数学分析中的典型例题和解题方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:湖南科学技术出版社

作者:孙本旺

出品人:

页数:394

译者:

出版时间:1981

价格:1.30

装帧:19cm

isbn号码:9781124090016

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《高等几何视角：从欧氏空间到射影空间》 本书旨在带领读者进入一个更广阔、更具结构性的几何世界，从我们熟悉的欧氏几何出发，逐步深入到更抽象但同样富于洞察力的射影几何。我们相信，理解几何学的本质不仅仅在于掌握定理和公式，更在于培养一种空间思维能力，以及认识不同几何学之间深刻的内在联系。本书将不涉及任何与“数学分析”学科相关的内容，例如微积分、极限、连续性、级数、积分变换等概念，而是将全部篇幅集中于几何学的构造、性质、定理及其在不同框架下的表述。 第一部分：欧氏几何的精髓与拓展 我们将从欧氏几何的基础开始，但不会仅仅停留在中学所学的课本内容。我们会以一种更加严谨和结构化的方式重温欧氏空间的定义，探讨其公理体系，并深入分析其内在的一致性和完备性。 向量空间与度量: 欧氏空间的核心是其向量空间结构和度量（长度和角度）。我们将详细介绍向量的加法、数乘，以及内积的概念，并阐释内积如何自然地定义了欧氏空间的距离和角度。我们将探索不同坐标系下的向量表示，以及坐标变换对向量及其关系的olar变化。 仿射变换与等距变换: 在欧氏空间中，我们不仅关心点的位置，更关心它们之间的相对位置和距离。本书将详细介绍仿射变换（例如平移、旋转、伸缩、剪切）以及等距变换（如平移、旋转、镜像），分析这些变换如何保持欧氏空间的结构。我们将探讨等距变换的群论性质，以及其在分类欧氏空间中的几何图形中的作用。 二次型与平面曲线/曲面: 欧氏空间中的二次型是描述平面曲线（如椭圆、抛物线、双曲线）和空间曲面（如球面、椭球面、抛物面）的重要工具。我们将详细讲解二次型的标准形，以及如何通过坐标变换将其化为标准形，从而轻松识别和分类这些几何对象。我们将分析二次型的判别式，以及它如何决定了曲线或曲面的类型。 度量几何的进阶: 除了基本的距离和角度，我们还将触及欧氏几何中的一些高级概念，例如曲率、测地线等，并从向量和坐标的角度进行解析。我们将探讨度量几何在物理学和工程学中的一些基本应用，例如在描述力的作用和运动轨迹方面。 第二部分：从欧氏空间到仿射空间 本书的第二部分将逐步引导读者脱离对“长度”和“角度”的绝对依赖，进入更为广阔的仿射空间。仿射空间保留了平行线、线段中点、三点共线等概念，但不再强制规定度量。 仿射空间的定义: 我们将从向量空间出发，定义仿射空间，并阐释其与向量空间之间的关系。理解仿射空间的关键在于认识到它是一个“无原点的向量空间”。我们将探讨仿射组合、仿射子空间（点、直线、平面等）的概念，以及它们之间的包含关系和交集性质。 仿射变换的性质: 在仿射空间中，我们关注的是保持“直线性”和“比例性”的变换，即仿射变换。我们将深入研究仿射变换的性质，例如它如何保持平行性，如何保持向量的比例关系，以及它如何作用于仿射子空间。我们将探索仿射变换的矩阵表示，并研究其在不同基下的表示方式。 齐次坐标与射影空间的初步接触: 为了更方便地描述仿射变换，我们将引入齐次坐标的概念。齐次坐标在不引入“无穷远点”的情况下，能够统一表示有限点和无穷远点，为我们进入射影几何奠定基础。本书将在这里初步介绍齐次坐标的优越性，并为后续更深入的射影几何讨论铺平道路。 第三部分：射影几何的魅力 射影几何是本书的核心内容，它提供了一种全新的视角来理解几何图形，其核心在于“投影”这一基本操作。在射影几何中，我们不再关心长度、角度，甚至平行性，而更关注图形的“连通性”和“交比”等不变性质。 射影空间的定义与结构: 我们将严格定义射影空间，并阐释其与仿射空间的关系。理解射影空间的关键在于引入“无穷远超平面”的概念，以及如何将仿射空间嵌入射影空间。我们将探讨射影空间的基、维度，以及点和直线在射影空间中的表示。 射影变换: 射影变换是射影空间中的基本变换。我们将详细分析射影变换的定义，其矩阵表示，以及它如何作用于射影空间中的点、直线和更高维度的子空间。我们将特别关注射影变换如何保持“交比”这一射影不变量。 对偶原理: 射影几何的一个深刻特性是其“对偶性”。我们将详细阐述对偶原理，并展示如何通过对偶原理将关于点的定理转化为关于直线的定理，反之亦然。我们将举例说明对偶原理在解决几何问题中的强大威力。 交比与调和比: 交比是射影几何中的一个核心概念，它描述了四个共点直线（或四点共线）的相对位置关系。我们将详细计算交比，并证明它在射影变换下的不变性。调和比是交比的一个特例，在很多几何构造中具有重要意义。 平面射影几何的重要定理: 本书将集中介绍平面射影几何中的经典定理，例如： 帕斯卡定理（六点圆周定理）: 探讨一个圆内接六边形的对边延长线共点的性质。 梅内劳斯定理与塞瓦定理的射影视角: 从射影几何的角度重新审视这两个三角形中的重要定理，理解它们更普适的意义。 德沙格定理: 这是一个在射影几何中扮演基石角色的定理，探讨两个完全四点形（或完全四线形）的对应顶点（或对应直线）的交点（或交线）是否共点（或共线）。我们将详细证明此定理，并探讨其在射影几何中的基础性地位。 三次曲线（Cubic Curves）的射影性质: 简单介绍三次曲线的射影分类以及射影变换对其的影响，不涉及复杂的代数计算。 空间射影几何初步: 在对平面射影几何有了深入理解后，我们将简要介绍空间射影几何的基本概念，例如空间中的直线、平面，以及空间射影变换。我们将提及一些空间中的射影性质，例如关于二次曲面的射影分类。 学习目标与适用读者: 通过本书的学习，读者将能够： 深刻理解欧氏几何的严谨基础和内在结构。 掌握仿射空间的表示方法和仿射变换的性质。 领略射影几何的简洁与普适性，理解其核心概念如交比和对偶原理。 能够利用射影几何的工具来解决一系列传统的几何问题，并发现更深层次的联系。 培养严谨的数学思维和抽象逻辑能力，为进一步学习更高级的数学内容打下坚实基础。 本书特别适合对几何学有浓厚兴趣的本科生、研究生，以及任何希望拓宽数学视野、深入理解空间结构和几何变换本质的读者。我们假定读者具备一定的基础数学知识，但不需要预备高等数学（如微积分）的知识。本书中的所有概念和推导都将详细展开，力求清晰易懂，但又保持数学的严谨性。我们相信，通过对这些经典几何理论的深入探讨，读者将能够体验到数学的优雅与力量。

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作为一本工具书性质的参考材料，这本书的索引和交叉引用系统做得极为出色，这对于需要快速定位特定知识点或解题技巧的读者来说，是莫大的福音。我曾经为了查找某个关于一致连续性的特定例子，在其他资料中耗费了大量时间，但在本书中，通过精准的关键词索引，我几乎是瞬间找到了相关的章节和页码。此外，书末附带的“常见错误分析”部分，更是体现了作者的良苦用心。这部分内容总结了学生在学习过程中最容易陷入的思维误区和常见的计算陷阱，并提供了详尽的纠正方案。这相当于作者站在无数学生的肩膀上，提前预判了我们的“难点”，并提前备好了“解药”。这种前瞻性的设计，让这本书的实用价值远超了一般的教材范畴，它更像是一个贴身的、全天候待命的私人数学辅导老师。

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这本书的章节划分逻辑堪称教科书级别的典范，它似乎完全洞悉了学习者在攀登数学分析这座高峰时会遇到的思维障碍点。首先，它非常注重基础概念的“不动声色”的夯实，不会急于抛出复杂的定理，而是通过一系列精心设计的、由浅入深的例题，引导读者主动去理解和内化那些看似抽象的定义和公理。我注意到在讲解极限这一核心概念时，作者使用了多重视角进行阐述，几何直观、代数推导以及拓扑思想的初步渗透交织在一起，使得初学者也能抓住其精髓。这种“循序渐进，步步为营”的教学策略，极大地降低了初次接触高阶数学的心理门槛。它不是简单地罗列知识点，而是像一位经验丰富的老教授在循循善诱，每一步都走得踏实而有力，让人感到每一步的提升都是真实且可验证的。

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如果说有些教材的例题只是知识点的简单重复，那么这本书的例题设计简直是解题艺术的展现。每一道题目都像是经过千锤百炼的精品，它们绝少出现为了凑数而设置的“水题”，而是紧密围绕某一关键技巧或某一核心定理的应用场景展开。更绝妙的是，作者在呈现解题步骤时，那种严谨性和完备性令人赞叹。不仅仅给出最终答案，更重要的是剖析了得出该答案背后的思考路径——“为什么选择这种方法？”“这种方法的适用范围是什么？”“是否存在更简洁的替代方案？”这些隐藏在字里行间的“元认知”提示，对于培养读者的数学思维至关重要。我发现，仅仅是跟随作者的思路解析几道复杂的积分计算题，我对微积分的理解就上了一个台阶，不再是生硬地套用公式，而是开始体会到数学推导的内在美感和力量。

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这本书的语言风格非常独特，它既保持了数学著作应有的精确性和客观性，又在不经意间流露出一种深厚的学术底蕴和一种近乎诗意的表达。作者似乎有一种能力，能用最简洁的语言描述最复杂的结构，使得那些原本令人望而生畏的抽象概念，在文本中变得清晰可辨，如同穿透了迷雾看到了远方的灯塔。尤其是在讨论一些高阶结论的证明时，作者往往会先用一段精炼的文字概述证明的核心思想，就像是提供了一个高空视角，让读者先建立全局观，然后再深入到细节的逻辑推演中。这种叙述方式极大地提升了阅读的效率和乐趣，它避免了传统教本那种干巴巴、冷冰冰的陈述，使得每一次翻阅都像是一次与一位智者的深度交流，充满了启发性。

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这本书的排版和装帧设计着实让人眼前一亮，拿到手的时候，那种沉甸甸的质感就预示着内里的内容绝非泛泛之作。封面设计得简洁又不失学术气息，配色沉稳，很符合数学分析这门学科的调性。更值得称道的是，内页的纸张质量非常出色，文字和公式的印刷清晰锐利，即便是长时间阅读也不会让眼睛感到疲劳。装订的处理也十分牢固，可以平铺在桌面上，这对做习题时非常友好，不需要费力地去按住书页。作者在内容组织上的用心也体现在了目录编排上，脉络清晰，逻辑性极强，从基础概念的梳理到高级主题的深入探讨，过渡自然流畅。这样的实体书体验，在现在这个数字化阅读盛行的时代，显得尤为珍贵，它提供的不仅仅是知识，更是一种沉浸式的学习氛围。我个人认为，对于那些追求深度阅读和长期学习的读者来说，这样的实体书本身就是一种激励。

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