数学分析（第3册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:谭小江

出品人:

页数:331

译者:

出版时间:2006-7

价格:14.90元

装帧:平装

isbn号码:9787040196184

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《数学分析（第3册）》简介 本书是“数学分析”系列教材的第三卷，在前两卷的基础上，系统深入地探讨了高等数学中的一系列核心概念与理论。全书力求严谨的数学逻辑，清晰的思维脉络，以及对数学思想的深刻揭示，旨在为读者构建坚实的数学分析理论基础，培养独立思考和解决复杂数学问题的能力。 第一部分：多变量函数的微分学 本部分将视角从一元函数拓展至多变量函数，这是理解和分析更广泛的数学模型和现实世界现象的基石。 多元函数的概念与拓扑基础：我们首先回顾并深化对多元函数的理解，包括定义域、值域、图像等基本概念。在此基础上，引入必要的拓扑概念，如点集、邻域、开集、闭集、紧集、连通集等。这些拓扑工具为后续分析奠定严谨的基础，使我们能够精确描述函数的性质以及它们所在的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的结构。例如，紧集的性质（如连续函数在紧集上必能取得最大最小值）在后续定理的证明中至关重要。 多元函数的极限与连续性：借鉴一元函数极限的定义，我们推广到多元函数的情形，引入多重极限的概念。理解多重极限的困难性在于变量之间的相互依赖性，需要引入“$epsilon-delta$”语言来严格定义。连续性的概念也相应地被推广，并探讨了连续函数在开集、闭集、紧集上的性质，例如连续映射如何保持拓扑性质。 方向导数与梯度：引入方向导数，它衡量函数在特定方向上的变化率，这是理解函数局部变化特性的重要工具。梯度作为方向导数中变化率最大的方向，其概念和几何意义得到了深入分析。梯度不仅指示了函数增长最快的方向，其零点也是寻找函数极值的重要线索。 偏导数与全微分：偏导数是研究多变量函数变化特性的基本工具，它允许我们将多变量函数的变化分解为沿坐标轴方向的变化。在此基础上，我们引入全微分的概念，它是在局部线性化函数的一种方式，为导数的更高阶理论和应用奠定基础。全微分的计算和性质是理解多元函数行为的关键。 高阶偏导数与泰勒公式：我们将偏导数的概念进一步推广到高阶，定义二阶及更高阶偏导数。对于二阶偏导数，我们还会探讨混合偏导数是否存在以及它们是否相等（如 Clairaut 定理）。多变量函数的泰勒公式是其一元对应物的自然推广，它能够用多项式逼近复杂函数，在数值计算、方程近似求解等方面有着极其广泛的应用。 隐函数定理与反函数定理：这两个定理是多变量微分学的两大支柱。隐函数定理允许我们在某些条件下，将一个隐式方程组解出部分变量，将其表示为其他变量的显函数，这是处理复杂方程组和函数关系的重要工具。反函数定理则是在局部条件下，判断一个可微函数是否可逆，并给出其反函数的导数。这两个定理在几何（如曲线和曲面的局部性质）、物理（如状态变量之间的关系）等领域有着深刻的含义。 极值问题（自由极值与条件极值）：基于微分学的工具，我们详细讨论如何寻找多变量函数的极值。首先是自由极值问题，即在没有约束条件下的极值，通常通过求解梯度为零的点并利用二阶偏导数来判别。随后，我们引入条件极值问题，即在给定约束条件下寻找函数的极值。拉格朗日乘数法是解决条件极值问题的核心方法，它通过引入辅助变量巧妙地将条件极值问题转化为无条件极值问题。 第二部分：积分学（续） 本部分在第一卷的基础上，进一步深化对积分概念的理解，并引入更广泛、更抽象的积分形式。 重积分（二重积分与三重积分）：从二重积分开始，我们学习如何在二维区域上对函数进行积分，这在计算面积、体积、平均值等方面有着直接的应用。重积分的计算通常通过累次积分（化为一元积分）来实现。三重积分则将积分扩展到三维空间，用于计算体积分、质量分布等。我们还会讨论重积分的性质、中值定理以及变量替换（雅可比行列式）在重积分计算中的作用。 曲线积分与曲面积分：曲线积分是沿曲线对函数进行积分，它在物理学（如计算功、环量）中有重要应用。我们区分第一类曲线积分（沿曲线弧长）和第二类曲线积分（沿曲线切线方向）。曲面积分则是沿曲面进行积分，同样区分第一类曲面积分（沿曲面面积）和第二类曲面积分（沿曲面法向量方向）。 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式：这三个公式是多元积分学的核心定理，它们建立了不同类型积分之间的深刻联系，体现了微积分基本定理在更高维度上的推广。 格林公式：将平面区域上的二重积分与边界曲线上的第一类曲线积分联系起来。 高斯公式（散度定理）：将三维空间区域上的三重积分（关于散度）与封闭曲面上的第二类曲面积分联系起来。 斯托克斯公式：将曲面上的第二类曲面积分（关于旋度）与该曲面边界曲线上的第一类曲线积分联系起来。 这些公式不仅是强大的计算工具，更是理解向量场性质（如散度与源汇、旋度与旋转）的理论基石，在流体力学、电磁学等领域扮演着关键角色。 不定积分的复习与深化：虽然不定积分在一元函数部分已详细介绍，但本部分将结合多变量函数的积分技巧，复习和巩固不定积分的计算方法，特别是利用变量替换和分部积分法处理更复杂的积分。 第三部分：无穷级数 本部分将目光投向无穷级数，研究无穷项的和的收敛性及其性质，这是分析函数逼近、数值计算和研究特殊函数的基础。 数项级数：我们首先研究常数项级数的收敛性判别。这包括柯西收敛判别法、达朗贝尔判别法、根式判别法、积分判别法、比较判别法、比值判别法等。理解这些判别法的原理及其适用范围是分析级数收敛与否的关键。此外，我们还会讨论绝对收敛与条件收敛的区别，以及交错级数的收敛性（莱布尼茨判别法）。 函数项级数：函数项级数是将常数级数推广到变量函数。我们深入探讨函数项级数的逐点收敛和一致收敛。一致收敛是一个非常重要的概念，它保证了级数在极限运算（如求和、求导、求积分）与级数运算之间的交换，即可以“安全地”进行逐项运算。 幂级数：幂级数是函数项级数中最重要的一类，它具有特殊的结构，形式为 $sum_{n=0}^infty a_n x^n$。我们详细研究幂级数的收敛域，即幂级数收敛的 $x$ 的取值范围，并确定其收敛半径。幂级数在分析复杂函数（如指数函数、三角函数、对数函数）的展开、近似计算以及求解微分方程等方面有着举足轻重的地位。 泰勒级数与麦克劳林级数：通过将函数在某点进行泰勒展开，得到其泰勒级数。如果函数在某点展开，则称为麦克劳林级数。这为用多项式近似函数提供了理论依据，并且可以用来研究函数的局部性质。我们探讨函数是否能展开成泰勒级数，以及泰勒级数收敛到原函数时的条件（如余项趋于零）。 傅里叶级数：傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数（正弦和余弦）级数的方法。它在信号处理、偏微分方程的求解（如热传导方程、波动方程）等领域有着极其广泛的应用。我们学习傅里叶级数的定义、系数的计算，以及其收敛性（如 Dirichlet 条件下的收敛性）。 全书的特点 理论严谨：本书在推导过程中，严格遵循数学公理和定义，避免使用模糊或直观的论证。大量的定义、定理、推论和引理，构建了一个严密的数学体系。 逻辑清晰：各章节之间、各知识点之间都存在紧密的逻辑联系，层层递进，使得读者能够清晰地把握数学分析的脉络。 深入浅出：在保证严谨性的同时，本书力求用清晰的语言解释抽象的概念，并通过大量的例题和习题，帮助读者理解和掌握理论知识。 应用导向：虽然本书侧重于理论基础的构建，但也不回避与实际应用的联系，在讲解定理时，会适时指出其在其他学科或工程领域中的重要性。 综合性强：本书涵盖了高等数学中关于多元函数微分、积分以及无穷级数的核心内容，为读者学习更高级的数学分支（如实变函数、复变函数、泛函分析）打下坚实基础。 本书适用于高等院校数学、物理、工程类等专业的本科生，以及需要深入学习和掌握数学分析理论的研究生和科研人员。通过对本书的学习，读者将能够深刻理解数学分析的精髓，培养严谨的数学思维，为解决实际问题提供强大的理论支持。

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这本书在内容编排上的最大亮点，在于其对“广义函数”（Distribution Theory）的引入，尽管篇幅不算太大，但其处理的巧妙程度，堪称教科书级别的典范。在传统的分析课程中，广义函数往往被视为一个需要专门课程才能讲解的高深领域，而作者却能将其巧妙地融入到对导数概念的推广中。通过定义测试函数空间和连续线性泛函，作者使得“狄拉克函数”不再是一个难以理解的符号，而是一个清晰、严格定义的数学对象。这种处理方式极大地拓宽了我们对“函数”和“微分”的认知边界，使得许多在经典意义下无法求解的微分方程，忽然间变得“可解”了。我特别喜欢作者在引入广义导数后，立即给出的一个关于光滑函数对积分的“分部积分”推广。这个推广过程，不仅在形式上优美，更在物理意义上具有极强的解释力，将原本基于黎曼积分的微积分工具，升级到了更具适用性的现代分析框架之下。这对于正在探索信号处理或波动方程的读者来说，无疑是一次醍醐灌顶的体验。

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这本《数学分析（第3册）》的出版，着实让我这个常年在数学前沿摸爬滚打的老兵感到一丝久违的激动。翻开书页，首先映入眼帘的并不是那些枯燥的定义和定理的堆砌，而是作者以一种近乎诗意的笔触，描绘着高维空间中那些错综复杂却又井然有序的结构。我尤其欣赏其中关于测度论和勒贝格积分那几章的处理方式。以往读其他教材时，总觉得这部分内容晦涩难懂，像是空中楼阁，但这本书却通过一系列精妙的例子和直观的几何解释，将抽象的概念“拉”到了地面上，让读者可以切实感受到积分如何在无限逼近的极限中获得了真正的意义。比如，在讨论可测集和不可测集时，作者没有直接抛出复杂的集合论证明，而是巧妙地引入了布尔巴基学派的一些直观理解，使得即便是初次接触测度论的本科高年级学生，也能建立起一个坚实的直觉框架。这种教学上的匠心，使得原本被视为数学分析“珠穆朗玛峰”的这一部分，变得触手可及，极大地增强了读者攻克后续更深层次研究的信心。可以说，这本书不仅仅是知识的载体，更像是一位经验丰富、循循善诱的导师，引导我们穿行于严谨逻辑的迷宫之中。

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作为一名习惯了美式教材简洁明快风格的读者，最初接触这本第三册时，我确实经历了一个适应期。它的叙述风格偏向于“详尽而审慎”，每一个结论的推导都力求无懈可击，甚至连一些看似微不足道的引理都会被给予充分的证明空间。起初，我略感有些拖沓，巴不得快进到核心定理的部分。然而，随着阅读的深入，我逐渐体会到这种“慢工出细活”的价值所在。在处理偏微分方程的变分法基础，特别是Sobolev空间那段时，作者的严谨性达到了极致。书中对嵌入定理的论证，没有采用常见的区域划分法，而是借助了诸如Mollifiers（光滑化子）的构造性方法，每一步的定义和操作都充满了对函数空间拓扑特性的深刻洞察。这种教科书式的“完美证明”，虽然阅读起来需要更多的耐心，但它带来的知识的稳定性和可靠感，是其他一些追求速度的教材所无法比拟的。它教会我的，不仅仅是“怎么做”，更重要的是“为什么必须这样做”，这种对逻辑链条的完整把控，是真正学术训练的核心所在。

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我必须承认，我对这本书的评价可能带有强烈的个人偏好，因为我一直是偏爱欧式分析中那种强调“结构与映射”的讲解方式的。第三册的内容，显著地加强了泛函分析的预备知识，特别是关于拓扑向量空间和紧算子的讨论，其深度和广度都超出了我预期的“分析”范畴，更像是一部精炼的泛函分析导论。让我印象极为深刻的是，作者在引入巴拿赫空间和希尔伯特空间时，并没有将它们视为一个孤立的章节，而是紧密地与傅里叶级数、勒贝格积分的完备性问题联系起来。这种“串联”的手法，让读者深刻体会到数学分支之间并非孤立存在，而是相互支撑、层层递进的有机整体。例如，在处理一致收敛和依概率收敛的比较时，作者用拓扑的观点重新审视了收敛性的不同“强度”，这种视角的转换，如同在高空俯瞰山脉的走势，一下子洞悉了不同收敛模式的内在关联。对于那些希望未来在偏微分方程或概率论领域深耕的读者来说，这本书提供的这种高屋建瓴的视角，是极其宝贵的财富，它为我们打下了坚不可摧的结构化思维基础。

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坦率地说，这本《数学分析（第3册）》并非为初学者设计，它更像是一座为已经掌握基础微积分的“攀登者”准备的、直达山巅的阶梯。书中的习题设置，是检验学习效果的绝佳场所。它们并非那些简单的计算题来巩固公式，而是大量需要构造性证明和深入思考的难题。例如，其中关于变分积分和欧拉-拉格朗日方程的应用题，要求读者必须将分析、代数和几何直觉融会贯通，才能找到最优的求解路径。我个人花了相当长的时间才攻克了其中关于极小曲面存在性证明的最后几步，那种通过繁复计算最终导向一个简洁、优雅结论的成就感，是无法用言语形容的。这本书的难度虽然高，但它所提供的知识深度和思维训练的强度，绝对物超所值。它不仅仅是教你分析的知识点，更是在训练你如何像一个数学家一样去思考问题、去构建严密的论证体系，是通往更高阶数学殿堂的必经之桥。

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