Lectures on Resolution of Singularities pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Princeton University Press

作者:János Kollár

出品人:

页数:208

译者:

出版时间:2007-2-25

价格:USD 55.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780691129235

丛书系列:

图书标签:

• 代数几何7
• 数学
• 代数几何
• 奇点解消
• 分辨率
• 交换代数
• 代数簇
• 层论
• 上同调
• 模论
• 代数变换

《代数几何中的几何方法：几何化奇点消解导论》 前言 在现代数学的宏伟殿堂中，代数几何以其深刻的洞察力和丰富的结构，连接着数论、拓扑学、微分几何等诸多分支。而奇点，作为代数簇（variety）上那些“不光滑”的点，既是研究的难点，也是理解几何对象本质的关键。解决（消解）奇点，即通过一系列几何变换将奇点转化为光滑点，从而使我们能够更深入地分析和理解代数簇的结构，一直是代数几何研究的核心课题之一。 本书《代数几何中的几何方法：几何化奇点消解导论》旨在为读者提供一个关于奇点消解理论的系统性介绍，侧重于那些具有几何直觉和构造性的方法。我们将避开纯粹的抽象代数论证，而是专注于那些能够被直观理解的几何过程，并展示如何利用这些过程来系统地处理和消解各种类型的奇点。本书的内容涵盖了从最基本的概念到一些较为高级的技术，力求在深度和广度上为读者打下坚实的基础。 第一章：代数簇与奇点的初步认识 本章将为读者建立对代数簇和奇点的基本认知框架。我们将从定义开始，清晰地阐述什么是代数簇，以及在不同语境下的相关概念，如仿射簇、射影簇等。随后，我们将引入奇点的概念，并从最简单的例子入手，如平面曲线上的尖点、自交点，以及更高维空间中的典型奇点。我们将通过具体的例子，例如 $y^2 = x^3$ 和 $y^2 = x^2(x+1)$，来直观地理解这些奇点的几何形态。 我们将探讨描述奇点性质的代数工具，例如局部环的性质、模（module）的性质等，但我们的重点将始终放在这些代数性质如何映射到几何形态上。此外，我们将初步介绍一些衡量奇点“严峻程度”的指标，如局部乘积（local ring）的维度、奇点局部环的模（ideal class group）等，并讨论它们与几何观察之间的联系。 第二章： blow-up（爆破）——几何化奇点的基本工具 Blow-up，或称爆破，是代数几何中最基本也是最强大的奇点消解工具之一。本章将详细介绍 blow-up 的概念、构造和性质。我们将从仿射空间的 blow-up 入手，例如在原点进行 blow-up，并直观地解释其几何含义：将奇点“拉伸”成一个光滑的子簇。我们会用具体的例子，例如将平面曲线 $y^2 = x^3$ 在原点进行 blow-up，展示如何将尖点转化为一条光滑的直线。 我们将深入探讨 blow-up 的代数构造，包括在局部环上的操作，并解释 blow-up 如何改变代数簇的结构。我们将介绍“例外子簇”（exceptional divisor）的概念，以及它在奇点消解过程中的作用。此外，我们还会探讨 blow-up 的组合性质，例如多重 blow-up 的概念，以及它们如何用于消解更复杂的奇点。本章的重点在于培养读者对 blow-up 操作的几何直觉，并理解它如何提供一种“局部光滑化”的机制。 第三章：奇点消解的路径——序列 blow-up 的构造 虽然单个 blow-up 可以解决一些简单的奇点，但对于更复杂的奇点，我们需要通过一系列 blow-up 来逐步消解。本章将重点探讨如何构建一个“消解序列”（resolution sequence）来系统地处理奇点。我们将引入“局部奇点”（local singularity）的概念，并讨论如何选择最佳的 blow-up 中心来最有效地减小数值。 我们将介绍一些经典的奇点消解算法，例如 Hironaka 的方法，并将其中的几何思想进行分解。我们将通过具体的例子，例如三维空间中的典型奇点，来演示如何通过一系列 blow-up 操作，最终将奇点转化为光滑点。本章将强调策略性和构造性，即如何根据奇点的几何特征来设计 blow-up 的顺序和中心。我们将讨论不同 blow-up 中心选择策略的优缺点，以及如何避免引入新的奇点。 第四章：曲面奇点的几何消解 本章将聚焦于二维代数簇——曲面上的奇点消解。曲面奇点在代数几何中具有尤为重要的地位，它们与函数的级数展开、微分几何的曲率等概念紧密相连。我们将回顾已有的 blow-up 工具，并将其应用于曲面奇点的分析。 我们将详细介绍曲面上的某些特定类型奇点，例如“锥形奇点”（conical singularity）和“悬垂奇点”（nodal singularity），并展示如何通过 blow-up 和其他一些更精细的几何变换来消解它们。我们将探讨“二重覆盖”（double cover）等代数构造与曲面奇点之间的联系，并说明如何利用这些构造来理解奇点的局部结构。本章将提供一系列具有代表性的曲面奇点消解案例，帮助读者将理论知识应用于具体问题。 第五章：代数方法与几何方法的融合——模理论与奇点 尽管本书侧重于几何方法，但理解代数方法与几何方法之间的联系至关重要。本章将探讨模（module）理论在奇点研究中的作用，并展示其如何与几何直觉相结合。我们将介绍“模的生成数”（generating set of a module）的概念，并讨论它们如何与奇点处切线空间（tangent space）或法向量（normal vector）的性质相关联。 我们将介绍“相交数”（intersection number）等概念，并讨论它们在度量奇点全局性质时的作用。我们将探讨 Reimann-Roch 定理等代数工具在奇点分析中的应用，并说明它们如何提供关于奇点全局信息。本章旨在展示代数工具并非是纯粹的抽象，而是能够为几何直觉提供深刻的支撑。 第六章：更广泛的视角——高维奇点与一般化理论 本章将把视野扩展到更高维的代数簇，并介绍一些更一般的奇点消解理论。我们将讨论高维空间中奇点消解的挑战，以及一些处理这些挑战的策略。我们将介绍“理想”（ideal）的概念，以及如何通过研究理想的结构来理解奇点的性质。 我们将简要介绍一些更高级的奇点消解理论，例如“多项式奇点”（polynomial singularities）和“准相交偶”（quasi-coherent sheaves）等，但我们的重点将仍然放在其几何意义和构造性上。我们将讨论奇点消解在其他数学领域中的应用，例如在微分几何、复流形和数学物理中的作用。本章的目标是让读者认识到奇点消解理论的广阔前景和深远影响。 结论 《代数几何中的几何方法：几何化奇点消解导论》力求为读者提供一个清晰、直观且富有启发性的奇点消解理论学习路径。通过大量的几何例子和构造性解释，我们希望能够帮助读者克服抽象数学带来的障碍，培养对代数几何中奇点问题的深刻理解。奇点消解的研究不仅是代数几何的核心，更是通往理解复杂几何对象本质的钥匙。我们相信，本书将为有志于探索代数几何奥秘的读者提供宝贵的资源，并激发他们进一步的研究兴趣。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计确实让人眼前一亮，那种厚重的纸张质感，配合着古典而又不失现代感的字体排版，首先就给人一种专业而沉静的阅读体验。我特别喜欢封面上那种低调的色彩搭配，它不像很多数学教材那样追求鲜艳的视觉冲击，而是透露出一种内敛的学术气质。拿到手上的时候，就能感觉到编辑在细节上的用心，书脊的装订非常牢固，即便是频繁翻阅查找公式，也完全不必担心松散的问题。打开书页，里面的印刷清晰度极高，即便是那些复杂的几何图形和抽象符号，也显得锐利而准确，这对于需要长时间阅读和深入理解的读者来说，简直是福音。不过，从目录结构来看，感觉编排的脉络似乎有些过于紧凑，初学者可能需要花一番功夫来适应这种高密度的信息组织方式。总的来说，这本书在物理层面上，无疑是一件值得收藏的艺术品级别的学术著作，它的存在本身就是对数学研究严肃性的最好致敬。

评分☆☆☆☆☆

从纯粹的逻辑结构和叙事节奏上评价，这本书的结构安排显得相当大胆，甚至可以说有些反传统。它不像许多教科书那样，先给出宏大的背景介绍，再逐步深入到细节；反而是选择了一个极具挑战性的核心定理作为开篇的锚点，然后围绕这个锚点，像蛛网一样向外铺陈所需的必要工具和概念。这种“先见森林后识树木”的教学法，初读时会让人感到非常困惑，仿佛置身于一片迷雾之中，不知道眼前的定理究竟在数学地图上的哪个位置。但是，一旦你坚持下来，并成功地将开篇的那些零散概念拼凑起来后，那种豁然开朗的感觉是其他书籍难以比拟的。它强迫读者主动去建立知识间的联系，培养了一种独立思考和构建理论框架的能力，从这个角度看，它的教育价值是潜移默化的，并且是长远的。

评分☆☆☆☆☆

关于这本书的论述深度和广度，我只能用“令人敬畏”来形容。它所涵盖的领域，从代数拓扑的某些边缘地带，一直延伸到高维流形的某些非经典分类问题，其知识的覆盖面远超我最初的预期。作者在某些章节中引入的证明技巧，明显借鉴了粒子物理学中的某些分析方法，这种跨学科的思维碰撞，展现了作者广博的学识和非凡的洞察力。然而，也正是这种广博，使得这本书的篇幅异常庞大，内容密度达到了极限。我感觉自己不是在读一本“书”，而是在研读一个学科数十年积累的精华档案。它更像是一份详尽的“状态报告”，而不是一本旨在“普及”知识的入门读物。对于那些寻求快速掌握某个特定工具的读者来说，可能会觉得目标不够聚焦，但对于希望系统性地建立起一个宏大理论框架的学者而言，它提供了无可替代的深度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的符号系统使用达到了令人称奇的密度。我注意到作者偏爱使用某种特定的、在一些主流教材中并不常见的希腊字母组合来代表某些张量结构，这无疑给习惯了其他主流符号体系的读者设置了一个不小的门槛。我不得不花大量时间在查阅注释和对比不同版本的参考资料上，以确认某个看似陌生的符号究竟代表着什么样的几何对象。虽然我理解在高度专业化的领域中，符号的选择往往是历史和个人偏好的产物，但对于希望快速掌握核心思想的读者来说，这种符号层面的不统一，极大地减缓了阅读速度。如果能有一个附录集中解释一下这些特殊符号的定义和它们在传统表示法中的对应关系，想必能让更多人受益于其中蕴含的深刻见解。

评分☆☆☆☆☆

我最近开始涉猎拓扑学的高级应用，原本期望这本被业内人士大力推荐的“经典”能为我打开一扇新的大门，但实际阅读下来的感受却有些复杂。作者的论证过程严谨得令人窒息，每一个步骤的推导都滴水不漏，这无疑是数学作品的最高标准。然而，这种极度的严谨性也带来了一个副作用：对于没有深厚代数几何背景的读者来说，阅读体验就像是在攀登一座陡峭的花岗岩峭壁，每进一步都需要耗费极大的心力去消化前置的定义和引理。我尤其觉得在关于域扩张的章节中，作者似乎默认读者已经完全掌握了某个特定的范畴论工具，中间几乎没有给出任何回顾或侧重解释，这让我在试图将理论应用于具体问题时，感到有些力不从心。这本书更像是为已经处于研究前沿的专家们准备的，它在“讲解”和“记录”之间，更偏向于后者，旨在提供一个完备的知识体系的蓝图，而非手把手的引导。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆