具体描述
《数学分析》(原书第2版)是美国著名的数学分析教材，涵盖了初等微积分以及实变函数论和复变函数论等内容，涉及现代分析的最新进展。书中包含大量覆盖各个方面、各级难度的习题，通过习题的训练，可以培养学生的运算技能和对数学问题的思维能力。《数学分析》(原书第2版)条理清晰，内容精练，言简意赅，可作为高等院校数学与应用数学、信息与计算科学等专业学生的教材，同时也可作为数学工作者和科技人员的参考书。
作者简介
Tom M. Apostol 是加州理工学院数学系荣誉教授。他于1946年在华盛顿大学西雅图分校获得数学硕士学位，于1948年在加州大学伯克利分校获得数学博士学位。他的著述很多，除本书外，还著有《Calculus, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra》、《Calculus, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications》等。
目录信息
1.1引言
1.2域公理
1.3序公理
1.4实数的几何表示
1.5区间
1.6整数
1.7整数的唯一因数分解定理
1.8有理数
1.9无理数
1.10上界，最大元，最小上界(上确界)
1.11完全公理
1.12上确界的某些性质
1.13从完全公理推演出的整数性质
1.14实数系的阿基米德性质
1.15能用有限小数表示的有理数
1.16用有限小数逼近实数
1.17用无限小数表示实数
1.18绝对值与三角不等式
1.19柯西施瓦茨不等式
1.20正负无穷和扩充的实数系R*
1.21复数
1.22复数的几何表示
1.23虚数单位
1.24复数的绝对值
1.25复数排序的不可能性
1.26复指数
1.27复指数的进一步性质
1.28复数的辐角
1.29复数的整数幂和方根
1.30复对数
1.31复幂
1.32复正弦和复余弦
1.33无穷远点与扩充的复平面C*
练习
进一步参考文献
第2章集合论的一些基本概念
2.1引言
2.2记号
2.3序偶
2.4两个集合的笛卡儿积
2.5关系与函数
2.6关于函数的进一步的术语
2.711函数及其反函数
2.8复合函数
2.9序列
2.10相似(对等)集合
2.11有限集与无限集
2.12可数集与不可数集
2.13实数系的不可数性
2.14集合代数
2.15可数集的可数族
练习
进一步参考文献
第3章点集拓扑初步
3.1引言
3.2欧氏空间Rn
3.3Rn中的开球与开集
3.4R1中开集的结构
3.5闭集
3.6附贴点，聚点
3.7闭集与附贴点
3.8波尔查诺魏尔斯特拉斯定理
3.9康托尔交定理
3.10林德勒夫覆盖定理
3.11海涅博雷尔覆盖定理
3.12Rn中的紧性
3.13度量空间
3.14度量空间中的点集拓扑
3.15度量空间的紧子集
3.16集合的边界
练习
进一步参考文献
第4章极限与连续性
4.1引言
4.2度量空间中的收敛序列
4.3柯西序列
4.4完备度量空间
4.5函数的极限
4.6复值函数的极限
4.7向量值函数的极限
4.8连续函数
4.9复合函数的连续性
4.10连续复值函数和连续向量值函数
4.11连续函数的例子
4.12连续性与开集或闭集的逆象
4.13紧集上的连续函数
4.14拓扑映射(同胚)
4.15波尔查诺定理
4.16连通性
4.17度量空间的分支
4.18弧连通性
4.19一致连续性
4.20一致连续性与紧集
4.21压缩的不动点定理
4.22实值函数的间断点
4.23单调函数
练习
进一步参考文献
第5章导数
5.1引言
5.2导数的定义
5.3导数与连续性
5.4导数代数
5.5链式法则
5.6单侧导数和无穷导数
5.7具有非零导数的函数
5.8零导数与局部极值
5.9罗尔定理
5.10微分中值定理
5.11导函数的介值定理
5.12带余项的泰勒公式
5.13向量值函数的导数
5.14偏导数
5.15复变函数的微分
5.16柯西黎曼方程
练习
进一步参考文献
第6章有界变差函数与可求长曲线
6.1引言
6.2单调函数的性质
6.3有界变差函数
6.4全变差
6.5全变差的可加性
6.6在［a，x］上作为x的函数的全变差
6.7有界变差函数表示为递增函数之差
6.8有界变差连续函数
6.9曲线与路
6.10可求长的路与弧长
6.11弧长的可加性及连续性性质
6.12路的等价性，参数变换
练习
进一步参考文献
第7章黎曼斯蒂尔切斯积分
7.1引言
7.2记号
7.3黎曼斯蒂尔切斯积分的定义
7.4线性性质
7.5分部积分法
7.6黎曼斯蒂尔切斯积分中的变量替换
7.7化为黎曼积分
7.8阶梯函数作为积分函数
7.9黎曼斯蒂尔切斯积分化为有限和
7.10欧拉求和公式
7.11单调递增的积分函数，上积分与下积分
7.12上积分及下积分的可加性与线性性质
7.13黎曼条件
7.14比较定理
7.15有界变差的积分函数
7.16黎曼斯蒂尔切斯积分存在的充分条件
7.17黎曼斯蒂尔切斯积分存在的必要条件
7.18黎曼斯蒂尔切斯积分的中值定理
7.19积分作为区间的函数
7.20积分学第二基本定理
7.21黎曼积分的变量替换
7.22黎曼积分第二中值定理
7.23依赖于一个参数的黎曼斯蒂尔切斯积分
7.24积分号下的微分法
7.25交换积分次序
7.26黎曼积分存在性的勒贝格准则
7.27复值黎曼斯蒂尔切斯积分
练习
进一步参考文献
第8章无穷级数与无穷乘积
8.1引言
8.2收敛的复数序列与发散的复数序列
8.3实值序列的上极限与下极限
8.4单调的实数序列
8.5无穷级数
8.6插入括号和去掉括号
8.7交错级数
8.8绝对收敛与条件收敛
8.9复级数的实部与虚部
8.10正项级数收敛性的检验法
8.11几何级数
8.12积分检验法
8.13大O记号和小o记号
8.14比值检验法和根检验法
8.15狄利克雷检验法和阿贝尔检验法
8.16几何级数∑zn在单位圆｜z｜=1上的部分和
8.17级数的重排
8.18关于条件收敛级数的黎曼定理
8.19子级数
8.20二重序列
8.21二重级数
8.22二重级数的重排定理
8.23累次级数相等的一个充分条件
8.24级数的乘法
8.25切萨罗可求和性
8.26无穷乘积
8.27对于黎曼ζ函数的欧拉乘积
练习
进一步参考文献
第9章函数序列
9.1函数序列的点态收敛性
9.2实值函数序列的例子
9.3一致收敛的定义
9.4一致收敛与连续性
9.5一致收敛的柯西条件
9.6无穷函数级数的一致收敛
9.7一条填满空间的曲线
9.8一致收敛与黎曼斯蒂尔切斯积分
9.9可以被逐项积分的非一致收敛序列
9.10一致收敛与微分
9.11级数一致收敛的充分条件
9.12一致收敛与二重序列
9.13平均收敛
9.14幂级数
9.15幂级数的乘法
9.16代入定理
9.17幂级数的倒数
9.18实的幂级数
9.19由函数生成的泰勒级数
9.20伯恩斯坦定理
9.21二项式级数
9.22阿贝尔极限定理
9.23陶伯定理
练习
进一步参考文献
第10章勒贝格积分
10.1引言
10.2阶梯函数的积分
10.3单调的阶梯函数序列
10.4上函数及其积分
10.5黎曼可积函数作为上函数的例子
10.6一般区间上的勒贝格可积函数类
10.7勒贝格积分的基本性质
10.8勒贝格积分和零测度集
10.9莱维单调收敛定理
10.10勒贝格控制收敛定理
10.11勒贝格控制收敛定理的应用
10.12无界区间上的勒贝格积分作为有界区间上的积分的极限
10.13反常黎曼积分
10.14可测函数
10.15由勒贝格积分定义的函数的连续性
10.16积分号下的微分法
10.17交换积分次序
10.18实线上的可测集
10.19在R的任意子集上的勒贝格积分
10.20复值函数的勒贝格积分
10.21内积与范数
10.22平方可积函数集合L2(I)
10.23集合L2(I)作为一个半度量空间
10.24关于L2(I)内的函数级数的一个收敛定理
10.25里斯费希尔定理
练习
进一步参考文献
第11章傅里叶级数与傅里叶积分
11.1引言
11.2正交函数系
11.3最佳逼近定理
11.4函数相对于一个规范正交系的傅里叶级数
11.5傅里叶系数的性质
11.6里斯费希尔定理
11.7三角级数的收敛性与表示问题
11.8黎曼勒贝格引理
11.9狄利克雷积分
11.10傅里叶级数部分和的积分表示
11.11黎曼局部化定理
11.12傅里叶级数在一个特定的点上收敛的充分条件
11.13傅里叶级数的切萨罗可求和性
11.14费耶定理的推论
11.15魏尔斯特拉斯逼近定理
11.16其他形式的傅里叶级数
11.17傅里叶积分定理
11.18指数形式的傅里叶积分定理
11.19积分变换
11.20卷积
11.21对于傅里叶变换的卷积定理
11.22泊松求和公式
练习
进一步参考文献
第12章多元微分学
12.1引言
12.2方向导数
12.3方向导数与连续性
12.4全导数
12.5全导数通过偏导数来表示
12.6对复值函数的一个应用
12.7线性函数的矩阵
12.8雅可比矩阵
12.9链式法则
12.10链式法则的矩阵形式
12.11用于可微函数的中值定理
12.12可微的一个充分条件
12.13混合偏导数相等的一个充分条件…
12.14用于从Rn到R1的函数的泰勒公式
练习
进一步参考文献
第13章隐函数与极值问题
13.1引言
13.2雅可比行列式不取零值的函数
13.3反函数定理
13.4隐函数定理
13.5一元实值函数的极值
13.6多元实值函数的极值
13.7带边条件的极值问题
练习
进一步参考文献
第14章多重黎曼积分
14.1引言
14.2Rn内有界区间的测度
14.3在Rn内的紧区间上定义的有界函数的黎曼积分
14.4零测度集与多重黎曼积分存在性的勒贝格准则
14.5多重积分通过累次积分求值
14.6Rn内的若尔当可测集
14.7若尔当可测集上的多重积分
14.8若尔当容度表示为黎曼积分
14.9黎曼积分的可加性
14.10多重积分的中值定理
练习
进一步参考文献
第15章多重勒贝格积分
15.1引言
15.2阶梯函数及其积分
15.3上函数与勒贝格可积函数
15.4Rn内的可测函数与可测集
15.5关于阶梯函数的二重积分的富比尼归约定理
15.6零测度集的某些性质
15.7对于二重积分的富比尼归约定理
15.8可积性的托内利霍布森检验法
15.9坐标变换
15.10多重积分的变换公式
15.11对于线性坐标变换的变换公式的证明
15.12对于紧立方体特征函数的变换公式的证明
15.13变换公式证明的完成
练习
进一步参考文献
第16章柯西定理与留数计算
16.1解析函数
16.2复平面内的路与曲线
16.3围道积分
16.4沿圆形路的积分作为半径的函数
16.5对于圆的柯西积分定理
16.6同伦曲线
16.7围道积分在同伦下的不变性
16.8柯西积分定理的一般形式
16.9柯西积分公式
16.10回路关于一点的卷绕数
16.11卷绕数为零的点集的无界性
16.12用围道积分定义的解析函数
16.13解析函数的幂级数展开
16.14柯西不等式与刘维尔定理
16.15解析函数零点的孤立性
16.16解析函数的恒等定理
16.17解析函数的最大模和最小模
16.18开映射定理
16.19圆环内解析函数的洛朗展开
16.20孤立奇点
16.21函数在孤立奇点处的留数
16.22柯西留数定理
16.23区域内零点与极点的个数
16.24用留数的方法求实值积分的值
16.25用留数计算的方法求高斯和的值
16.26留数定理对于拉普拉斯变换反演公式的应用
16.27共形映射
练习
进一步参考文献
特殊符号索引
索引
· · · · · · (收起)
读后感
虽然是物理系的学生，但本人对数学却是情有独钟，看了一些数学书，认为这本是相当严谨的了。 看到第四章了，虽然看的很艰难，但是我决定坚持下去。
评分数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群289952626组队中数学分析大群28...
评分和楼上一样，自己虽然是管理系的，但是对数学情有独钟，研究生考了统计，数学自然离不开。尽管书很难，和以前学的数学理论基础上不太一样，看起来很累~~正看到第六章，还是坚持，呵呵~~
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用户评价
《数学分析》这本书的作者在教学设计上可谓是煞费苦心。它不仅仅是一个知识的载体，更是一个精心设计的学习路径。从最基础的定义和性质开始，逐步引入更复杂的概念和定理，每一个概念的出现都有其明确的铺垫和逻辑依据。我喜欢它在引入新概念时，总会先给出一些直观的例子或背景介绍，然后再给出精确的定义。这种由浅入深、循序渐进的学习方式，极大地降低了学习难度，让我能够更好地吸收和理解。而且，它还会根据不同的学习阶段，提供不同难度的习题，让我能够根据自己的掌握情况进行有针对性的练习。对于一些比较关键的定理，它还会提供多种不同的证明方法，让我能够从不同的角度去理解其精髓。这种全方位的教学设计，让我在学习过程中感到十分充实和有条理。
评分一本名叫《数学分析》的书，最近被我翻了个底朝天。说实话，一开始对这名字还有点望而却步，总觉得是那种冷冰冰、公式堆砌的枯燥读物，大概率会和我的大学时光一样，在无数个夜晚与微积分、线性代数搏斗。然而，当我真正沉浸其中，却发现它远比我想象的要丰富得多。这本书并非简单地罗列定理和证明，而是像一位经验丰富的向导，循序渐进地带领我探索数学世界的奥秘。它不仅仅是关于数字和符号，更是一种思维方式的训练，一种严谨逻辑的锤炼。我特别喜欢它在讲解某个概念时，总会穿插一些历史典故或者实际应用。比如，在谈到级数收敛时，它并没有直接给出判定法则，而是先回顾了历史上一位数学家为了解决某个实际问题，是如何一步步摸索出收敛性的概念，以及在这个过程中遇到的种种困难和突破。这种叙述方式让我觉得，数学并非凭空产生，而是与人类的智慧和对世界的探索紧密相连。读这本书，让我重新审视了数学在我生活中的位置，它不再是考试的工具，而是理解宇宙运行规律的一把钥匙。我时常会在通勤的路上，或者安静的午后，随手翻开它，然后在某个似懂非懂的章节前驻足，一遍遍地思考，直到豁然开朗。它教会我如何分解复杂的问题，如何用清晰的逻辑去构建论证，如何在抽象的概念中找到具象的表达。这种能力的提升，不仅体现在我解决数学题上，也渗透到了我生活的方方面面，让我面对挑战时更加从容不迫，更加注重细节和过程。
评分在阅读《数学分析》的过程中，我时常被书中严谨的逻辑推理和精巧的证明所折服。它不仅仅是在告诉你“是什么”，更是在告诉你“为什么是这样”。每一个定理的出现，都伴随着详尽而清晰的证明过程，它带领我一步步跟随数学家的思想脉络，去理解结论是如何得出的。我喜欢它在证明某个定理时，会先探讨问题的背景和难点，然后再引入关键的引理或技巧。这种循序渐进的方式，让我能够更好地消化和吸收。而且，它还会指出一些常见的误区和陷阱，提醒读者在思考过程中要注意的地方，这对于我这样一个非数学专业出身的读者来说，尤为宝贵。书中不仅涵盖了经典的数学分析内容，还巧妙地融入了一些进阶的数学思想，比如在讲解测度论时，它并没有直接深入到复杂的定义，而是先从直观的角度解释了“长度”、“面积”、“体积”等概念的推广，以及引入测度的必要性。这种处理方式，既保留了数学的严谨性，又降低了入门的门槛。我常常会花上很多时间去仔细研读一个证明，试图去理解其中每一个推理步骤的巧妙之处，以及作者为了让证明更加简洁有效所做的努力。这种专注的过程，本身就是一种极大的乐趣。
评分这本书的实用性也让我感到惊喜。尽管它是一本基础的数学分析教材，但其中所蕴含的思想和方法，在许多实际领域都有着广泛的应用。比如，在讲解微分方程时，它会提及一些实际问题，如人口增长模型、电路分析等，并说明数学分析是如何帮助我们理解和解决这些问题的。在学习积分时，它也会穿插一些应用，例如计算曲线长度、面积、体积，或者计算物理量如功、质量分布等。这种将抽象理论与具体应用相结合的方式，极大地增强了我的学习兴趣。它让我看到了数学的生命力，以及它在科学技术发展中的重要作用。阅读这本书，让我觉得我所学的不仅仅是理论知识，更是能够解决实际问题的工具。我开始更加关注日常生活中的一些现象，并尝试用数学分析的知识去解释和理解它们。
评分这本书的语言风格让我觉得耳目一新。很多数学书籍往往喜欢用晦涩难懂的术语，试图通过“专业”来彰显深度，但《数学分析》却像一位和蔼可亲的老师，用一种更加平易近人的方式来阐述深奥的原理。它善于运用类比和直观的图示，让那些原本抽象的概念变得生动起来。比如，在解释极限的概念时，它没有直接给出ε-δ的定义，而是先用了一个生动的例子：假设你在玩一个猜数字的游戏，每次猜错都会告诉你“更接近”了。随着你不断尝试，你的猜测会越来越接近真实的数字，就像函数值会越来越接近极限值一样。这种类比让我一下子就抓住了极限的本质。而且，书中大量的插图并非可有可无的点缀，而是真正起到了辅助理解的作用。那些曲线、曲面、向量场的图示，如同画卷一般，将数学的美感展现得淋漓尽致。我印象特别深刻的是，在讲解多变量函数时，书中配有大量精美的三维图形，让我能够清晰地看到函数的形态，以及在不同方向上的变化趋势。这比仅仅看着一堆公式要直观得多。这本书的排版也十分考究，字体大小、行距、章节划分都恰到好处，阅读起来非常舒适，不会产生视觉疲劳。它让我觉得，学习数学也可以是一种享受，一种美的体验，而不仅仅是枯燥的知识灌输。
评分这本书的语言风格既严谨又不失趣味性。作者在讲解数学概念时，并没有使用过于生硬和刻板的语言，而是穿插了一些生动形象的类比和比喻，让原本枯燥的数学知识变得鲜活起来。比如，在讲解函数的连续性时，它会用“画图不抬笔”来形象地描述，让初学者能够快速抓住核心概念。同时，作者也并没有因此而牺牲数学的严谨性，它在给出精确定义和定理证明时，依然保持着高度的准确性和逻辑性。这种平衡做得非常好，既保证了知识的科学性，又增加了阅读的趣味性。我喜欢这种既能学到真本领，又能享受学习过程的阅读体验。它让我觉得，学习数学并不是一件苦差事，而是一场充满探索和乐趣的旅程。
评分《数学分析》这本书给我的另一个深刻印象是它所蕴含的数学之美。它让我看到了数学的严谨、和谐与统一。那些精巧的定理，优雅的证明，无不展现出一种超越功利的艺术魅力。我时常会被一些数学证明的简洁性和对称性所打动，仿佛看到了一个精密的艺术品。比如，在讲解柯西积分定理时，书中会用一系列图示和语言，生动地描绘出函数在复平面上沿着闭合曲线积分的结果，以及为什么会等于零。这种直观的解释，让我感受到数学的逻辑之美和视觉之美。它让我明白，数学不仅仅是冷冰冰的逻辑符号，更是一种对事物本质的深刻洞察和艺术化的表达。它不仅仅是教会了我如何计算，更让我学会了如何欣赏数学的美，如何从数学的语言中感受到智慧的光芒。在完成一个比较困难的证明后，那种豁然开朗的感觉，就像是解开了一个复杂的谜题，充满了成就感和愉悦感。
评分《数学分析》这本书不仅传授了知识，更重要的是它塑造了我对数学的认知。它让我明白，数学不仅仅是计算和公式，更是一种严谨的逻辑思维，一种对事物本质的探究，一种对美的追求。通过这本书，我学会了如何用精确的语言表达自己的思想，如何用严密的逻辑构建论证，如何从看似混乱的现象中发现规律。它让我意识到，数学分析不仅仅是一门学科，更是一种生活态度和思维方式。它教会我如何面对复杂的问题，如何分解它们，如何一步步找到解决的办法。这种能力，对我未来的学习和工作都有着深远的影响。我不再害怕那些看起来难以理解的数学问题，而是充满了信心去迎接挑战。这本书，就像是我学习数学道路上的一盏明灯，照亮了我前行的方向。
评分这本书给我的最大收获之一，在于它培养了我一种批判性思维和独立思考的能力。在阅读的过程中，我不仅仅是被动地接受信息，而是会主动地去质疑、去验证。当我看到一个证明时，我不会轻易地全盘接受，而是会尝试自己去重构这个证明，或者思考是否存在其他更简洁的证法。书中也提供了大量的练习题，这些题目设计得非常巧妙，有的侧重于概念的理解，有的侧重于技巧的应用，还有的则需要结合多种思想来解决。完成这些练习题的过程，就像是一场头脑风暴，让我不断地挑战自己的思维极限。我喜欢那些需要我主动去探索、去发现答案的题目，它们让我感受到学习的主动性和成就感。而且，书中还会提供一些思考题，引导我从不同的角度去审视问题，或者去预见未来可能遇到的困难。这些思考题，往往比直接的练习题更能触及问题的本质。它让我明白，学习数学不仅仅是记忆公式和方法，更重要的是掌握一套解决问题的思维模式。
评分《数学分析》这本书给我的整体感觉是，它在力求全面性的同时，也注重内容的深度和广度。它涵盖了从基础的数列、函数，到微分、积分，再到级数、多元函数等一系列核心内容，几乎囊括了数学分析的各个重要分支。但它并没有因此显得臃肿，反而通过精炼的语言和巧妙的组织，将这些内容有机地串联起来。我特别欣赏它在章节之间的过渡处理。往往在一个章节的结尾，会为下一个章节的内容埋下伏笔，或者指出当前方法的局限性，从而引出新的理论。这种联系性让我觉得，数学知识是一个整体，而不是孤立的碎片。而且，书中还会提及一些相关的数学分支，比如在介绍傅里叶级数时，会稍微提及复分析和偏微分方程的应用，这让我看到了数学分析在更广阔领域中的重要性。它就像一个巨大的知识网络，而数学分析是其中的一个核心节点，与之相连的是无数其他精彩的领域。阅读这本书，我不仅仅是在学习数学分析本身，更是在潜移默化地拓展我对数学世界的认知边界。
评分内容覆盖面很广，勒贝格积分的引入方法比较特别
评分刚开始觉得难，对最开始的点集拓扑包括之前的部分的生疏，在以前的高数的学习中缺少了这部分的基础。
评分可以。
评分漫长的阅读过程……
评分漫长的阅读过程……
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