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出版者:中国建材工业出版社

作者:杨延龄

出品人:

页数:327

译者:

出版时间:2004-1

价格:32.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787801597335

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数学探索之旅：从基础到进阶的微积分精粹 在浩瀚的数学星空中，微积分无疑是最璀璨的星辰之一。它如同开启物理世界运行规律的钥匙，解锁了变化、运动以及无限的奥秘。从描述物体运动的瞬时速度，到分析复杂系统的变化趋势，微积分无处不在，深刻地影响着我们对世界的理解。本书并非一本简单的公式汇编，而是希望引领读者踏上一段深入探索微积分精髓的旅程，从其基础概念的建立，到应用层面的拓展，力求让读者不仅掌握计算技巧，更能深刻理解微积分背后的思想和逻辑。 第一部分：解析微分的基石——极限与连续 微积分的灵魂在于“变化”，而“变化”的度量则离不开“极限”这一核心概念。本部分将从直观的几何意义出发，结合丰富的实例，深入剖析极限的定义。我们将一起探索当变量趋近于特定值时，函数值所表现出的“无限接近”的规律。通过对数列极限和函数极限的细致讲解，读者将建立起对极限的清晰认知，为后续学习奠定坚实的基础。 极限的直观理解与严谨定义： 我们将从“逼近”的概念入手，例如，当一个物体运动的速度越来越快时，它的瞬时速度是如何定义的？从图像上观察函数在某一点附近的趋势，理解“无限接近”的含义。随后，我们将引入ε-δ语言，这是对极限进行严谨数学描述的基石，帮助读者理解极限的数学本质，并为解决更复杂的问题做好准备。 左右极限与无穷远极限： 并非所有函数在某一点都有极限，函数的“断点”问题也是理解函数行为的关键。我们将讲解左右极限的概念，区分函数在接近某点时从左侧和右侧趋近的不同路径，以及它们是否能最终汇聚到同一点。同时，我们也将探索函数在无穷远处的行为，即当自变量趋向于正无穷或负无穷时，函数值的发展趋势，这对于分析函数的渐近线和整体走向至关重要。 连续性：函数行为的“平滑度”： 连续性是函数在定义域内“没有中断”的性质。我们将从直观的“画图不断线”的理解出发，逐步深入到利用极限来定义函数的连续性。理解在一点连续的函数意味着什么，以及不连续点的类型（可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点）。连续性是微积分许多重要定理（如介值定理、极值定理）成立的前提，因此对其的深入理解至关重要。 第二部分：驾驭变化的艺术——微分的概念与计算 微分是微积分中最具革命性的概念之一，它赋予了我们度量和描述瞬时变化率的能力。从物理学中的速度、加速度，到经济学中的边际成本、边际收益，微分的应用渗透到各个领域。本部分将带领读者领略微分的强大之处。 导数的定义：瞬时变化率的度量： 我们将从平均变化率的概念出发，逐步过渡到极限的思想，推导出导数的定义。导数，即函数在某一点的瞬时变化率，它形象地描述了函数曲线在这一点上的“斜率”，也就是函数在该点“增长”或“衰减”的速度。我们将通过对速度、加速度等实际问题的分析，让读者深刻理解导数的物理意义。 基本初等函数的导数： 掌握基本初等函数（如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）的导数是进行复杂函数微分的基础。我们将系统地推导并记忆这些基本导数公式，并强调它们的重要性，如同学习加减乘除是进行四则运算的基础一样。 求导法则：组合与变换的威力： 实际问题中遇到的函数往往是复杂的组合。我们将详细讲解四种核心的求导法则：常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则。这些法则如同数学的“组合工具”，允许我们从基本函数的导数推导出任意可导函数的导数。 链式法则：嵌套函数的微分之道： 链式法则处理的是复合函数的微分。当一个函数嵌套在另一个函数内部时，如何计算其导数？我们将通过生动的例子，解释链式法则的“逐层微分”思想，让读者轻松掌握复合函数的微分技巧。 高阶导数与隐函数求导： 在某些情况下，我们需要计算导数的导数，即高阶导数，这对于分析函数的弯曲程度（拐点）等性质至关重要。此外，对于一些形式上难以显式表达的函数，我们将学习隐函数求导的方法，将其转化为可导的形式。 第三部分：累积的智慧——积分的概念与计算 如果说微分是“分解”变化，那么积分则是“累积”变化。积分将无穷小的量累积起来，从而计算出总体的量。从计算曲线下的面积，到求解变力所做的功，积分的应用同样广泛而深刻。本部分将揭示积分的奥秘。 定积分的几何意义：面积的计算： 我们将从计算不规则图形的面积问题入手，引入黎曼和的思想，即用无穷多个无穷小的矩形面积之和来逼近曲线下的面积。定积分，作为黎曼和的极限，赋予了我们计算曲线下面积的精确方法。 不定积分与原函数： 不定积分是求导的逆运算。如果知道一个函数的导数，如何找到原来的函数？这就是原函数的概念。不定积分则表示了一个函数的所有原函数集合，它包含了常数项的任意性。 牛顿-莱布尼茨公式：连接微分与积分的桥梁： 这是微积分中最核心、最强大的定理之一。牛顿-莱布尼茨公式（也被称为微积分基本定理）巧妙地揭示了定积分与不定积分之间的深刻联系，极大地简化了定积分的计算。我们将详细阐释这一定理的意义和应用。 基本积分公式与积分技巧： 类似于基本导数公式，我们也需要掌握基本的不定积分公式。在此基础上，我们将学习两种重要的积分技巧：第一换元积分法（凑微分法）和第二换元积分法。这两种方法能够帮助我们将难以直接积分的函数转化为可积的形式。 分部积分法：拆解复杂乘积的利器： 分部积分法是处理乘积形式被积函数的强大工具。它通过将一个复杂的积分转化为一个相对简单的积分，来解决棘手的积分问题。我们将详细讲解其推导过程和应用方法。 某些特殊函数积分： 对于一些常见的、具有特殊形式的被积函数，我们将介绍专门的积分方法，例如，对于有理函数的积分，我们通常会使用部分分式分解法，将复杂的有理函数分解成若干个简单的有理函数相加，从而简化积分。 第四部分：微积分的深化与应用 掌握了微积分的基本概念和计算方法后，我们还需要进一步探索其在不同领域的应用，以及更深入的数学思想。 多元函数微积分初步： 现实世界往往是多维度的，因此我们需要将微积分的思想推广到多元函数。本部分将介绍多元函数微分的基本概念，如偏导数，它描述了函数在某个方向上的变化率。我们将初步探讨梯度、方向导数等概念，为理解更复杂的多元函数行为奠定基础。 微分方程初步：描述动态系统的语言： 微分方程是描述变量之间变化关系的数学模型。从物理学中的运动定律，到生物学中的种群增长模型，再到经济学中的经济增长模型，微分方程无处不在。我们将介绍一些常见的一阶和二阶微分方程的解法，展示如何利用微积分来分析和预测动态系统的演化。 级数：无穷求和的奥秘： 级数是将无穷多个项相加的概念，它在数学和工程领域有着广泛的应用。我们将介绍等差数列、等比数列的求和，并初步接触幂级数，了解如何用幂级数来表示函数，这对于近似计算和理解函数的局部行为至关重要。 应用案例分析： 本部分将选取一些具有代表性的应用案例，将前述的微积分知识融会贯通。例如，利用导数分析函数的单调性、极值和凹凸性，找到函数的最大值和最小值；利用定积分计算体积、弧长、曲面面积；利用微分方程模拟物理现象或生物过程。通过这些实际案例，读者将更加深刻地体会到微积分在解决现实问题中的强大力量。 本书并非旨在提供一个庞大的例题库，而是希望通过精选的、具有代表性的例子，引导读者一步一步地理解每一个概念，熟练掌握每一种计算方法。我们强调的是学习过程中的思考和理解，而非机械的记忆。希望通过这段数学探索之旅，读者能够真正领略微积分的魅力，并将其作为开启更广阔数学和科学世界的大门。

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我本来想找一本能让我深入理解微积分几何意义的书，特别是关于泰勒展开和曲线曲率的部分。这本书在处理这些高级主题时，显得力不从心。它只是简单地给出了公式，然后套用几个例子，比如计算某个圆的曲率。但它完全没有解释为什么泰勒展开式的一阶导数代表了切线，二阶导数代表了曲率的变化趋势，这些背后的几何直觉是如何建立起来的。我需要的不是冷冰冰的公式推导，而是那种能让人茅塞顿开的“啊哈！”时刻。这本书更像是把别人已经推导好的东西搬运过来，缺乏原创性的讲解和深入的洞察力。举个例子，在讨论旋度和散度时，书中仅仅提到了斯托克斯定理和高斯散度定理的应用，但对于这些定理在流体力学或电磁学中的深层物理含义，几乎是只字未提，使得这些强大的工具显得空洞无物，只是为了计算而计算。

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我费了好大力气才把这本书啃完前面几个章节，本来对“700例题”抱有极大的期望，希望能通过大量的实战来巩固基础。然而，实际体验下来，这700个例题的质量简直是天差地别。有些题目设计得还算巧妙，能触及到概念的精髓，但数量实在太少，简直是凤毛麟角。更多的是那种为了凑数而存在的重复性练习，比如求导求了十几种不同的多项式函数，或者计算同一个区域面积的黎曼和，只是换了几个数字。这种低效的训练模式，对于我们这种时间宝贵的人来说，简直是浪费生命。我更期待的是那种具有挑战性、需要综合运用多个定理才能解决的综合性大题，能够模拟真实考试的压力和复杂度。这本书的编排似乎更偏向于应试教育的初级阶段，只注重机械运算的熟练度，而完全忽略了数学思维的培养。如果只是想找一本题海战术的书，市面上有很多更便宜、更专注的题库可以选择，这本书的定价和内容实在是不成正比。

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对于一本高等数学的参考书来说，清晰的排版和注释是至关重要的。这本书的字体和行距倒是中规中矩，但图示的质量简直让人无法接受。很多涉及三维空间曲面的图形，绘制得极其粗糙和模糊，很多关键的投影线或者交点根本看不清楚，这在理解向量场或者多重积分的区域划分时，造成了巨大的障碍。我不得不反复在脑海中构建那个空间结构，而不是直接从书本上获得直观感受。难道就没有能力使用更现代的绘图技术吗？一个微积分教材，如果连最基本的几何直观都无法提供，那它的价值就大打折扣了。此外，书中的一些符号约定也显得比较混乱，一会儿用 $dmathbf{r}$ 表示路径微分，一会儿又用 $ds$ 表示弧长，但在不同的章节中，作者似乎没有统一的规范，这在阅读跨章节内容时，极易引起混淆，需要不断回头去核对定义。这种内部的不一致性，极大地降低了阅读的流畅性。

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这本号称“微积分学习圣经”的书，拿到手里沉甸甸的，光是厚度就让人望而生畏。我本来以为里面会涵盖从极限到微分方程的每一个知识点，希望能找到那种像私人教师一样耐心讲解的范例。结果呢，里面充斥着大量的、略显陈旧的习题，很多步骤的跳跃性太大，对于初学者来说简直是灾难。比如在讲解级数收敛性判别的时候，很多关键的定理引用得含糊不清，读者需要自行去查阅别的教材来补全逻辑链条。我特别希望能看到一些现代的、与工程应用紧密结合的例子，比如用微积分来优化一个机器学习模型的损失函数，或者分析一个复杂的物理系统的动态过程。但这本书里的例题，大多停留在经典的几何或物理模型的层面，缺乏时代感和应用性，读起来像是在翻阅一本上世纪末的旧习题集，让人提不起精神去深入研究。更别提那些复杂的积分问题了，很多技巧性的解法并没有给出清晰的思路导引，只是机械地罗列了最终结果，这对想真正理解背后的数学思想的人来说，实在是不够友好。

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这本书的装帧设计也透露着一股浓浓的过时感。封面设计极其保守，配色单调，拿在手里感觉就像是一本需要严肃对待的参考手册，而不是激发学习热情的工具。更让人抓狂的是，书后的答案和解析部分，简直是敷衍了事。对于那些稍微复杂一些的题目，它只给出了最终的数值结果，完全没有过程。这对于自学者来说是致命的缺陷。我们买参考书，很大程度上就是为了对照解析来检查自己的思路是否正确，以及学习别人是如何组织解题步骤的。如果解析部分缺失或者过于简略，那么这些例题的价值就大打折扣了。我更倾向于那种提供详细、多角度解法的版本，哪怕只有一半的题目数量，只要解析详尽到位，也比这种“答案在风中飘”的设置要强得多。这本书的整体制作水平，给人一种出版商急于出书，而作者在内容打磨上明显不够用心、缺乏精细雕琢的感觉。

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