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出版者:科学出版社

作者:丁传松

出品人:

页数:168

译者:

出版时间:1989-8

价格:3.10

装帧:

isbn号码:9787030012753

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《解析几何的优雅之旅》 内容简介 本书将带领读者踏上一段探索几何学的迷人旅程，深入解析几何学的核心概念与精妙之处。我们不局限于传统的教科书模式，而是通过引人入胜的讲解、丰富的实例以及直观的图示，将抽象的数学语言转化为生动形象的几何图形，让读者在理解几何原理的同时，也能领略其内在的逻辑美与应用价值。 第一章：点、线、面——几何世界的基石 本章将从最基础的几何元素——点、线、面——入手，构建读者对几何世界的初步认知。我们将详细探讨点的位置、线的方向性、面的延伸性等基本属性。 点的概念与坐标表示： 首先，我们将深入理解“点”在几何学中的本质意义，它是一个没有大小、没有形状的抽象概念，但却是构建一切几何图形的出发点。我们将介绍直角坐标系，阐述点如何通过一组数字（坐标）在二维平面或三维空间中被精确地定位。例如，点 $(x, y)$ 在二维平面上代表了一个横坐标为 $x$ 、纵坐标为 $y$ 的位置。我们将分析不同象限点坐标的符号特征，以及点在坐标轴上的特殊位置。 直线的方程与性质： 接着，我们将聚焦于“线”，特别是直线。直线是无限延伸且没有弯曲的几何图形。我们将详细介绍直线的不同方程形式，包括斜截式 ($y = mx + b$)、点斜式 ($y - y_1 = m(x - x_1)$)、两点式 ($frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$) 以及一般式 ($Ax + By + C = 0$)。我们将深入分析斜率 $m$ 的几何意义，它代表了直线的倾斜程度和方向，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，零斜率表示水平直线，而斜率不存在则表示垂直直线。我们还将探讨两条直线之间的位置关系：平行、相交与重合，并通过它们的斜率和截距来判断。例如，两条斜率相等且截距也相等的直线是重合的；斜率相等但截距不同的直线是平行的；斜率互为负倒数的两条直线（当斜率存在时）是垂直相交的。 平面的方程与属性： 在三维空间中，我们进一步认识“面”，特别是平面。平面是无限延伸的二维曲面。我们将介绍平面的方程，包括点法式 ($A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$)，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是平面上一点，$(A, B, C)$ 是平面的法向量，它垂直于平面。我们还将探讨平面与坐标轴的交点、平面之间的位置关系（平行、相交），以及直线与平面的位置关系（平行、相交、直线在平面内）。 距离公式与中点公式： 在点、线、面这些基本概念的基础上，我们将引入重要的计算工具。我们将推导并应用二维和三维空间中的距离公式，用来计算两点之间的距离。在二维空间中，两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之间的距离 $d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。在三维空间中，两点 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$ 之间的距离 $d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$。同时，我们也将介绍中点公式，用来找出连接两点的线段的中点坐标。 第二章：曲线的优雅——圆锥曲线的奥秘 本章将聚焦于一种特殊而重要的曲线——圆锥曲线。我们将深入剖析圆、椭圆、双曲线和抛物线这四种基本类型的圆锥曲线，揭示它们由平面与圆锥相交形成的几何本质，并详细阐述它们的标准方程、几何性质以及它们在现实世界中的广泛应用。 圆：完美与对称的典范： 圆是所有点到固定中心点的距离都相等的点的集合。我们将介绍圆的标准方程 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆心坐标，$r$ 是半径。我们将分析圆的几何性质，如对称性、切线方程、以及圆与直线的位置关系。圆的对称性体现在任何穿过圆心的直线都是其对称轴。我们将学习如何通过圆的一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 来确定圆心和半径。 椭圆：和谐与约束的韵律： 椭圆是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。我们将详细推导椭圆的标准方程 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$ （当焦点在x轴上时）或 $frac{x^2}{b^2} + frac{y^2}{a^2} = 1$ （当焦点在y轴上时），其中 $a$ 是半长轴，$b$ 是半短轴。我们将深入理解椭圆的几何要素，如焦点、顶点、离心率（衡量椭圆扁平程度的参数），以及椭圆的对称性。离心率 $e = frac{c}{a}$，其中 $c$ 是焦距的一半， $c^2 = a^2 - b^2$。我们将探讨椭圆在天文学（行星轨道）、建筑学（拱桥）以及光学（反射性质）等领域的应用。 双曲线：无限与分离的边界： 双曲线是平面上到两个固定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹。我们将推导双曲线的标准方程 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ （当焦点在x轴上时）或 $frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$ （当焦点在y轴上时）。我们将分析双曲线的关键特征，如焦点、顶点、渐近线（当 $|x|$ 趋于无穷大时，双曲线的图像无限接近的直线）。渐近线方程为 $y = pm frac{b}{a}x$。我们将理解双曲线的离心率 $e = frac{c}{a}$，其中 $c$ 是焦距的一半， $c^2 = a^2 + b^2$。双曲线的形状特征在于其分支向外无限延伸。我们还将触及双曲线在导航系统（如声纳定位）、天体物理学（例如彗星轨道）等领域的应用。 抛物线：聚焦与无限的轨迹： 抛物线是平面上到一条固定直线（准线）和一点（焦点）距离相等的点的轨迹。我们将介绍抛物线的标准方程，如 $y^2 = 4px$（焦点在x轴正半轴，准线为 $x = -p$），$x^2 = 4py$（焦点在y轴正半轴，准线为 $y = -p$）以及它们平移后的形式。我们将解析抛物线的顶点、焦点、准线以及对称轴。抛物线最重要的性质在于其“聚焦”能力，即平行于对称轴的光线或声波经过抛物面反射后都会汇聚到焦点。这种性质使其在卫星天线、探照灯、汽车前灯等设备中得到广泛应用。 第三章：空间中的雕塑——曲面的探索 本章将视角从二维平面扩展到三维空间，开始探索更为复杂的几何对象——曲面。我们将介绍几种常见的具有重要意义的三维曲面，并分析它们的方程和几何特征。 球面：三维的圆： 球面是三维空间中所有点到固定点（球心）的距离都相等的点的集合。我们将给出球面的标准方程 $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$，其中 $(a, b, c)$ 是球心坐标，$r$ 是半径。我们将讨论球面的对称性，以及球面的截面（与平面的交线）是圆。 柱面：无限延伸的轮廓： 柱面是由一组平行线（母线）平行移动，使其沿着一条曲线（准线）移动而形成的曲面。我们将介绍常见的柱面方程，例如圆柱面 $x^2 + y^2 = r^2$（准线为圆，母线平行于z轴），以及椭圆柱面 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$（准线为椭圆，母线平行于z轴）。我们将理解柱面的性质在于它在某一方向上是“无限延伸”的。 锥面：汇聚与发散的奇点： 锥面是由一条固定直线（轴）和一条不与轴相交的曲线（准线）所形成的，其中过准线上每一点的直线都经过轴上某一点（顶点）。我们将介绍锥面的标准方程，例如圆锥面 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} - frac{z^2}{c^2} = 0$。锥面具有一个汇聚点（顶点），从顶点出发的直线延伸形成锥面。 二次曲面：多样性的集合： 除了上述常见的曲面，我们还将简要介绍更广泛的二次曲面，它们是由二次方程定义的曲面，例如椭球体（三维的椭圆）、双曲抛物面（马鞍形曲面）等。我们将了解二次曲面在数学建模、计算机图形学以及工程设计中的广泛应用。 第四章：变换的魔力——几何图形的伸缩、旋转与投影 本章将探索如何通过数学变换来改变几何图形的位置、方向和大小，从而理解图形之间的内在联系。 平移与伸缩： 我们将学习如何通过向量加法实现几何图形的平移，以及如何通过数乘实现图形的尺寸缩放。平移保持图形的形状和大小不变，而伸缩会改变图形的大小。 旋转： 我们将介绍二维和三维空间中的旋转变换，理解旋转矩阵的作用，以及如何通过旋转来改变图形的方向。旋转保持图形的形状和大小不变。 相似变换与仿射变换： 我们将整合伸缩和平移、旋转等变换，引入相似变换（保持角度不变，只改变大小）和更广泛的仿射变换（保持直线和平行性不变）。这些变换是理解图形相似性、比例关系以及在图形学中进行图形处理的重要基础。 投影： 我们将介绍投影的概念，特别是平行投影和中心投影。投影是将三维物体表示在二维平面上的过程。我们将理解不同投影方式对物体视觉呈现的影响，以及它们在制图、计算机图形学中的应用。 第五章：解析几何的应用——连接数学与现实 本章将展示解析几何的强大应用价值，将抽象的几何概念与现实世界中的具体问题联系起来。 物理学中的应用： 我们将探讨解析几何在描述运动轨迹（如抛射体运动）、力学分析（如杆件的受力分析）以及电磁场理论中的应用。例如，行星的轨道可以用椭圆方程来描述。 工程学中的应用： 我们将分析解析几何在建筑设计（拱形结构、空间框架）、机械制造（曲轴设计、零件加工）、航空航天（飞行器设计、轨道规划）等领域中的作用。 计算机图形学中的应用： 我们将深入了解解析几何在三维建模、动画制作、虚拟现实以及图像渲染中的核心地位。从简单的二维图形绘制到复杂的三维场景构建，解析几何都扮演着不可或缺的角色。 其他领域的应用： 我们还将触及解析几何在经济学（模型建立）、地理学（地图投影）等其他领域的应用，展现其跨学科的广泛影响力。 本书特色： 循序渐进的教学方法： 从最基础的概念出发，逐步深入到复杂的理论，确保读者能够轻松理解。 丰富的图解与实例： 大量精美的图示和贴近生活的实例，帮助读者直观地理解抽象的数学概念。 强调几何直觉： 引导读者培养几何直觉，不仅知其然，更知其所以然。 注重应用价值： 突出解析几何在各个领域的实际应用，激发读者的学习兴趣。 目标读者： 本书适合对数学感兴趣的高中生、大学生，以及从事相关领域工作的工程师、设计师和研究人员。无论您是初次接触解析几何，还是希望加深对相关知识的理解，本书都将是您理想的学习伴侣。 结语： 《解析几何的优雅之旅》将带您走进一个充满逻辑美、空间感和应用智慧的数学世界。希望本书能够点燃您对几何学的热情，并为您在未来的学习与实践中提供有力的支持。

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说实话，我是一个对纯理论数学望而生畏的读者，但这本书的封面设计却有一种莫名的吸引力，它没有那种令人生畏的刻板感，反而透着一股古典与现代交织的美感。我花了点时间在网上搜索了一下作者的背景和相关的学术声誉，发现其在学术界有着不错的口碑，这让我对书中的内容质量有了初步的信心。目前我还在消化前几章关于基础微积分的部分，作者的叙述方式非常注重逻辑的连贯性，仿佛在讲述一个层层递进的故事，而不是简单地罗列公式。特别是他对某些“反直觉”概念的解释，初看之下似乎有些绕口，但多读几遍后，那种豁然开朗的感觉非常美妙，这才是真正好的数学著作应该具备的特质——既要保持严谨，又要具备启发性。我希望接下来的章节能继续保持这种高水准的讲解，帮助我这个基础略显薄弱的读者真正领悟数学的精髓。

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这本书刚拿到手，厚度就给我留下了深刻的印象，感觉沉甸甸的，充满了知识的重量。虽然我还没来得及深入研读，但光是翻阅目录和初步浏览章节的标题，就能感受到作者在数学分析这个领域里钻研的深度。那些熟悉的符号和术语在眼前跳跃，勾起了我大学时代学习高等数学的回忆，那种既敬畏又兴奋的心情又回来了。我注意到书中对一些经典定理的阐述似乎比我以前接触到的教材更加细致和全面，这预示着它可能不仅仅是概念的堆砌，而是一次深入的、带有批判性思维的数学之旅。从排版上看，图表和公式的展示清晰有力，这对于理解抽象的数学概念至关重要，能看出出版方在细节上的用心。我期待着在接下来的阅读中，能被引领着去探索那些更深层次的数学世界，看看作者是如何构建起整个理论框架的，希望它能成为我案头常备的参考书。

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我是在一个研究小组的推荐下购入此书的，小组里几位资深成员一致认为这本书的体系结构非常适合作为我们进阶研究的理论基础。我个人对书中对公理化方法的应用非常感兴趣。从翻阅的几页内容来看，作者似乎非常强调从最基本的假设出发进行逻辑推导，这对于培养严密的数学思维至关重要。我最欣赏的一点是，书中似乎没有回避那些复杂的、需要大量背景知识才能理解的证明过程，而是选择将其完整呈现，配以详尽的注释和推导步骤。这对于希望真正掌握而非仅仅“了解”这些理论的读者来说，简直是福音。虽然阅读过程可能注定是艰辛的，需要反复对照和思考，但这正是高质量学术著作的魅力所在——它要求读者付出努力，从而换取更深刻的理解。这本书的厚度本身就是对读者毅力的一个考验，也是其内容的丰厚的佐证。

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这本书给我带来的最大感受是其叙述的“温度”。很多数学著作总是给人一种冰冷、纯粹的抽象感，让人难以产生共鸣，但这本书在关键概念引入时，似乎总能找到一个贴近直觉的“引子”，尽管最终的推导依然严密无暇。我观察到作者在某些段落中，会穿插一些历史背景或早期数学家在探索这些概念时遇到的困难，这种人文关怀让原本枯燥的公式变得有了生命力。例如，在讨论到某个核心定义的形成过程时，作者并没有直接给出最终定义，而是模拟了一种“发现”的过程，让我仿佛置身于历史长河中，亲历了理论的诞生。这种叙事策略极大地降低了初次接触这些高深理论时的心理门槛。我期待后续内容中，能有更多此类巧妙的过渡和解释，使得复杂的理论体系能够以一种更具亲和力的方式被接受和内化。

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这本书的装帧质量堪称一流，纸张的触感很好，即便是长时间阅读也不会感到眼睛疲劳，这在动辄篇幅巨大的专业书籍中是难得的优点。我主要关注的是它对特定数学分支的覆盖范围。从我对前言的快速浏览来看，作者似乎试图建立一个非常广阔的视角，将看似孤立的数学概念连接起来，这正是我所期盼的。我特别留意到其中提到了几个我过去学习中处理得不够透彻的边缘话题，它们在这里被提升到了核心讨论的地位。这感觉就像是拿到了一份升级版的地图，能看到更多以前被忽略的路径和风景。如果这本书真的能如其所展现的潜力一样，提供一套完整的、自洽的理论体系，那么它无疑将成为数学学习者案头不可或缺的工具书，无论是为了备考还是纯粹的学术兴趣，其价值都将无可估量。

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