Computer Algebra and Geometric Algebra with Applications 计算机代数和几何代数 及应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:1 (2005年8月11日)

作者:Hongbo Li

出品人:

页数:447

译者:

出版时间:2005-8

价格:678.00元

装帧:平装

isbn号码:9783540262961

丛书系列:

图书标签:

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跨越代数的藩篱：探索抽象理论与实际应用的深度融合 数学的殿堂中，代数是一门古老而又充满活力的学科。它以符号的抽象为载体，以逻辑的严谨为骨架，构建起描述世界、解决问题的强大工具。在代数的广阔领域中，计算机代数和几何代数无疑是近年来发展迅猛、成果斐然的两个重要分支。本书并非简单地对这两个领域进行各自独立的介绍，而是致力于深入挖掘它们之间错综复杂的联系，并着重阐述它们在解决现实世界问题时所展现出的惊人威力。我们将带领读者穿越抽象的理论空间，体验数学逻辑的严密推理，最终将目光投向它们在工程、物理、计算机科学等诸多领域所绽放出的璀璨光芒。 第一部分：计算的智慧——计算机代数的精妙之处 计算机代数，顾名思义，是将计算机的计算能力与代数理论相结合的学科。它不仅仅是让计算机进行数值计算，更重要的是利用计算机强大的符号处理能力，处理复杂的代数表达式、方程组，甚至进行代数结构的分析。想象一下，当面对一个包含数百个变量和成千上万项的复杂方程组时，手工求解将是一项几乎不可能完成的任务。而计算机代数系统，如Mathematica、Maple、SymPy等，能够以惊人的速度和准确性，给出这些方程组的精确解，或者分析其解的性质。 本书将首先从计算机代数的基础概念入手。我们将探讨多项式运算的算法，包括多项式的加、减、乘、除以及求幂运算，并深入研究多项式因式分解和求根的各种策略。这些看似基础的运算，却是构建更复杂代数算法的基石。我们还将讨论符号积分和符号微分，这在物理学和工程学中有着不可替代的应用，例如求解微分方程、分析系统动态等。 接着，我们将进入更高级的计算机代数主题。方程组求解是其核心应用之一，我们将详细介绍 Gröbner 基理论，这是一种强大的代数几何工具，能够系统地解决非线性方程组。Gröbner 基理论不仅在理论上具有深刻的意义，而且在实际应用中也极其广泛，例如在机器人学中的逆运动学求解、在计算机图形学中的曲线和曲面表示等。我们还将探讨代数函数域、理想理论以及计算群论等更抽象但同样重要的概念，这些概念为理解更深层次的代数问题提供了理论框架。 在计算机代数的部分，我们将不仅仅停留在理论层面，更会强调其“计算”的属性。这意味着我们将介绍各种算法的效率分析，以及如何利用并行计算和分布式计算来加速复杂的代数运算。读者将了解如何选择合适的算法，如何在不同的硬件平台上优化计算性能，以及如何将计算机代数系统集成到实际的工程流程中。 第二部分：空间的语言——几何代数的优雅之道 如果说计算机代数是关于“计算”的智慧，那么几何代数则是关于“空间”的语言。几何代数，又称外代数（Exterior Algebra）或克利福德代数（Clifford Algebra），是一种统一的数学框架，能够以一种简洁而强大的方式表示和处理几何对象及其之间的关系。它将向量、点、线、面、体等几何概念，以及它们之间的旋转、投影、反射等变换，都纳入到一个统一的代数体系中。 几何代数最核心的贡献在于其统一性。传统的向量代数在处理三维空间中的旋转时，会引入大量的三角函数和复杂的矩阵运算。而几何代数则通过引入“多向量”（multivectors）的概念，能够以一种更加直观和高效的方式来描述和操作几何变换。例如，一个二维平面上的旋转，在几何代数中可以用一个简单的“刀刃”（bivector）来表示，并且任意次数的旋转都可以通过这个刀刃的幂次运算来完成，避免了角度的累积误差和三角函数的计算。 本书将循序渐进地介绍几何代数的概念。我们将从基本的向量乘法开始，包括内积（点积）和外积（叉积），并深入探讨外积所带来的几何意义，例如面积、体积等。然后，我们将引入更高阶的多向量，以及它们之间的乘法运算，即几何乘法。几何乘法将内积和外积的概念统一起来，并且具有结合律和分配律，使得我们可以对几何对象进行更加灵活的操作。 我们将重点介绍几何代数在几何变换中的应用。旋转、缩放、平移等基本的几何变换，在几何代数中都能够用简洁的表达式来表示。尤其是在处理三维空间中的旋转时，几何代数中的“旋转器”（rotors）扮演着至关重要的角色，它们能够以一种非常优雅的方式来表达和组合旋转，并且避免了万向节死锁等传统方法中的难题。 几何代数还能够自然地处理投影、反射以及其他更复杂的几何操作。我们将展示如何利用几何代数来定义和操纵点、直线、平面以及各种二次曲面。这在计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域具有极其重要的应用价值，例如在进行相机标定、目标跟踪、场景重建时，几何代数提供了一种统一的数学语言。 第三部分：融合的力量——计算机代数与几何代数的协同应用 本书最核心的价值在于，它将计算机代数的计算能力与几何代数的空间表达能力进行深度融合，展示它们在解决复杂问题时的协同效应。许多在理论上看似难以处理的几何问题，一旦借助计算机代数的强大计算能力，就能够得到有效的解决方案。反之，几何代数所提供的直观和统一的框架，也能够指导计算机代数去解决更具几何意义的问题。 我们将通过一系列具体的应用案例，来阐述这种融合的力量。 机器人学中的运动学与动力学： 机器人关节的运动可以被看作一系列的旋转和位移。几何代数能够以一种简洁的方式来表示这些变换，并将其组合起来描述机器人末端执行器的位姿。而计算机代数则能够处理由此产生的复杂方程组，例如求解机器人的逆运动学问题，即根据期望的末端执行器位姿，计算出各个关节的角度。这对于机器人的路径规划和控制至关重要。 计算机图形学中的建模与渲染： 复杂的三维模型，无论是曲面还是实体，都可以通过几何代数来高效地表示和操作。几何代数中的多向量能够自然地描述曲面的法线、切线等几何属性，这对于光照计算和渲染至关重要。同时，计算机代数可以用来求解与几何模型相关的方程，例如求交点、计算曲率等，从而实现更逼真的图像生成。 计算机视觉中的姿态估计与场景重建： 在计算机视觉中，估计相机的姿态或者场景中物体的三维结构，常常涉及到大量的几何计算。几何代数提供了一种统一的方式来表示相机的外参数和内参数，以及物体在空间中的位姿。计算机代数则能够利用传感器数据（例如图像特征点）来建立和求解相关的几何约束方程，从而实现精确的姿态估计和场景重建。 物理学中的场论与量子力学： 尽管在经典物理学中，几何代数已经展现出强大的应用潜力，例如在电磁场理论中，几何代数能够统一电场和磁场，并简化麦克斯韦方程组的求解。在更抽象的量子力学中，几何代数的概念也开始被引入，用于描述量子态和算符，并为解决某些复杂的量子现象提供了新的视角。计算机代数则能够处理量子力学中的巨大计算量，例如薛定谔方程的数值求解。 本书的目标读者是那些对数学理论具有一定基础，并希望将其应用于解决实际工程和科学问题的研究人员、工程师和高级学生。我们假设读者对线性代数和微积分有基本的了解，并对计算机编程有一定的接触。我们力求在保证理论严谨性的同时，突出实际应用的指导意义。本书中的例子和算法都将尽量做到清晰易懂，并且我们会提供相应的伪代码或参考实现，以帮助读者更好地掌握和应用所学知识。 通过深入研究计算机代数和几何代数，并探索它们之间以及与应用之间的深刻联系，我们相信读者将能够获得一套强大的数学工具，以更深刻、更高效的方式理解和解决现实世界中的各种挑战。这不仅是一次数学知识的拓展，更是一次思维方式的革新，一次从抽象到具体、从理论到实践的探索之旅。

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我最近刚读完一本名为《计算机代数与几何代数及其应用》的书，虽然我对这个领域抱有一丝期待，但读完之后，感觉这本书在很多方面都没有达到我的预期。首先，从内容深度上来说，书中对于基础概念的阐述显得有些肤浅。例如，在介绍代数结构时，作者只是简单地罗列了一些定义，并没有深入探讨这些结构在实际计算中的内在联系和优化策略。我希望能看到更多关于如何将抽象的代数概念转化为高效算法的实例分析，而不是停留在理论的表面。此外，书中对几何代数在物理学中的应用讲解得比较零散，缺乏一个清晰的脉络，使得读者很难把握其核心思想。整体来看，这本书更像是一本入门级的概念手册，对于希望深入研究的读者来说，可能需要寻求其他更专业的资料。我对书中对高级主题的覆盖度感到失望，它似乎避开了那些真正有挑战性的、能体现该领域前沿性的内容。

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作者在行文风格上显得过于学术化和封闭，似乎没有考虑到非该领域专业人士的阅读体验。大量的行话和缩写在没有充分介绍的情况下就被频繁使用，使得初学者望而却步。虽然专业书籍需要一定的专业性，但一本好的教材或参考书应该努力搭建起作者与读者之间的桥梁。这本书给我的感觉是，作者仿佛只是在向同行展示自己的知识储备，而不是致力于传授知识。特别是对一些重要的历史背景和发展脉络的叙述严重缺失，使得读者无法理解这些数学工具是如何一步步演变到现在的形态，缺乏了一种“故事感”和人文关怀。如果能用更具可读性的语言，辅以更友好的引导，这本书的价值会更加广泛。

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这本书的结构组织实在让人有些费解，逻辑跳跃性太大，仿佛是把不同来源的讲义拼凑在了一起。我发现在一个章节中，作者可能突然插入一个与上下文关联不大的小节，然后又迅速跳回原来的话题。这种编写风格极大地干扰了阅读的流畅性，使得我很难将知识点串联起来形成一个完整的知识体系。尤其是关于数值稳定性的讨论部分，描述得含糊不清，很多关键的假设条件都没有明确指出，这对于需要将理论应用于实际工程问题的读者来说，是一个致命的缺陷。我花了很多时间去猜测作者的意图，而不是专注于学习内容本身。如果作者能在章节之间建立更紧密的衔接，并提供更清晰的路线图，这本书的价值无疑会大大提升。现在的状态，读起来就像是在一个迷宫里摸索，让人感到非常挫败。

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从排版和图示来看，这本书的处理也相当粗糙。很多公式的排版格式不一致，有些地方甚至出现了字符缺失或者错误的索引，这在涉及复杂数学符号的著作中是绝对不能接受的。更令人头疼的是，书中大量的图形和示意图质量很差，线条模糊不清，很多本该一目了然的几何关系，却因为图示的质量低下而变得难以辨认。我不得不频繁地对照参考书目或网络资源来核对那些错误的符号和模糊的图形，这极大地浪费了我的时间。一本严肃的学术或专业参考书，其对细节的把控应该更加严谨。这种低劣的制作水平，让人很难相信其内容的权威性和准确性。

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这本书的例子和练习部分是其最大的短板之一。理论讲解之后，读者自然期待有足够多样化和有深度的习题来巩固理解，但这本书提供的例子却显得极其单调且缺乏创新。几乎所有的练习都只是对刚刚介绍过的定义进行机械性的代入和计算，很少触及到将代数工具应用于解决实际问题的复杂场景。举例来说，关于优化问题的应用案例几乎没有涉及，这对于一个宣称“应用”的标题来说，未免有些言过其实。我希望看到的是那些能激发思考、需要读者真正动脑筋去构造代数模型的问题，而不是那种只要照本宣科就能得出答案的简单练习。缺乏有挑战性的实战演练，使得我对所学知识的实际运用能力感到非常怀疑。

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Computer Algebra and Geometric Algebra with Applications 李洪波

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