The Numerical Solution of Systems of Polynomials pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Sommese, Andrew John/ Wampler, Charles W., II

出品人:

页数:401

译者:

出版时间:2005-3

价格:$ 121.00

装帧:HRD

isbn号码:9789812561848

丛书系列:

图书标签:

• 计算数学
• 数学
• 代数几何7
• 代数几何
• Homotopy
• 数值方法
• 代数几何
• 多项式系统
• 数值分析
• 计算代数
• 求解器
• 计算机代数
• 优化
• 数值线性代数
• 符号计算

《数值求解多项式方程组》 概览 本书深入探讨了求解多项式方程组这一数学领域的核心问题。多项式方程组在科学、工程、计算机图形学、机器人学、控制理论以及机器学习等众多领域扮演着至关重要的角色。从描述物理系统的数学模型，到进行几何形状的交点计算，再到优化问题中的约束条件，多项式方程组无处不在。然而，当方程组的规模增大，或者多项式的次数升高时，寻找解析解往往变得极为困难，甚至是不可能的。因此，发展和理解高效、可靠的数值求解方法成为了不可或缺的研究方向。 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，系统地介绍求解多项式方程组的各种数值算法，并讨论其理论基础、算法特性、计算复杂度以及在实际问题中的应用。我们不仅会回顾经典的算法，还会探讨近年来发展起来的先进技术，强调理论与实践相结合，帮助读者掌握解决实际问题的能力。 内容梗概 第一部分：基础理论与预备知识 在深入数值方法之前，本书首先会为读者打下坚实的理论基础。 多项式方程组的代数基础： 本部分将回顾多项式代数中的基本概念，包括多项式的定义、环论、理想理论、格勒布纳基（Gröbner）基等。理解这些概念对于理解多项式方程组的解的结构以及各种消元方法至关重要。我们将重点介绍格勒布纳基作为一种强大的工具，能够系统地解决多项式方程组，并为后续的数值方法提供理论指导。 代数几何的联系： 我们将初步介绍代数几何与多项式方程组之间的深刻联系。方程组的解集构成了代数簇，理解代数簇的几何性质有助于我们更好地理解方程组的行为和求解策略。 数值分析基础： 读者将复习数值分析中的一些基本概念，如误差分析、收敛性、稳定性、矩阵范数、线性代数求解技术（如LU分解、QR分解、奇异值分解）等。这些概念是理解和评估数值算法性能的关键。 第二部分：经典与基础数值方法 本部分将详细介绍求解多项式方程组的经典算法，并分析其优缺点。 消元法（Elimination Methods）： 格勒布纳基基的计算： 我们将深入探讨如何计算格勒布纳基基，包括各种算法（如Buchberger算法）及其变种，并分析其计算复杂度。虽然格勒布纳基基本身可以提供解析解的结构信息，但直接计算格勒布纳基基往往计算量巨大，尤其是在处理高维或高次多项式时。 数值格勒布纳基基： 介绍如何通过数值方法来逼近格勒布纳基基，以及这些方法在数值不稳定性方面的挑战与改进。 多项式结式（Resultants）： 单变量多项式根的求法： 回顾使用结式来判断两个单变量多项式是否有公根，以及如何通过结式来求解单变量多项式方程。 多变量多项式方程组的结式方法： 探讨如何通过多变量结式来降低多项式方程组的维度，将其转化为一系列单变量或低维多项式方程的求解问题。我们将讨论结式矩阵的构造、秩亏损与解的关系。 根轨迹法（Root Homotopy Methods）： 同伦思想： 介绍同伦的基本思想，即将一个已知有解的简单问题与待求解的问题联系起来，通过连续变形的方式找到待求解问题的解。 广义同伦（All-the-way Homotopy）： 详细阐述如何构造一个同伦函数，使其在参数值为0时是简单的，在参数值为1时是待求解的方程组。然后，通过数值跟踪同伦曲线来找到目标方程组的解。我们将讨论步长选择、奇点处理以及收敛性分析。 特定同伦构造： 介绍一些针对不同类型多项式方程组的有效同伦构造方法，如基于变量替换的同伦，以及如何利用解的结构信息来优化同伦曲线的跟踪。 第三部分：现代与高级数值方法 本部分将聚焦于当前研究前沿和更高效的数值求解技术。 基于优化和迭代的算法： 牛顿迭代法及其变种： 讨论求解非线性方程组的牛顿法，并将其推广到多项式方程组。分析其局部二次收敛性，以及在大范围收敛性和计算成本方面的挑战。介绍一些改进的牛顿法，如修正牛顿法。 预条件共轭梯度法（PCG）的应用： 在某些情况下，求解多项式方程组可以转化为求解一个大型稀疏线性系统，PCG等迭代方法在此类问题中表现出色。 基于矩阵特征值的方法： 多项式特征值问题（Polynomial Eigenvalue Problems）： 介绍多项式方程组的解可以与特定构造的多项式矩阵的特征值联系起来。 伴随矩阵（Companion Matrices）： 详细讲解如何构造多项式的伴随矩阵，以及通过求解伴随矩阵的特征值来获得多项式方程的根。我们将讨论如何将多变量多项式方程组转化为求解一个大型的伴随矩阵的特征值问题。 数值特征值算法： 介绍QR算法及其变种在求解大型伴随矩阵特征值问题中的应用。 基于采样和蒙特卡罗方法： 随机消元（Random Elimination）： 介绍利用随机投影和采样技术来降低多项式方程组的维度，从而简化求解过程。 蒙特卡罗方法在方程组求解中的应用： 探讨如何利用随机采样来估计解的性质，或作为其他数值方法的预处理步骤。 格勒布纳基基的数值计算改进： 选择性格勒布纳基基（Selective Gröbner Bases）： 介绍如何只计算格勒布纳基基的特定部分，以降低计算成本。 基于块结构的格勒布纳基基算法： 针对具有特定结构的多项式方程组，发展更高效的格勒布纳基基计算方法。 专门针对特定类型多项式方程组的算法： 稀疏多项式方程组： 讨论如何利用方程组的稀疏性来设计更高效的求解算法。 结构化多项式方程组： 针对具有特定代数或几何结构的方程组，开发定制化的求解方法。 第四部分：实际应用与案例研究 本部分将通过具体的实例，展示本书介绍的数值方法在不同领域的应用。 计算机图形学： 曲线和曲面的交点计算： 如何利用多项式方程组来描述曲线和曲面的几何关系，并求解它们的交点。 几何建模与渲染： 在复杂的几何模型创建和逼真渲染过程中，多项式方程组的求解是关键一步。 机器人学与运动规划： 逆运动学求解： 机器人手臂或移动机器人的逆运动学问题通常可以转化为求解非线性多项式方程组。 路径规划与碰撞检测： 在复杂的环境中规划机器人路径，以及检测物体间的碰撞，也常常需要求解多项式方程组。 控制理论： 系统辨识与参数估计： 从观测数据中估计系统模型参数，常常需要求解由多项式方程组成的系统。 稳定性分析： 分析控制系统的稳定性，可能需要求解与系统特征多项式相关的方程。 优化问题： 最优性条件： 在许多优化问题中，最优解满足由多项式方程组成的KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件。 机器学习： 模型训练与推理： 在某些机器学习模型（如基于多项式表示的模型）的训练和推理过程中，需要求解多项式方程组。 生物信息学： 网络推断与系统生物学： 分析复杂的生物网络，揭示基因或蛋白质之间的相互作用，常常涉及求解多项式方程组。 第五部分：软件实现与工具 常用数值求解库介绍： 介绍一些现有的、广泛使用的数值计算库和软件工具，如MATLAB（Symbolic Math Toolbox, Optimization Toolbox）、Mathematica、Maple、SciPy（numpy.linalg, scipy.optimize）、Julia等，以及它们在求解多项式方程组方面的功能。 开源计算代数系统： 介绍SageMath等开源系统，它们集成了多种代数和数值计算功能，为求解多项式方程组提供了强大的平台。 算法的实现细节： 讨论在实际编程中需要注意的问题，如数值精度、内存管理、并行计算等。 目标读者 本书适合于对数值分析、代数几何、科学计算有浓厚兴趣的研究生、博士后、以及在相关领域工作的研究人员和工程师。同时，对于高年级本科生，如果具备扎实的数学基础，本书也将是一个极好的学习资源，能够帮助他们深入理解多项式方程组的数值求解技术，并将其应用于实际问题。 学习本书的收获 通过学习本书，读者将能够： 深刻理解求解多项式方程组的理论基础和挑战。 掌握各种经典和现代数值算法的原理和实现细节。 能够根据具体问题选择最合适的求解方法。 理解不同算法的计算复杂度、收敛性和稳定性。 了解多项式方程组在各个科学和工程领域中的广泛应用。 具备利用现有软件工具或自行实现算法来解决实际问题的能力。 本书力求在严谨的数学理论和实用的计算方法之间取得平衡，为读者打开探索多项式方程组数值求解世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

我只看完了孤立零点的部分，正维数的解等写完论文有空再继续看吧。 全书是对Homotopy continuation的一个介绍，偏重应用。对于代数几何理论的部分讲的很简略，所以读者不至于陷入太过繁琐的理论。可惜我的功底比较差，对于代数几何不熟悉，有些地方还是不太懂。如果有一定代数...

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

**评价二：** 这本书的结构安排堪称艺术品，完全颠覆了我对传统数学专著的刻板印象。它不像有些书籍那样将理论堆砌到令人窒息，而是构建了一个层层递进的知识体系。开篇部分对多项式方程组的背景和挑战进行了极为精彩的铺陈，一下子就把读者带入了研究的氛围中。随后，作者非常巧妙地将经典方法与现代启发式算法穿插介绍。我尤其对其中关于复平面上根的分布与算法选择之间关系的探讨印象深刻。书中穿插了大量精心设计的图示和交互式案例的描述，即便是相对复杂的几何直观，也能通过这些视觉辅助材料迅速理解。最让我惊喜的是，作者对计算复杂度和误差分析的处理方式，没有采用那种冷冰冰的数学语言，而是用更贴近计算实践的角度去衡量不同方法的优劣。读完后，我感觉自己对“数值稳定性”这个概念有了全新的认识，不再是仅仅停留在符号层面，而是真正理解了它在浮点运算环境下的具体含义。这本书更像是一位经验丰富的导师在耳边细语，引导你避开那些常见的计算陷阱。

评分☆☆☆☆☆

**评价一：** 这本书在数值分析领域简直是一股清流，尤其对于那些深陷于高维非线性方程组泥潭的研究者来说，它简直就是一盏明灯。我记得我第一次接触这类问题时，面对的是一堆错综复杂的多元函数，求解过程简直是噩梦。这本书没有过多地纠缠于那些过于抽象的理论推导，而是非常务实地将重点放在了“如何有效求解”上。它对几种主流算法的剖析深入浅出，比如牛顿法及其各种修正形式，还有更高级的同伦方法，讲解得非常到位。特别是关于收敛性的讨论，作者不仅仅是给出了定理，更结合实际算例展示了不同参数设置对解的稳定性和速度的影响。我特别欣赏它在算法实现细节上的讲解，比如如何选择合适的步长控制策略，如何在计算雅可比矩阵时进行有效的近似，这些都是教科书里常常被一带而过但实际操作中却至关重要的问题。对于我这种偏向工程应用的人来说，这本书提供了扎实的理论基础和即插即用的实用技巧，让我能更快地将数学模型转化为可运行的代码。它不仅仅是告诉你“怎么做”，更是在潜移默化中教会你“为什么这样做更有效”。

评分☆☆☆☆☆

**评价四：** 这本书的编排风格非常注重实践性，仿佛是一本高级工程师的内部操作手册，而非传统的学术著作。我特别欣赏其中对于“软硬件协同”的关注，虽然它没有直接涉及具体的编程语言，但对并行计算和GPU加速下迭代方法的适应性分析，极大地拓宽了我的视野。在讲解一些较为边缘但实用的技巧时，比如如何利用多重精度运算来验证标准浮点解的可靠性，作者的处理非常果断且具有前瞻性。书中对稀疏矩阵的处理部分，简直是教科书级别的范例，它清晰地区分了直接法和迭代法在不同稀疏结构下的效率差异，并给出了详尽的矩阵存储格式对性能影响的剖析。阅读过程中，我经常会停下来思考，作者是如何在保持数学严谨性的同时，将这些复杂的工程考量融入进去的。这本书的行文有一种自信和老练，它不畏惧探讨那些在初级教材中被回避的“棘手”细节，反而将这些细节视为深入理解问题的关键切入点。它提供的工具箱是如此丰富，以至于我感觉自己手头的计算能力得到了质的飞跃。

评分☆☆☆☆☆

**评价五：** 我必须强调这本书在对“非线性”本质的探讨上所下的功夫。它不仅仅是套用线性化的方法来处理非线性问题，而是深入挖掘了多项式系统的固有结构特性。书中对于同伦延续法（Homotopy Continuation Methods）的讲解，简直是这方面文献的标杆。作者没有将同伦路径的构造视为一个简单的附加步骤，而是将其视为理解解空间结构的核心工具，这一点非常深刻。它清晰地展示了如何通过路径跟踪来避免陷入局部最优或鞍点，这在传统的基于梯度的优化方法中是难以保证的。此外，书中对边界条件和初始猜测敏感性的讨论，远超出了标准教科书的深度，它教会我们如何通过对系统进行微小扰动来探测解的鲁棒性。这本书的语言风格是那种沉稳而富有洞察力的，它不会用花哨的辞藻来吸引眼球，而是通过对核心概念的精准刻画，让读者自然而然地被其深度所折服。对于任何一个严肃从事计算科学或应用数学的人来说，这本书都是一本值得反复研读的案头必备之作，它的价值会随着你应用经验的增长而愈发凸显。

评分☆☆☆☆☆

**评价三：** 坦白说，这本书的深度绝对是顶级的，但它的可读性却出乎意料地高，这在我看来是极难得的平衡。我之前尝试过几本关于此主题的国外教材，往往在引入矩阵分解或迭代细节时就感到吃力，但本书的叙述逻辑非常清晰，每引入一个新的概念，都会立刻紧接着提供一个直观的例子来巩固理解。对于那些希望从工程背景转向理论研究的读者，这本书提供了完美的桥梁。它在处理病态问题（Ill-conditioned systems）时的章节尤其精彩，详细分析了预处理技术如何显著提升求解效率和精度，这在处理大规模的科学计算问题时是生死攸关的。此外，书中对全局收敛性方法的论述，如基于拓扑度的保证性方法，讲解得非常透彻，让我们看到了确定性解法的魅力所在。这本书的价值不仅在于传授知识，更在于培养读者批判性地看待和选择数值方法的思维模式，教会我们如何根据问题的具体特征，量身定制最优的求解策略。它激发了我对优化理论更深层次的探索欲望。

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