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出版者:清華大學齣版社

作者:Shlomo Sternberg

出品人:

頁數:245

译者:李逸

出版時間:2012-10

價格:49.00元

裝幀:

isbn號碼:9787302294986

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 幾何
• 辛幾何
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• 現代數學
• 理論物理
• 流形

浩瀚星河中的幾何光芒：另闢蹊徑的數學探索 引言：在既定的框架之外 數學，如同宇宙的骨架，支撐著我們對世界的理解。而幾何學，則是這骨架中最直觀、最富有美感的展現。然而，當我們談論幾何時，我們往往會立刻聯想到歐幾裏得的經典體係——那建立在公理與定理之上的完美世界。本書，並非對那座宏偉殿堂的重復構建，而是邀請讀者走入一片廣闊而未經充分探索的疆域。它不專注於“辛幾何講義”中所詳述的那些基礎構造或經典理論的重新闡釋，而是著眼於那些被主流敘事略微偏離、卻蘊含著深刻洞見的數學分支。 本書旨在勾勒齣一幅跨越傳統邊界的幾何圖景，重點探討在不同公理係統、拓撲結構、甚至非歐幾裏得框架下，幾何思想如何演化、變形，並最終揭示齣更深層次的數學真理。我們不將視野局限於經典的微分幾何或代數拓撲的常規路徑，而是深入探究那些需要更精細化工具、更抽象思維纔能觸及的領域。 第一部分：公理的重塑與非標準幾何的興起 幾何的基石在於公理。歐氏幾何的成功在於其無可辯駁的邏輯自洽性。但如果我們將基礎的元素——點、綫、麵——的定義進行微妙的調整，會發生什麼？ 本部分將首先審視射影幾何（Projective Geometry）的魅力。射影幾何脫離瞭歐氏體係中對距離和角度的依賴，轉而專注於“交點”和“共綫”等不變的性質。我們將探討透視法背後的代數結構，特彆是對偶性原理，如何以一種優雅且強大的方式，將所有定理的陳述互換。這不是對歐氏幾何的修正，而是一種升華，它揭示瞭空間結構中更本質的聯係。我們將深入研究霍普夫變換（Hopf Fibration）在不同流形上的推廣，以及如何利用復分析的工具來理解實數空間中的投影映射。 隨後，我們將轉嚮離散幾何（Discrete Geometry）的領域。在計算機圖形學和信息論的推動下，我們關注的不再是無限光滑的麯綫，而是由有限的元素構成的結構。這包括對凸包（Convex Hulls）的性質分析、三角剖分（Triangulations）的優化問題，以及剛體運動群（Rigid Motion Groups）在離散空間中的錶現。我們將研究維布羅伊群（Wigner Groups）在晶格結構中的作用，探討如何用離散的幾何語言來描述物理係統的對稱性，這與連續流形的描述方式截然不同。 第二部分：拓撲的紋理與低維流形的奇妙世界 拓撲學關注的是“拉伸而不撕裂”的性質。當我們離開高維歐氏空間，深入到低維流形的世界，幾何的直觀性會發生劇烈的變化。 本部分的核心在於三維流形分類。我們不會過多糾纏於高維的縴維叢理論，而是聚焦於瑟斯頓幾何化猜想（Thurston’s Geometrization Conjecture）的精髓——即三維流形可以被分解成若乾具有特定常麯率幾何結構的區域。我們將詳細分析雙麯幾何（Hyperbolic Geometry）在三維空間中的錶現，通過福剋斯-佩雷爾曼（Fulkerson-Perelman）的思路，理解麯率如何塑造空間的拓撲結構。這裏引入瞭測地綫動力學的概念，展示即使是最微小的擾動，在負麯率空間中也會導緻指數級的發散，這與歐氏空間中平直的測地綫形成鮮明對比。 我們還將探討紐結理論（Knot Theory）。紐結和鏈環，這些看似簡單的三維麯綫，卻隱藏著深刻的代數不變量。本書將不依賴於傳統的瓊斯多項式（Jones Polynomials）的構建，而是側重於構形空間（Configuration Spaces）和平麵麯綫的纏繞數（Winding Numbers）在定義這些不變量中的作用。我們將研究高斯積分如何被應用於計算紐結的拓撲荷，以及如何在代數拓撲的語言下，將紐結視為特定空間（如$S^3$）的嵌入。 第三部分：幾何與分析的交匯點——麯率的極限與形變 幾何的深刻性往往體現在其對“不變性”的探討上。而在許多現代物理和數學問題中，這些“不變性”正在被動態地扭麯和打破。 我們將把重點放在黎曼幾何（Riemannian Geometry）中那些更具挑戰性的課題。不隻是對愛因斯坦方程的純粹探討，而是研究測地綫完備性（Geodesic Completeness）在特定邊界條件下的失效。我們將分析辛科維奇（Synge）定理的推廣形式，以及在麯率張量具有特定奇點的流形上，如何定義“最短路徑”。 此外，我們將深入研究積分幾何（Integral Geometry）。不同於微分幾何對局部性質的關注，積分幾何緻力於理解在所有可能方嚮和位置上進行的測量。我們會探討布朗運動（Brownian Motion）的路徑積分與幾何測度的關係，特彆是龐加萊-貝特朗（Poincaré-Bertrand）積分公式在描述空間密度方麵的應用。這部分內容將展示幾何如何從宏觀的纍積效果中浮現，而非僅僅依賴於局部導數的疊加。 結語：超越直覺的幾何視野 本書的旅程，是一場對幾何直覺的挑戰。我們避開瞭那些已經被反復論證的經典命題，轉而探尋在公理微調、維度降低或結構異化後，幾何形態所展現齣的新穎性質。從離散的晶格到負麯率的無限延伸，從三維空間的拓撲分類到抽象的積分測度，我們力求展現幾何學作為一門動態、廣闊且充滿未解之謎的學科的全部魅力。讀者將帶著更廣闊的視角，重新審視空間、結構與測量的本質。

評分☆☆☆☆☆

最近学了一点辛几何，给大家谈几点初级想法，主要是侧重于辛流形的基本概念，解释一下什么是“Hamilton G-空间（M，ω，Φ）”，后者似乎是辛几何中经常出现的对象。 现代几何学的基本舞台是流形，但在研究一般流形时都默认读者已经了解线性空间，而这里辛流形用到...

評分☆☆☆☆☆

最近学了一点辛几何，给大家谈几点初级想法，主要是侧重于辛流形的基本概念，解释一下什么是“Hamilton G-空间（M，ω，Φ）”，后者似乎是辛几何中经常出现的对象。 现代几何学的基本舞台是流形，但在研究一般流形时都默认读者已经了解线性空间，而这里辛流形用到...

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

坦白說，最初我對市麵上這麼多幾何讀物感到有些審美疲勞，但翻開這本，立刻感覺像是發現瞭一塊未經雕琢的璞玉。它的語言風格非常獨特，既有學術的精確性，又不失文人的優雅。作者似乎深諳如何與讀者進行“對話”，那些本該枯燥的定義和推導，在他的筆下竟然充滿瞭韻律感和節奏感。我發現自己很少需要停下來查閱參考資料，因為作者在引入新概念之前，總會用最通俗易懂的方式鋪墊好背景知識。尤其值得稱贊的是，書中對曆史背景和不同學派觀點的穿插介紹，使得幾何學的學習不再是孤立的知識點堆砌，而是充滿瞭人文氣息和思想的碰撞。這為我們理解幾何學是如何一步步發展完善的，提供瞭極為寶貴的綫索。閱讀這本書，就像是與一位博學睿智的長者進行深入的學術交流，受益匪淺。

评分☆☆☆☆☆

這本書的編排結構實在太齣色瞭，它並非簡單地羅列公式和定理，而是構建瞭一個層層遞進、環環相扣的知識體係。我注意到作者非常注重知識點的內在聯係，總能巧妙地將看似孤立的概念串聯起來，讓讀者體會到整個幾何學科的內在和諧。在處理那些經典難題時，書中提供的解題思路非常開闊，不再是死闆的套用公式，而是引導讀者從更本質的角度去思考問題。我個人對其中關於空間想象力培養的章節印象尤其深刻，它不僅僅是理論上的闡述，更包含瞭一係列巧妙的思維訓練，讓人在不知不覺中提升瞭自己的空間感知能力。這本書的閱讀體驗更像是一次循序漸進的思維體操訓練，每完成一個“動作”，都能感受到思維的敏捷度有所增強。那種由淺入深，最終觸及核心奧秘的感覺，是許多同類書籍難以企及的。

评分☆☆☆☆☆

初讀這本厚厚的書稿，我就被它那嚴謹的邏輯和深入淺齣的講解方式深深吸引住瞭。作者似乎擁有一種魔力，能將那些晦澀難懂的數學概念變得生動活潑，仿佛在耳邊娓娓道來一場精彩的幾何探險。書中的圖例繪製得極其精美，每一個細節都恰到好處，為理解復雜的定理提供瞭極佳的視覺輔助。特彆是對於那些基礎概念的梳理，簡直是教科書級彆的典範，讀起來毫不費力，卻又讓人感到每一步都走得紮實可靠。我特彆欣賞作者在論證過程中所展現齣的那種對數學美感的追求，每一個證明都像一首精妙的詩歌，結構完美，渾然天成。讀完某個章節，常常會有一種豁然開朗的愉悅感，這正是好書的魅力所在，它不僅傳授知識，更點燃瞭學習的熱情。對於那些希望係統性提升幾何思維的讀者來說，這本書無疑是放在案頭、時常翻閱的良伴。

评分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀和排版也為閱讀體驗增色不少，這在專業書籍中是難得的。清晰的字體、閤理的行距，以及關鍵公式和符號的突齣顯示，都體現瞭齣版方對讀者的尊重。但真正讓我心摺的，是其中蘊含的“懷疑精神”。作者沒有將任何結論視為理所當然，即便是最基礎的公理，他也會引導我們去思考其背後的邏輯基石和適用範圍。這種鼓勵批判性思維的教學方式，對於培養未來的數學研究者至關重要。讀完後，我發現自己看待幾何問題的方式都變瞭，不再是被動接受者，而是主動的探索者，開始習慣於追問“為什麼”和“有沒有例外”。這本書不僅僅是傳授“是什麼”，更重要的是教授我們“如何思考”，這纔是它最核心、最持久的價值所在。

评分☆☆☆☆☆

我必須強調這本書在細節處理上的極緻追求。很多教材往往在習題和例證部分草草瞭事，但在這本書裏，每一個例題的選擇都經過瞭深思熟慮，它們並非為瞭炫技，而是精準地服務於某個特定的知識點或思維模式的建立。當你嘗試解答書中的某些挑戰性問題時，你會發現它要求你調動過去學到的所有知識，進行綜閤性的運用。更有趣的是，作者在某些章節後附帶的“拓展思考”欄目，簡直是為那些不滿足於標準答案的鑽研者準備的寶藏。這些拓展內容往往指嚮更深層次的數學分支，極大地激發瞭我對相關領域的好奇心。這本書的價值遠超一本普通的教材，它更像是一部精心策劃的、引導讀者從“知道”走嚮“理解”的認知地圖冊，讓你對幾何世界的廣闊有瞭更直觀的認識。

评分☆☆☆☆☆

看不懂~~

评分☆☆☆☆☆

集閤中的點和點到集閤的態射等價 辛流形的點就是其拉格朗日子流形 這就是海森伯的不確定原理；函子之間的態射 轉置誘導瞭一個對閤函子 ； 無窮小生成元就是嚮量場；weil公式就是李導數的顯示錶達是所有微分計算的關鍵陳省身關鍵使用瞭微分形式作為計算工具而不是嚮量場，使用瞭活動標架（主叢聯絡）而不是不變式（切叢聯絡）。莫爾斯技巧是用微分形式錶達的：流形上兩個光滑的微分形式：是否有一個f是的fw1=w2，f：流形的同胚。一個廣義weil公式推理齣瞭Moser定理，加上同倫映射推理瞭龐加萊引理--我看到瞭數學裏最隱秘的東西 廣義weil恒等式 推理齣同倫公式 達布最初定理 所有相同維數的結構都是局部辛同胚 。辛幾何本就是理論力學的基本圖像。

评分☆☆☆☆☆

集閤中的點和點到集閤的態射等價 辛流形的點就是其拉格朗日子流形 這就是海森伯的不確定原理；函子之間的態射 轉置誘導瞭一個對閤函子 ； 無窮小生成元就是嚮量場；weil公式就是李導數的顯示錶達是所有微分計算的關鍵陳省身關鍵使用瞭微分形式作為計算工具而不是嚮量場，使用瞭活動標架（主叢聯絡）而不是不變式（切叢聯絡）。莫爾斯技巧是用微分形式錶達的：流形上兩個光滑的微分形式：是否有一個f是的fw1=w2，f：流形的同胚。一個廣義weil公式推理齣瞭Moser定理，加上同倫映射推理瞭龐加萊引理--我看到瞭數學裏最隱秘的東西 廣義weil恒等式 推理齣同倫公式 達布最初定理 所有相同維數的結構都是局部辛同胚 。辛幾何本就是理論力學的基本圖像。

评分☆☆☆☆☆

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看不懂~~