奇异积分和相关论题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:陆善镇

出品人:

页数:272

译者:

出版时间:2011-4

价格:39.00元

装帧:

isbn号码:9787510032998

丛书系列:

图书标签:

• 调和分析
• 数学分析5
• 奇异积分
• 奇异积分
• 积分方程
• 复变函数
• 泛函分析
• 调和分析
• 数值分析
• 近似计算
• 边界元法
• 特殊函数
• 数学物理方法

《奇异积分与相关论题》是一部深度探索数学前沿领域的学术专著，它以严谨的逻辑、清晰的条理和精辟的论述，为读者呈现了奇异积分理论及其广泛关联的数学分支的最新进展和深层内涵。本书并非浅尝辄止的科普读物，而是面向具有扎实数学基础的研究者、高年级本科生和研究生，旨在提供一个系统、全面、深入的学习和研究平台。 全书围绕“奇异积分”这一核心概念展开，但其辐射的数学领域远不止于此。奇异积分，作为一种特殊的积分形式，其积分号下的被积函数在积分区域内可能包含奇点，这使得传统的积分理论和方法难以直接应用，从而催生了一系列更为精妙和强大的数学工具与理论。本书的首要目标便是梳理和阐述这些处理奇异积分的数学技巧，包括但不限于柯西主值积分、分数阶积分、以及在特定空间（如 Sobolev 空间、Besov 空间）中的积分算子。 第一部分：奇异积分理论的基石 本书的开篇，作者首先为读者奠定了坚实的理论基础。这部分详细介绍了处理奇异积分的各种数学语言和核心概念。 Lebesgue 积分理论的回顾与拓展： 在深入探讨奇异积分之前，作者首先回顾了 Lebesgue 积分的基本理论，强调了其在处理不连续函数和广义积分上的优势。随后，在此基础上，引入了更具泛化性的积分概念，为理解奇异积分的数学结构打下基础。 测度与积分空间： 奇异积分的定义和性质高度依赖于所处的空间。本书详细阐述了各种重要的测度空间（如 Lebesgue 测度、Hausdorff 测度）以及与之相关的函数空间（如 $L^p$ 空间）。特别是对于具有奇点的积分，对空间性质的深刻理解至关重要。 柯西主值积分 (Cauchy Principal Value)： 这是处理积分区域内奇点问题的经典方法。作者从其基本定义出发，详细论证了柯西主值积分存在的条件，并探讨了其在实分析和复分析中的应用，例如在 Hilbert 变换等算子上的表现。 分数阶积分与微分 (Fractional Integrals and Derivatives)： 随着科学研究的深入，整数阶的微分和积分已不能满足所有需求。分数阶微积分应运而生，它将积分和微分的概念推广到了非整数阶。本书将分数阶积分作为奇异积分的一个重要分支进行详细介绍，探讨其 Riesz 势、Caputo 意义下的分数阶导数等概念，并阐述其在物理学、工程学等领域的广泛应用。 Hardy 空间与 VMO 空间： 这些特定的函数空间在奇异积分理论中扮演着举足轻重的角色。Hardy 空间主要处理具有一定解析性质的函数，而 VMO（有界均值振荡）空间则提供了度量函数振荡程度的新视角。本书将深入分析奇异积分算子在这些空间上的有界性、交换子等性质，揭示其深刻的数学结构。 第二部分：奇异积分算子及其性质 在建立起理论基石后，本书将重点转向奇异积分算子本身，深入分析其在不同数学框架下的行为和性质。 Calderón-Zygmund 奇异积分算子： 这是奇异积分理论中最核心、最重要的一类算子。作者将详细介绍 Calderón-Zygmund 算子的定义、构造方法，以及它们在 $L^p$ 空间上的有界性（Plancherel 定理、Lacey-Thomson 定理等）。对这类算子的深入理解，是掌握整个奇异积分理论的关键。 Calderón-Zygmund 算子的核函数： 核函数是定义奇异积分算子的核心要素。本书将详尽讨论这类核函数的性质，例如其在原点处的奇点行为、在无穷远处的衰减性，以及它们如何影响算子的整体性质。 交换子与多重线性算子： 奇异积分算子与其他算子的交换子（commutators）以及多重线性奇异积分算子（multilinear singular integral operators）是当前研究的热点。本书将深入探讨这些更复杂的算子，分析它们在函数空间上的有界性，以及它们在偏微分方程、调和分析等领域的应用。 Littlewood-Paley 理论与奇异积分： Littlewood-Paley 理论提供了一种分解函数的方法，将函数分解为不同尺度上的“块”。本书将展示如何利用 Littlewood-Paley 分解来研究奇异积分算子的性质，例如其对函数光滑性的影响，以及与 Besov 空间等光滑性空间的联系。 第三部分：奇异积分在相关数学领域的应用 理论的价值最终体现在其应用上。本书的第三部分将展示奇异积分理论在众多数学分支中的重要作用，让读者领略其强大的解释力和解决问题的能力。 偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDEs)： 奇异积分算子在研究线性与非线性偏微分方程的解的正则性、存在性、唯一性等方面发挥着至关重要的作用。本书将重点介绍奇异积分在椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程（如波动方程、热方程）的边值问题和初边值问题中的应用，特别是涉及非光滑系数或奇异源项的方程。 调和分析 (Harmonic Analysis)： 奇异积分是调和分析的核心工具之一。本书将阐述奇异积分在傅里叶分析、多项式逼近、小波分析等领域的应用，展示它们如何帮助理解函数的全局和局部性质。 复分析 (Complex Analysis)： 在复分析中，例如 Cauchy 积分公式、Cauchy 积分定理等都与奇异积分的思想有着深刻的联系。本书将探讨奇异积分在复变函数中的应用，以及它们与 Riemann-Hilbert 问题等经典问题的关联。 几何与拓扑 (Geometry and Topology)： 奇异积分理论在几何测量理论（Geometric Measure Theory）、微分几何等领域也有着重要的应用。例如，分析曲面上的积分，特别是当曲面存在奇异点时，奇异积分理论就显得尤为重要。 概率论与随机过程 (Probability Theory and Stochastic Processes)： 某些随机过程的演化方程的解可以由奇异积分算子表示。本书将简要提及奇异积分在处理随机微分方程（Stochastic Differential Equations）等问题中的作用。 第四部分：前沿课题与展望 为了体现本书的“相关论题”这一特色，作者还会在最后部分介绍奇异积分理论的一些前沿研究方向和尚未解决的问题，为读者指明进一步探索的路径。 高维度奇异积分： 随着维度升高，奇异积分的理论和计算复杂度都显著增加。本书将探讨高维度奇异积分的最新研究进展。 非线性奇异积分： 研究非线性算子在奇异积分理论框架下的行为是一个活跃的研究领域，本书将介绍相关的技巧和应用。 数值方法： 理论上的奇异积分算子往往难以精确计算，因此发展高效的数值方法来近似计算奇异积分具有重要的实际意义。本书将简要介绍相关的数值离散化技术和算法。 新兴应用领域： 随着人工智能、大数据等技术的发展，奇异积分理论在图像处理、信号分析、机器学习等新兴领域的应用潜力也日益显现，本书将对此进行展望。 《奇异积分与相关论题》不仅仅是一本教科书，更是一本思想的集合，它通过严谨的数学语言，揭示了数学世界中一种普遍而强大的分析工具。本书的读者将会在系统学习奇异积分理论的同时，深刻体会到其在解决各类复杂数学问题时的强大威力，并为进一步的学术研究打下坚实的基础，激发新的研究灵感。本书内容丰富，结构精巧，逻辑严密，是数学研究者案头必备的参考书。

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这本《奇异积分和相关论题》的封面设计得相当引人注目，采用了深邃的蓝色调，中间点缀着抽象的数学符号，仿佛深海中的微光，让人立刻联想到高深莫测的理论。从这本书的厚度和排版来看，就知道它绝对不是轻松的读物。我本以为自己对泛函分析和调和分析已经有了一定的了解，但翻开第一章，那种扑面而来的严谨性和深度还是让我感到震撼。作者似乎没有丝毫敷衍，每一个定义、每一个定理的推导都详尽到令人发指的地步，仿佛生怕读者漏掉哪怕一个看似微小的逻辑跳跃。特别是关于奇异积分算子的边界行为分析那部分，那些复杂的积分不等式的运用，需要极高的专注力才能跟上作者的思路。虽然阅读过程非常“烧脑”，但每攻克一个难点，那种成就感是无与伦比的。这本书更像是一本工具书或者研究手册，适合那些已经打下扎实基础，准备深入钻研这个领域的学者或研究生。对于初学者来说，可能需要配合其他更入门的教材才能消化其中的内容。我特别欣赏作者在引言部分对该领域历史脉络的梳理，虽然文字不多，但寥寥数语就勾勒出了这条研究路径的曲折与精彩。

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这本书的阅读体验，很大程度上取决于读者的数学素养。如果将数学书籍比作探险地图，那么这本书绝对不是那种标明了轻松小径的旅游指南，它更像是一份标注了无数危险峡谷和险峻山峰的原始航海图。我尝试用它来辅导本科高年级学生学习泛函分析的扩展应用，结果发现，那些对“测度论”和“Lp空间”只有模糊概念的学生，根本无法理解书中关于“次线性算子”的界限性证明。里面的推导过程常常需要读者自己脑补好几步中间步骤，比如在证明某一个积分不等式的等号成立条件时，作者只是轻描淡写地提了一句“利用标准的工具”，但这个“工具”本身可能就是另一个硕士论文级别的知识点。因此，这本书的价值在于“深化”而非“启蒙”。它强迫你回归基础，用最严格的视角重新审视那些你曾经以为已经掌握的概念。对于那些希望从“会做题”跨越到“理解理论本质”的读者，这本书提供了必要的、近乎苛刻的训练。

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我对这本书的装帧和排版给予高度评价。在处理如此复杂的数学公式时，出版社的功力可见一斑。公式编号清晰，参考文献的格式统一规范，字体选择也十分舒服，长时间阅读下来眼睛不易疲劳。尤其值得称赞的是，书中对希腊字母和特殊符号的使用保持了极高的一致性，这在许多翻译或早期出版的数学著作中是难以想象的痛点。在某些章节，作者使用了图示来辅助理解抽象概念，比如在解释Bochner-Riesz求和因子在多维空间中的截断行为时，那张二维截面图清晰地展示了“球体”是如何逼近“视界”的，极大地降低了空间想象的难度。虽然内容本身难度极高，但出版质量的精良，使得学习过程中的挫败感在一定程度上得到了缓解。从出版质量上来说，这绝对是近五年来我见过的数学专著中的上乘之作，体现了对知识本身的敬畏感。

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这本书带给我的思考，已经超越了具体的积分不等式本身。它让我重新思考了“奇异性”在数学结构中的本质作用。作者在论证过程中，反复强调了“残余项”的处理技巧，这不仅仅是积分理论的技巧，更像是一种哲学——如何从一个不完备的、带有“瑕疵”的系统（即奇异点）中，提炼出全局的、光滑的结构信息。书中有一段关于Hardy-Littlewood极大算子收敛性的讨论，通过一种迭代逼近的方式，巧妙地将一个发散的趋势控制在一个有界的范围内，这种“以毒攻毒”的思路非常启发人心。读完此书，我感觉自己的数学直觉得到了极大的锤炼，不再满足于仅仅知道“为什么是对的”，而是开始追问“它为什么不能更简单”或者“在什么条件下它会崩溃”。这才是真正优秀的研究性教材的价值所在——它不直接给出答案，而是教会你如何提出更深刻的问题。对于有志于在分析领域做出原创性贡献的学者而言，这本书的价值无法用简单的页数来衡量。

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说实话，我是在一个学术研讨会上听一位教授极力推荐才购入的这本书。拿到手后，我立刻尝试跳到我最感兴趣的“Calderón-Zygmund 理论在非光滑域上的推广”那一章去阅读。结果发现，即便是这部分相对“前沿”的内容，其基石依然扎得极深。作者对基础的傅里叶变换和卷积的性质进行了非常细致的回顾，这种“不厌其烦”的铺垫，虽然拖慢了阅读速度，但保证了理论的连贯性。我发现，书中对“奇异核”的构造和性质的讨论，远比我过去使用的教材要精妙得多，它不仅仅停留在算子本身的定义上，更深入探讨了在不同测度空间下，这些积分算子的拓扑性质是如何变化的。对于那些热衷于寻找精确估计和最佳常数的读者来说，这本书无疑是一座金矿。书中提供的那些带有星号的注记，通常包含了最尖锐的结论或者尚未完全解决的开放性问题，这些是真正的内行人才会关注的细节。唯一的美中不足是，书中引用的参考文献大多集中在二十世纪中后期的经典文献，对于近十年来的新进展关注稍显不足，但这或许也是为了保持本书的经典性和聚焦性的取舍吧。

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