常微分方程教程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:丁同仁

出品人:

页数:384 页

译者:

出版时间:1991-4

价格:15.8

装帧:平装

isbn号码:9787040031621

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《常微分方程教程》图书简介 这是一本为数学、物理、工程、经济学及相关领域专业人士和高年级本科生量身打造的常微分方程入门与进阶读物。本书旨在系统地介绍常微分方程的基本理论、解法和应用，帮助读者建立起扎实的数学基础，并能熟练运用所学知识解决实际问题。 全书内容结构清晰，逻辑严谨，从最基础的概念入手，层层递进，逐步深入到更复杂的理论和方法。在确保理论严谨性的同时，本书也极其注重理论与实际的结合，通过大量的例题和习题，帮助读者理解抽象的数学概念，并掌握解决实际问题的技巧。 第一部分：基本概念与初步解法 本书的开篇将带您走进常微分方程的世界。我们会首先明确“微分方程”和“常微分方程”的定义，区分它们的类型，例如一阶、二阶乃至高阶方程，以及线性与非线性方程。您将了解到什么是方程的“阶”，什么是“解”，以及“通解”与“特解”的区别。通过对这些基本概念的深入理解，为后续的学习奠定坚实的基础。 随后，我们将聚焦于一阶常微分方程的求解。这部分内容涵盖了多种重要的解法，并会对每种方法的适用条件和求解思路进行详细阐释。 变量可分离方程： 这是最简单也是最基础的一类方程。我们将通过直观的例子，演示如何通过简单的代数变形，将方程的两变量分离，然后分别对两边进行积分，从而获得方程的通解。 齐次方程： 对于形如 $y' = f(y/x)$ 的方程，我们将介绍“换元法”的强大之处。通过引入新的变量 $v = y/x$，将原方程转化为一个变量可分离的方程，从而大大简化求解过程。 线性方程： 这是在实际应用中最为常见和重要的一类方程。我们将详细介绍一阶线性方程的求解方法，包括“积分因子法”。读者将学习如何构造积分因子，将非齐次线性方程转化为一个容易积分的形式，从而求解其通解。此外，我们还将探讨伯努利方程，并展示如何通过适当的变量替换将其转化为线性方程进行求解。 恰当方程（或称全微分方程）： 对于形如 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ 的方程，如果满足 $frac{partial M}{partial y} = frac{partial N}{partial x}$ 的条件，那么它就是一个恰当方程。本书将详细讲解如何判断一个方程是否为恰当方程，以及如何找到一个势函数，从而直接得到方程的解。如果方程不满足恰当条件，我们还会介绍如何寻找积分因子，将非恰当方程转化为恰当方程，再进行求解。 在介绍完这些基本解法后，我们将引入存在唯一性定理。这个定理对于理解微分方程解的性质至关重要，它告诉我们在什么条件下，一个微分方程存在唯一的解。我们将用严谨的数学语言和直观的图形解释来阐述这个定理，并给出一些实际例子，说明其在工程和科学中的重要性。 第二部分：高阶线性常微分方程 本部分将把我们的目光转向高阶线性常微分方程。与一阶方程相比，高阶方程在描述复杂的物理现象时更为强大。我们首先会讨论二阶线性方程，并将其推广到任意阶。 常系数线性齐次方程： 这是高阶线性方程中最容易处理的一类。我们将系统地介绍其求解方法，核心在于求解特征方程。根据特征方程的根（实根、重根、复根）的不同，我们将推导出相应的通解形式。读者将深入理解特征方程的根与解的对应关系。 常系数线性非齐次方程： 求解这类方程的关键在于找到特解。我们将介绍两种主要的求解方法： 待定系数法： 当非齐次项具有特定形式（如多项式、指数函数、三角函数）时，待定系数法是一种高效的求解方法。我们将详细讲解如何根据非齐次项的形式，构造出特解的待定形式，然后通过代入原方程，求解出待定系数。 常数变易法（拉格朗日法）： 这种方法具有更广泛的适用性，适用于任意形式的非齐次项。我们将学习如何将齐次方程的通解中的常数替换为关于自变量的函数，然后通过求解一个由原方程导出的辅助方程，来确定这些函数的具体形式，从而得到非齐次方程的特解。 高阶线性方程的性质： 除了求解方法，我们还将探讨高阶线性方程的叠加原理、解空间的结构等重要性质。 第三部分：级数解法与特殊函数 当微分方程的系数不是常数时，传统的代数方法可能失效。此时，级数解法就显得尤为重要。 幂级数解法： 我们将介绍如何利用幂级数来求解形如 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ 的线性微分方程，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 可以展开成泰勒级数。我们将详细讲解如何代入幂级数，推导递推关系，从而求解出级数解。 方程的奇点： 我们将区分方程的常点和奇点（包括正则奇点和不规则奇点）。对于常点，幂级数解法是有效的。对于正则奇点，我们将引入福罗贝尼乌斯方法，它是一种推广的级数解法，可以用来求解包含正则奇点的方程。 特殊函数： 通过级数解法，我们将自然而然地接触到一些在数学和物理学中非常重要的特殊函数，例如勒让德方程及其勒让德多项式，贝塞尔方程及其贝塞尔函数。我们将介绍这些特殊函数的定义、性质以及它们在不同领域的应用，如量子力学、热传导、振动理论等。 第四部分：Laplace 变换及其应用 Laplace 变换是一种强大的积分变换，尤其适用于求解具有初始条件的线性常微分方程，以及分析脉冲响应和系统稳定性。 Laplace 变换的定义与性质： 我们将详细介绍 Laplace 变换的定义，并推导其重要的性质，如线性性质、时移性质、频率移性质、积分性质、微分性质等。掌握这些性质是熟练运用 Laplace 变换的关键。 Laplace 逆变换： 求解微分方程时，我们最终需要将 Laplace 变换后的结果通过逆变换还原回时域。我们将介绍求逆变换的常用方法，包括部分分式分解法和卷积定理。 利用 Laplace 变换求解微分方程： 我们将展示如何将具有初始条件的线性常微分方程转化为一个代数方程，求解该代数方程后，再进行逆变换，从而获得方程的特解。这种方法避免了繁琐的积分和代数运算，尤其适合求解初值问题。 应用领域： 我们还将初步探讨 Laplace 变换在电路分析、自动控制系统、信号处理等工程领域中的实际应用。 第五部分：解的存在性、唯一性与稳定性 在深入了解了各种解法之后，本部分将回归微分方程的理论本质，探讨解的存在性、唯一性以及稳定性。 Picard 迭代法： 我们将通过 Picard 迭代法，从另一种角度证明解的存在性和唯一性。这种方法提供了一种构造解的算法，并且在理论分析中具有重要意义。 解的连续依赖性： 我们将研究当方程的系数或初始条件发生微小变化时，方程的解会如何变化。这对于理解模型对参数变化的敏感性至关重要。 稳定性理论： 对于描述动态系统的微分方程，稳定性是衡量系统在受到扰动后能否恢复到平衡状态的关键指标。我们将介绍平衡点的概念，以及根据线性化方法判断平衡点的稳定性（如稳定、不稳定、渐近稳定）。这将为理解控制理论、动力学系统等领域奠定理论基础。 第六部分：微分方程组与数值解法 微分方程组： 许多实际问题需要用微分方程组来描述。本部分将介绍如何将高阶方程转化为一阶方程组，以及如何求解线性微分方程组，包括利用特征值和特征向量的方法。 数值解法： 在许多情况下，微分方程无法得到解析解，此时就需要借助数值方法来逼近解。我们将介绍一些最常用和基本的数值解法，如： 欧拉法： 这是最简单的一种数值解法，通过步进的方式逼近解。 改进欧拉法（中点法）： 在欧拉法的基础上进行改进，提高了精度。 龙格-库塔法（RK4）： RK4 是目前应用最广泛的四阶龙格-库塔法，它能在精度和计算量之间取得很好的平衡。 我们将讨论这些数值方法的原理、步骤，以及它们的收敛性和精度。 贯穿全书的特点： 丰富的例题： 每介绍一种新的概念或方法，都会伴随精心设计的例题，从简单到复杂，帮助读者逐步掌握。 大量的习题： 每章末尾都附有不同难度的习题，鼓励读者动手实践，巩固所学知识。 清晰的数学推导： 理论推导严谨，但尽量避免过于抽象的表达，注重直观的解释。 应用导向： 在讲解理论的同时，也强调了其在物理、工程、经济等学科中的应用，让读者体会到数学的实用价值。 本书适合作为大学数学专业、应用数学专业、物理学专业、工程类专业（如机械工程、电气工程、航空航天工程）、经济学和金融学等专业的高年级本科生和研究生的教材或参考书。同时，对于从事相关领域研究和开发的专业人士，本书也将是一本不可或缺的参考工具。 阅读本书，您将不仅掌握求解常微分方程的各种方法，更能培养严谨的数学思维，提升解决实际问题的能力，为进一步深入学习更高级的数学理论和应用打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

少了“算子法和拉氏变换法”原6.4章。其实这两个方法还是满实用的，删掉可惜了。。 -------------------------------------------- 另外，偏微分方程理论少了点，有点没讲透的感觉，希望多讲点。 -------------------------------------------- 然后就是数值方法好像没讲什么...

评分☆☆☆☆☆

少了“算子法和拉氏变换法”原6.4章。其实这两个方法还是满实用的，删掉可惜了。。 -------------------------------------------- 另外，偏微分方程理论少了点，有点没讲透的感觉，希望多讲点。 -------------------------------------------- 然后就是数值方法好像没讲什么...

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第二版 甚至第三版有些迎合一些基础不怎么好的学生 也许是作者想把教材的用处扩大化 使所有学数学的都可以用吧 其实要想学好常微分还是建议 去看一些国外的 尤其是俄罗斯的教材 这本教程把定解理论讲解的非常透彻 可以高出国内同等层次教材很多 我自学的时候开始买了第二版的...  

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少了“算子法和拉氏变换法”原6.4章。其实这两个方法还是满实用的，删掉可惜了。。 -------------------------------------------- 另外，偏微分方程理论少了点，有点没讲透的感觉，希望多讲点。 -------------------------------------------- 然后就是数值方法好像没讲什么...

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，封面那种深沉的墨绿色调，配上烫金的标题字体，一股浓厚的学术气息扑面而来。我拿到手的时候，特意仔细摩挲了一下纸张的质感，厚实而富有韧性，翻页的时候能听到那种老式教科书特有的“沙沙”声，让人感觉这不是一本快餐式的读物，而是经过精心打磨的知识载体。内页的排版也极其考究，字里行间留白恰到好处，大段的公式推导看起来井井有条，完全没有那种拥挤压迫的感觉。特别是那些复杂的积分和微分符号，印刷得清晰锐利，即便是初学者也不会因为看不清符号而感到困惑。这本书的印刷质量，坦白说，达到了我收藏的那些经典教材的水准，足见出版方对内容的尊重和对读者的负责。光是拿到书的那一刻，那种仪式感就足以让人对接下来的学习充满期待，仿佛预示着一段严谨而充实的数学旅程即将开启。这本书的实体感，对于需要长时间与书本为伴的理工科学生来说，是极其重要的加分项。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设置，可以说是教科书级别的典范。它显然经过了深思熟虑的编排，并非只是简单地复制粘贴现有题库。习题的梯度设计非常科学合理，从最基础的检验性练习，到需要综合运用多条定理的中等难度题，再到那些能够激发思考、需要融合多学科知识的挑战性大题，层层递进，环环相扣。我尤其欣赏那些“探讨性”的习题，它们通常不要求得到一个具体的数值解，而是要求对解的性质、稳定性或渐进行为进行分析。做这些题目的时候，不再是机械地套用公式，而是真正开始动脑筋去“思考”数学的内在逻辑。完成这些习题后，我感觉自己对所学知识的掌握度达到了一个非常扎实的水平，而不是停留在“会做”的表面，而是达到了“理解透彻”的深度。

评分☆☆☆☆☆

这本书在理论深度上的把握也做得非常到位，它兼顾了工程应用的需求和纯数学研究的严谨性。对于像拉普拉斯变换在求解非齐次方程中的应用、或者对傅里叶级数展开的详细论述，作者的处理方式既没有像某些应用型教材那样草草带过，也没有像纯数学专著那样过度繁琐地进行拓扑学基础的铺垫。它找到了一种非常微妙的平衡点，既保证了推导过程的逻辑自洽性，又确保了中间步骤对于目标读者群体的可读性。对于我这种需要将理论应用于数值模拟的人来说，书中关于数值解法的介绍，虽然篇幅不长，但其对误差分析的阐述，却异常精辟，直接指出了几种主流算法的优缺点和适用范围，非常实用，避免了我在实际编程中走弯路。

评分☆☆☆☆☆

我必须提及这本书的语言风格——它有一种不怒自威的沉稳感。作者的措辞极其精确，没有使用任何浮夸或故作高深的词汇，一切都以清晰、无歧义为最高准则。每一次定理的陈述，都如同军令般简洁有力；每一次证明的展开，都如同建筑师在绘制蓝图般严谨细致，每一步都必须有清晰的逻辑支撑，绝不含糊其辞。这种近乎“冷峻”的写作风格，反而让我更能专注于数学本身，而不是被作者的个人表达方式所干扰。阅读这本书的过程，就像是在进行一次严格的思维训练，它教会的不仅是解微分方程的方法，更是一种对待科学问题的严谨态度和逻辑梳理的能力，这种潜移默化的影响，远比记住几个公式来得宝贵。

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我特别欣赏作者在引入新概念时的那种循序渐进的处理方式，它不是简单地抛出一个定义然后就开始证明，而是会先从一些直观的、生活中的现象入手，构建起一个初步的感性认识，然后再逐步过渡到严谨的数学表述上。这种“先知其意，后明其理”的教学思路，极大地降低了初学者面对抽象理论时的心理门槛。举个例子，讲到稳定性和相平面分析那一部分时，作者没有直接给出李雅普诺夫函数，而是先通过一个非常贴近机械振动的例子，形象地描绘了系统“趋于稳定”的过程，让人一下就明白了“收敛性”在物理世界中的实际意义。这种叙事性的讲解，让原本枯燥的数学推导变得像是在听一位经验丰富的老教授娓娓道来，充满了智慧的光芒。读完这一部分，我感觉自己对微分方程的应用场景有了更深层次的理解，而不仅仅是掌握了一堆解题技巧。

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