广义积分和含参数的积分习题选解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:吉林人民出版社

作者:林秀成

出品人:

页数:277

译者:

出版时间:1983

价格:0.80

装帧:19cm

isbn号码:9780001722446

丛书系列:

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《广义积分与参数积分：精选习题详解》 引言 数学，作为描述世界规律的通用语言，其博大精深之处体现在无数精巧的理论和工具之中。在高等数学的宏伟殿堂里，积分学占据着举足轻重的地位。它不仅是描述累积效应、面积、体积、功等物理量的强大工具，更是连接离散与连续、代数与几何的桥梁。而在积分学更为深邃的领域，广义积分和含参数的积分（或称参数积分）以其独特的挑战性和广泛的应用价值，吸引了无数数学爱好者和专业人士的目光。 广义积分，顾名思义，是对传统定积分概念的延伸与拓展。当积分区间趋于无穷，或被积函数在积分区间内存在不连续点甚至无穷大时，我们便进入了广义积分的范畴。它需要我们运用极限的思想，将不适定的积分转化为一系列适定的积分问题，从而判断积分的收敛性，并求解其值。这一过程不仅锻炼了逻辑推理能力，更深刻地揭示了函数在极端情况下的行为。 参数积分，则是在积分中引入了一个或多个参数，使得积分的结果成为一个参数的函数。这种积分形式在物理学、工程学、概率论、统计学等众多学科中扮演着至关重要的角色。例如，在描述物理系统的演化、分析信号的频率特性、计算概率分布的期望值时，参数积分都不可或缺。对参数积分的研究，不仅需要掌握基本的积分技巧，更要深入理解参数变化对积分结果的影响，即参数的微分和积分运算。 本书内容概述 本书《广义积分与参数积分：精选习题详解》旨在为读者提供一个系统、深入的学习平台，帮助大家扎实掌握广义积分和参数积分的核心理论，并通过大量精心挑选的习题，将理论知识转化为解决实际问题的能力。本书严格遵循数学学习的逻辑路径，从基础概念出发，逐步深入到复杂的技巧和应用，力求全面覆盖该领域的重点、难点和热点问题。 第一部分：广义积分的理论与方法 本部分将系统梳理广义积分的理论基础。我们将从第一类广义积分（积分区间为无穷）和第二类广义积分（被积函数在积分区间内无界）的定义出发，详细阐述各种判敛准则。 第一类广义积分的判敛法： 读者将学习到比较判别法、极限比较判别法，以及它们在判断积分收敛性时的应用。特别地，我们将分析形如 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 和 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 以及 $int_{-infty}^{infty} f(x) dx$ 的广义积分的敛散性。我们会深入探讨一些经典函数的广义积分，如 $int_{a}^{infty} frac{1}{x^p} dx$ 和 $int_{a}^{infty} frac{sin x}{x^p} dx$ 等的收敛条件。 第二类广义积分的判敛法： 本节将重点讲解当被积函数在积分区间内某点（或多点）趋于无穷时，如何判断广义积分的收敛性。我们将详细讨论形如 $int_{a}^{b} frac{1}{(x-a)^p} dx$ 和 $int_{a}^{b} frac{1}{(b-x)^p} dx$ 等的积分的敛散性。我们还会介绍一些特殊的函数，例如在积分区间内含有奇点的函数，并提供相应的判敛方法。 绝对收敛与条件收敛： 对于第一类广义积分，我们将区分绝对收敛和条件收敛的概念，并提供相应的判别方法。这有助于读者更深入地理解积分的性质。 广义积分的计算： 在判别收敛性的基础上，本书将提供一系列求解广义积分的技巧。我们将展示如何通过选取适当的变量代换、分部积分等方法，将广义积分转化为可以计算的定积分形式。对于收敛的广义积分，我们将给出精确的计算步骤和方法。 第二部分：含参数积分的理论与应用 参数积分是数学分析中一个富有挑战但又极其重要的分支。本部分将系统介绍含参数积分的定义、性质以及相关的计算方法。 参数积分的定义与基本性质： 我们将首先明确含参数积分的定义，即积分结果是关于参数的函数。然后，我们将介绍参数积分的一些基本性质，例如积分与参数的交换顺序问题。 参数积分的可微性： 这是参数积分研究的核心内容之一。本书将详细讨论在何种条件下，可以对参数进行微分运算，即交换微分和积分的顺序。我们将介绍关于参数积分可微性的定理，并提供大量实例来展示如何应用这些定理。例如，我们将分析 $frac{d}{dalpha} int_{a}^{b} f(x, alpha) dx$ 的计算方法，并给出具体的推导过程。 参数积分的可积性： 类似地，我们还将探讨在何种条件下，可以交换积分和参数积分的顺序。本书将深入讲解参数积分可积性的相关定理，以及如何利用这些定理来简化复杂的积分计算。例如，我们将讨论 $int_{c}^{d} left( int_{a}^{b} f(x, alpha) dx ight) dalpha$ 与 $int_{a}^{b} left( int_{c}^{d} f(x, alpha) dalpha ight) dx$ 之间的关系。 重要参数积分的计算： 本部分将重点讲解一些具有代表性的参数积分的计算方法。我们将详细介绍如何利用参数积分来求解一些著名的积分，例如高斯积分 $int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} dx$ 的计算，以及狄利克雷积分 $int_{0}^{infty} frac{sin x}{x} dx$ 的求解。我们将展示如何巧妙地构造参数，通过微分或积分来获得结果。 参数积分在其他领域的应用： 为了展示参数积分的强大生命力，我们将简要介绍参数积分在物理学（如电磁学、热力学）、概率论（如累积分布函数、期望值）、工程学（如傅里叶变换、拉普拉斯变换）等领域的应用实例。 第三部分：精选习题与详解 本书的核心价值体现在其精选的习题集和详尽的解析。我们深知，理论知识的学习最终需要通过大量的练习来巩固和深化。因此，本书精心挑选了大量来自国内外经典教材和竞赛的广义积分和参数积分习题。 习题分类与难度递进： 习题将按照知识点和难度进行合理分类，从基础的概念辨析题，到技巧性的计算题，再到综合性的应用题，确保读者能够循序渐进地掌握相关知识。 详尽的解题步骤与思路： 每一道习题都配有详细的解题步骤和清晰的思路分析。我们不仅给出最终答案，更重要的是揭示解决问题的关键环节、常用的方法和技巧，以及可能遇到的陷阱。我们将强调解题过程中所运用的具体定理和判别准则。 解题方法的归纳与总结： 在习题详解中，我们将时常归纳总结不同类型习题的解题方法和思路，帮助读者建立起解决问题的通用框架，提升解题效率。 难点解析与易错点提示： 对于一些普遍认为比较困难的题目，我们将进行深入的解析，剖析其难点所在，并给出具体的克服方法。同时，我们也会指出一些常见的易错点，提醒读者在解题过程中加以注意。 学习建议 为了最大程度地利用本书的学习资源，我们建议读者： 1. 认真阅读理论部分： 在动手做题之前，请务必认真理解和消化每一章的理论概念和定理。 2. 独立思考，勇于尝试： 在看到习题时，请先独立思考，尝试自己去解决。即使遇到困难，也不要立即翻看答案，而应多尝试不同的方法。 3. 对照详解，反思总结： 在独立尝试后，仔细对照本书的详解，理解解题思路和步骤。重点反思自己的错误之处，总结解题经验。 4. 举一反三，触类旁通： 学会从一道题的解法中提炼出普遍适用的方法，并尝试将这些方法应用到其他类似的题目中。 5. 循序渐进，持之以恒： 数学学习需要耐心和毅力。请按照本书的章节顺序，逐步深入，持之以恒地练习。 结语 广义积分和参数积分是数学分析中令人着迷且充满挑战的领域。本书《广义积分与参数积分：精选习题详解》希望能够成为您探索这些领域的良师益友。我们相信，通过系统学习本书的内容，并结合大量的练习，您将能够深刻理解广义积分和参数积分的精髓，掌握解决相关问题的关键技巧，并为进一步的数学学习和科学研究打下坚实的基础。愿本书能助您在数学的海洋中乘风破浪，发现无限可能。

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这本书的行文风格非常平实，没有过多华丽的辞藻，一切都以数学的严谨性为核心。作者在讲解含参数积分的稳定性问题时，展现出了极高的数学素养。他没有满足于给出教科书式的标准解法，而是深入探讨了不同条件下参数对积分结果的敏感性。我特别喜欢作者在讨论各个定理的应用边界时所采取的批判性视角，这提醒我们，数学工具是强大的，但必须在正确的条件下使用。这种“授人以渔”的教学理念贯穿始终。此外，排版上的用心也值得称赞，公式对齐工整，符号使用规范，这极大地提升了阅读体验，避免了因为排版混乱而产生的阅读障碍。对于需要经常查阅和复习的读者来说，清晰的布局和标注系统简直是如虎添翼。

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从一个多年从事数学教育工作者的角度来看，这本书在衔接理论与实际应用方面做得非常出色。它巧妙地将抽象的分析理论与具体的工程或物理问题场景结合起来。例如，在讲解利用傅里叶变换进行积分运算时，书中并没有直接跳到复杂的积分变换，而是先通过一个与热传导相关的简化模型来引入需求，然后自然而然地引出参数积分的技巧。这种情境化的教学，让原本枯燥的数学公式突然“活”了起来，让人立刻明白学习这些工具的意义所在。虽然本书的定位更偏向于习题选解，但其对应用背景的交代，为我们理解“为什么需要学习广义积分”提供了坚实的支撑，这是很多纯理论书籍所欠缺的。

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这本书的习题部分绝对是它的亮点之一。我之前在其他教材中遇到过很多枯燥的、重复的计算题，但这本书的习题选择明显经过了精心的筛选。它们不仅仅是检验你是否掌握了公式，更多的是在考察你对积分本质的理解和应用能力。我印象最深的是关于参数积分的换序定理那一章，习题设计了一系列需要仔细判断收敛性的场景，迫使我必须深入思考，而不是简单地套用结论。解答部分更是详尽得令人发指，每一个步骤都写得清清楚楚，甚至连一些容易被忽略的细节，比如边界情况的处理，作者都没有放过。这对于我这种喜欢刨根问底的读者来说，简直是福音。通过对照解析，我不仅订正了错误，更重要的是，我学会了如何系统地组织解题思路，这比单纯做对题更有价值。

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总而言之，这是一本经得起推敲的进阶参考书。它不像入门教材那样事无巨细地铺陈基础，而是直接将读者带入到需要深度思考的领域。我对书中关于瑕积分处理的技巧印象深刻，作者没有采用一刀切的方法，而是根据瑕点的性质（是端点还是内部）给出了不同的处理策略，并且每种策略都附带了对应的收敛性分析。这种细腻的处理，体现了作者对这门学科的深刻洞察力。对于已经掌握了基础微积分，希望在分析领域更进一步的学生或科研人员来说，这本书无疑是一份极其宝贵的资源，它提供的不仅仅是解题方法，更是一种严谨的、面向复杂问题的数学思维模式的训练。

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这本书的封面设计非常吸引人，那种深邃的蓝色调配上简洁的白色字体，给人一种专业又沉稳的感觉。初次翻开时，就被它清晰的目录结构所吸引，每个章节的标题都精准地概括了其内容，让人可以很方便地找到自己需要学习的知识点。我特别欣赏作者在每章开头对核心概念的梳理，那种层层递进的讲解方式，把看似复杂的广义积分理论拆解成了易于理解的模块。书中对经典定理的引用和推导过程非常详尽，即便是初学者也能跟上思路。尤其是一些关键的收敛性判定定理，作者不仅给出了严谨的数学证明，还配上了直观的几何解释，这对于建立直观理解非常有帮助。我在学习过程中，发现书中选取的例题不仅具有代表性，而且难度梯度设计合理，从基础的黎曼积分的推广，到更复杂的勒贝格积分的初步概念，每一步都稳扎稳打，让人感觉每掌握一个知识点都是实实在在的进步。

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