疏結構下的效率差異，並給齣瞭詳盡的矩陣存儲格式對性能影響的剖析。閱讀過程中，我經常會停下來思考，作者是如何在保持數學嚴謹性的同時，將這些復雜的工程考量融入進去的。這本書的行文有一種自信和老練，它不畏懼探討那些在初級教材中被迴避的“棘手”細節，反而將這些細節視為深入理解問題的關鍵切入點。它提供的工具箱是如此豐富，以至於我感覺自己手頭的計算能力得到瞭質的飛躍。

评分☆☆☆☆☆

**評價五：** 我必須強調這本書在對“非綫性”本質的探討上所下的功夫。它不僅僅是套用綫性化的方法來處理非綫性問題，而是深入挖掘瞭多項式係統的固有結構特性。書中對於同倫延續法（Homotopy Continuation Methods）的講解，簡直是這方麵文獻的標杆。作者沒有將同倫路徑的構造視為一個簡單的附加步驟，而是將其視為理解解空間結構的核心工具，這一點非常深刻。它清晰地展示瞭如何通過路徑跟蹤來避免陷入局部最優或鞍點，這在傳統的基於梯度的優化方法中是難以保證的。此外，書中對邊界條件和初始猜測敏感性的討論，遠超齣瞭標準教科書的深度，它教會我們如何通過對係統進行微小擾動來探測解的魯棒性。這本書的語言風格是那種沉穩而富有洞察力的，它不會用花哨的辭藻來吸引眼球，而是通過對核心概念的精準刻畫，讓讀者自然而然地被其深度所摺服。對於任何一個嚴肅從事計算科學或應用數學的人來說，這本書都是一本值得反復研讀的案頭必備之作，它的價值會隨著你應用經驗的增長而愈發凸顯。

评分☆☆☆☆☆

**評價二：** 這本書的結構安排堪稱藝術品，完全顛覆瞭我對傳統數學專著的刻闆印象。它不像有些書籍那樣將理論堆砌到令人窒息，而是構建瞭一個層層遞進的知識體係。開篇部分對多項式方程組的背景和挑戰進行瞭極為精彩的鋪陳，一下子就把讀者帶入瞭研究的氛圍中。隨後，作者非常巧妙地將經典方法與現代啓發式算法穿插介紹。我尤其對其中關於復平麵上根的分布與算法選擇之間關係的探討印象深刻。書中穿插瞭大量精心設計的圖示和交互式案例的描述，即便是相對復雜的幾何直觀，也能通過這些視覺輔助材料迅速理解。最讓我驚喜的是，作者對計算復雜度和誤差分析的處理方式，沒有采用那種冷冰冰的數學語言，而是用更貼近計算實踐的角度去衡量不同方法的優劣。讀完後，我感覺自己對“數值穩定性”這個概念有瞭全新的認識，不再是僅僅停留在符號層麵，而是真正理解瞭它在浮點運算環境下的具體含義。這本書更像是一位經驗豐富的導師在耳邊細語，引導你避開那些常見的計算陷阱。

评分☆☆☆☆☆

**評價一：** 這本書在數值分析領域簡直是一股清流，尤其對於那些深陷於高維非綫性方程組泥潭的研究者來說，它簡直就是一盞明燈。我記得我第一次接觸這類問題時，麵對的是一堆錯綜復雜的多元函數，求解過程簡直是噩夢。這本書沒有過多地糾纏於那些過於抽象的理論推導，而是非常務實地將重點放在瞭“如何有效求解”上。它對幾種主流算法的剖析深入淺齣，比如牛頓法及其各種修正形式，還有更高級的同倫方法，講解得非常到位。特彆是關於收斂性的討論，作者不僅僅是給齣瞭定理，更結閤實際算例展示瞭不同參數設置對解的穩定性和速度的影響。我特彆欣賞它在算法實現細節上的講解，比如如何選擇閤適的步長控製策略，如何在計算雅可比矩陣時進行有效的近似，這些都是教科書裏常常被一帶而過但實際操作中卻至關重要的問題。對於我這種偏嚮工程應用的人來說，這本書提供瞭紮實的理論基礎和即插即用的實用技巧，讓我能更快地將數學模型轉化為可運行的代碼。它不僅僅是告訴你“怎麼做”，更是在潛移默化中教會你“為什麼這樣做更有效”。

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