Fundamental Algebraic Geometry (Mathematical Surveys and Monographs) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Barbara Fantechi; Lothar Göttsche; Luc Illusie; Steven L. Kleiman; Nitin Nitsure; and Angelo Vistol

出品人:

页数:339

译者:

出版时间:2005-12-08

价格:USD 85.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821835418

丛书系列:Mathematical Surveys and Monographs

图书标签:

• 数学
• 代数几何
• 科学
• 代数几何7
• Algebraic Geometry
• Mathematics
• Abstract Algebra
• Commutative Algebra
• Schemes
• Varieties
• Polynomials
• Fields
• Cohomology
• Birational Geometry

探索代数几何的深刻奥秘：一种对基础概念与结构的深入剖析 代数几何，作为数学的皇冠明珠之一，以其精妙的语言和强大的表达能力，在抽象数学的诸多领域占据着核心地位。它巧妙地融合了代数（特别是交换代数）的工具与几何的直觉，旨在研究由多项式方程组定义的几何对象——代数簇。这些看似简单的方程，一旦上升到抽象的层面，便展现出令人惊叹的丰富性和复杂性。本书并非一本例行公事的教科书，而是对代数几何这一迷人领域的深刻探索，旨在为读者构建一个坚实的基础，使其能够自信地深入研究更高级的主题，并欣赏这一学科的内在美。 我们的旅程始于代数几何的基石——概形论（Scheme Theory）。传统代数几何中的代数簇，虽然概念直观，但在处理一些更一般、更抽象的几何对象时，会显得力不从心。概形论的出现，极大地拓展了代数几何的视野，使其能够涵盖更广泛的数学对象，并且统一了代数和几何的研究方法。我们将从定义交换环（Commutative Ring）和理想（Ideal）开始，逐步引入谱（Spectrum）的概念，这是构成概形的基本“空间”。环的谱，本质上是环中素理想的集合，而它所赋予的拓扑结构，恰恰捕捉了代数关系中的基本几何信息。 接下来，我们将深入探讨概形（Scheme）的定义。一个概形可以被视为一个拓扑空间，同时配备了一个“结构层（Structure Sheaf）”，这个层在空间的每个开集上都定义了一个交换环。这种层论的视角，使得我们可以局部地研究几何对象，并且将代数信息与拓扑结构紧密地联系起来。我们将学习如何从一个环构造出一个概形，反之亦然，理解两者之间的深层对偶性。这对于理解代数簇与交换代数之间的紧密联系至关重要。 本书将重点关注仿射概形（Affine Scheme），它们是最基本的概形，与每一个交换环都有一一对应的关系。我们将详细分析仿射概形的结构，包括其闭子集、开子集以及它们之间的关系，从而理解多项式方程组如何通过概形论的语言转化为几何结构。接着，我们将学习如何通过粘合（Gluing）仿射概形来构造更复杂的概形，这正是代数几何中“局部到整体”这一强大思想的体现。我们将详细阐述粘合的条件和过程，以及它在构建各种代数簇中的重要作用。 在此基础上，我们将引入射（Morphism）的概念，即概形之间的映射。射是代数几何中的基本“箭头”，它们描述了不同几何对象之间的关系。我们将学习如何定义和理解概形之间的射，并探讨其性质，例如闭合性（Finiteness）、平坦性（Flatness）和光滑性（Smoothness）。这些性质对于深入理解代数簇的几何行为至关重要。例如，平坦性与纤维（Fibers）的维数无关性有关，而光滑性则与代数簇的“正则性”息息相关，类似于可微流形中的光滑性。 本书的一个重要组成部分将是层论（Sheaf Theory）的深入讲解。层论是现代代数几何的语言。我们将从层的基本定义开始，理解它如何捕捉空间上的局部信息，并能在不同尺度上进行“粘合”。我们将详细介绍阿贝耳层（Abelian Sheaf），它们是代数几何中最重要的层类型，并且将学习如何研究层的上同调（Cohomology）。层的上同调，尤其是右上同调（Right Cohomology），提供了关于代数簇全局性质的丰富信息，即使这些性质在局部是不可见的。我们将通过具体的例子，例如结构层（Structure Sheaf）、常数层（Constant Sheaf）和幂零层（Nilpotent Sheaf），来体会层论的威力。 我们将特别关注射影概形（Projective Scheme）。射影概形是代数几何中研究得最为深入和广泛的一类对象，它们通常对应于齐次坐标下的代数簇。我们将学习如何从齐次环（Homogeneous Ring）构造射影概形，以及理解射影空间的几何结构。射影概形在研究代数簇的有理映射（Rational Maps）、度量（Degree）和相交论（Intersection Theory）等方面扮演着至关重要的角色。我们将探讨Hilbert多项式和相交数的概念，它们为研究代数簇之间的“相交”提供了量化的工具。 本书将深入研究模论（Moduli Theory）的初步概念。模论旨在研究具有特定几何性质的代数簇的“空间”，即模空间（Moduli Space）。模空间本身也是一个代数簇，它编码了所有满足特定条件的代数簇的“形状”和“信息”。我们将以一些简单的例子，如模曲面（Moduli of Curves），来展示模论的思想和方法，以及它在理解代数簇分类中的重要性。 此外，我们将触及一些与代数几何密切相关的概念，例如李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）与代数簇的联系，特别是在线性代数群（Linear Algebraic Groups）的研究中。线性代数群是既是群又是代数簇的对象，它们的几何和群论性质是相互影响、相互揭示的。我们将探讨群作用在代数簇上的概念，以及由此产生的商空间（Quotient Space）的构造。 贯穿本书的，我们将强调代数几何的计算性和几何直觉之间的协同作用。虽然抽象的语言和工具是必不可少的，但我们也将通过大量具体的例子和图示来帮助读者建立直观的理解。从简单的二次曲线，到更复杂的代数曲面，再到抽象的概形，我们将不断连接代数的符号运算与几何的形状变化。 本书的宗旨是为读者提供一个坚实而全面的代数几何基础，使其能够独立地阅读更专业的文献，并有信心进入代数几何研究的前沿领域。我们希望通过这次深入的探索，读者能够领略代数几何的逻辑之美、结构之精妙，以及它在解决深刻数学问题中所扮演的关键角色。

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带学生读过一部分。 Quot可表源于Grassmanian源于Projective space（两个技术性的东西是regularity和flattening stratification，希望证明固定Hilbert polynomial的部分是finite type于是quasi-compact），Deformation theory求切空间维数、证明光滑性（obstruction theory），...  

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带学生读过一部分。 Quot可表源于Grassmanian源于Projective space（两个技术性的东西是regularity和flattening stratification，希望证明固定Hilbert polynomial的部分是finite type于是quasi-compact），Deformation theory求切空间维数、证明光滑性（obstruction theory），...  

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20世纪的代数几何学领域产生了许多天才和菲尔兹奖得主，但上帝只有一个，他就是亚历山大•格罗滕迪克。他的系列专著EGA是公认的代数几何圣经。 牛人格罗滕迪克到底有多牛？隔行如隔山，这个问题其实是外行如我辈根本不可能回答的。接近答案的唯一的途径，只能是看同领域其他...  

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带学生读过一部分。 Quot可表源于Grassmanian源于Projective space（两个技术性的东西是regularity和flattening stratification，希望证明固定Hilbert polynomial的部分是finite type于是quasi-compact），Deformation theory求切空间维数、证明光滑性（obstruction theory），...  

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20世纪的代数几何学领域产生了许多天才和菲尔兹奖得主，但上帝只有一个，他就是亚历山大•格罗滕迪克。他的系列专著EGA是公认的代数几何圣经。 牛人格罗滕迪克到底有多牛？隔行如隔山，这个问题其实是外行如我辈根本不可能回答的。接近答案的唯一的途径，只能是看同领域其他...  

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这本书真正让我感到震撼的是它在处理“不变性”和“局部化”这些核心哲学思想时的深刻洞察力。它不仅仅是教会你如何计算，更是引导你去思考“什么是代数几何”的本质。很多初学者可能会被那些复杂的同调群或上同调群吓倒，但这本书却能巧妙地将这些工具融入到一个更宏大的几何构造中去解释其意义。它教会我们，代数几何的目的不仅仅是解决方程组，更是要理解对象在不同视角下的“稳健性”。这种自上而下的理论构建方式，使得读者在掌握了初级工具后，不会感到理论的突然断裂，而是能自然而然地过渡到更深入的研究领域。总而言之，这是一部需要耐心、时间，但回报极其丰厚的著作，它塑造了不止一代代数几何学家的思维方式。

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我发现这本书在处理现代代数几何的核心工具时，展现出一种近乎完美的平衡感。它没有过分沉溺于某一个特定的流派或视角，而是力求全面地展现代数几何的广阔图景。例如，在处理拓扑和代数结构之间的桥梁时，作者展现了高超的驾驭能力。它不像一些专注于莫里代数或只关注经典代数几何的书籍那样具有局限性。相反，它像一个全景镜头，让你能够同时审视不同角度的风景。特别是关于范畴论在几何中应用的部分，阐述得极为精妙，为理解更高级的理论如范畴化的几何构造打下了关键的理论基础。我个人认为，这本书的价值不仅仅在于它“教了什么”，更在于它“如何组织和呈现这些知识”，它建立了一个清晰的层次结构，使得复杂的概念能够按部就班地被理解和吸收。对于希望构建完整知识体系的读者来说，它提供了绝佳的路线图。

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说实话，这本书的阅读体验并非一路坦途，它更像是一场对心智的严峻考验。我花了远超预期的精力去消化每一个定理的证明和每一个定义的内涵。它的叙述风格极其凝练，有时甚至会让人觉得有些“冷峻”，仿佛作者在挑战读者的理解极限。但这恰恰是它的魅力所在——它要求你必须自己去思考、去填补那些看似跳跃的逻辑链条。我记得有一次，为了理解其中一个关于概形理论的构造，我查阅了至少三本辅助读物才算勉强摸到门道。但一旦你成功攻克了某个难点，那种成就感是无与伦比的。这本书没有提供大量肤浅的例子来让你“感觉良好”，它提供的是一套完整的、自洽的理论体系。对于那些已经有一定基础，渴望从“知道一些定理”进化到“理解整个理论系统”的学者或高年级学生来说，这本书是必须啃下来的硬骨头。它教会你的不仅仅是代数几何的知识，更是一种面对高度抽象数学问题的解决策略。

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从排版和结构上看，这本书的编排也体现了其专业性。每一个章节的过渡都经过了深思熟虑，很少有那种为了凑页数而硬塞进来的内容。它的定义、引理和定理之间有着清晰的层级关系，让你清楚地知道当前正在学习的知识在整个大厦中的位置。虽然内容本身难度较高，但作者在关键时刻的数学符号定义和术语解释方面做得相当到位，这在处理如此复杂的数学领域时是极其重要的。我特别喜欢它在证明过程中对关键步骤的强调，虽然篇幅不多，但足以引导读者关注到证明的“妙处”而非仅仅是机械的推导。这使得这本书不仅是一本教科书，更像是一本理论的“导览手册”，帮助读者高效地导航于复杂的数学证明森林之中，避免迷失方向。

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这本书绝对是代数几何领域的“圣经”级别著作，光是看到它的名字就能感受到那种扑面而来的严谨性和深度。我记得我第一次翻开它的时候，感觉就像是掉进了一个精妙绝伦的迷宫，里面充满了各种抽象的概念和精巧的结构。作者似乎有一种魔力，能够把那些原本看起来遥不可及的代数对象，通过几何的直观方式描绘出来，那种清晰度是其他教材难以比拟的。它不像某些入门书籍那样试图把所有东西都包装得“友好易懂”，而是直接把你带到了核心前沿。对于真正想深入理解代数几何的底层逻辑、掌握其基本工具和思维方式的读者来说，这本著作提供的视角是无可替代的。它不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维训练，让你学会如何用代数的语言去“看”几何，用几何的直觉去“想”代数。我尤其欣赏它在基础概念构建上的那种一丝不苟，为后续学习更尖端的主题打下了无比坚实的地基。读完之后，你会发现自己对整个学科的框架有了全新的认识，很多曾经模糊不清的地方豁然开朗。

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