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6年级-小学数学应用题解法大全，ISBN：9787510013546，作者：《小学数学应用题解法大全》编写组编
《现代几何学基础与前沿探索》 图书简介 本书旨在为读者构建一个全面而深入的现代几何学知识体系，内容涵盖了从经典几何学的深刻内涵到当代数学前沿领域中几何学扮演的关键角色的全景图。本书的编写立足于严谨的数学逻辑和清晰的阐述方式，力求在保证学术深度的同时，兼顾读者的理解接受度，尤其适合数学专业本科高年级学生、研究生以及对几何学有浓厚兴趣的科研人员和工程技术人员。 第一部分：欧几里得几何的现代重构与深化 本部分首先对欧几里得几何的公理系统进行了细致的现代解析，探讨了其逻辑基础和完备性问题。我们不再将欧氏几何视为理所当然的直观知识，而是从集合论和拓扑学的角度对其进行重构。 第1章 几何公理系统的逻辑基础： 详细分析希尔伯特公理体系的结构，讨论了独立性、相容性和完备性的证明方法。着重探讨了不同公理选择对几何结构产生的影响。 第2章 欧氏空间中的度量结构： 从向量空间的角度引入内积，深入探讨长度、角度和距离的代数定义。引入等距变换群，分析欧氏几何的刚性结构。 第3章 射影几何的兴起与对偶性原理： 介绍了射影几何的基本概念，如无穷远点、无穷远线。重点阐述了射影不变量和著名的对偶性原理，展示了几何思维的深刻统一性。 第二部分：非欧几何的发现与微分几何的诞生 本部分是通往现代几何学的关键桥梁，详细阐述了非欧几何（如双曲几何和椭圆几何）的构建过程，并由此引出微分几何这一强大的工具。 第4章 罗巴切夫斯基与黎曼的几何革命： 追溯平行公设被否定的历史脉络，详细推导双曲几何的度量张量和关键公式（如三角函数关系）。与椭圆几何进行对比分析，揭示不同曲率空间的基本特性。 第5章 黎曼几何的数学骨架： 将几何的探讨提升到流形的概念层面。引入光滑流形、切空间和张量场的概念。这是理解广义相对论和现代拓扑学的必备基础。 第6章 联络、曲率与测地线： 深入讲解协变导数和黎曼曲率张量。曲率被定义为衡量空间弯曲程度的内在不变量。测地线（“两点间最短路径”）在弯曲空间中的性质是本章核心。 第7章 规范场论中的几何视角： 简要介绍纤维丛理论在物理学中的应用，展示如何用主丛和联络的概念来描述电磁场和引力场，将几何语言转化为物理定律。 第三部分：拓扑学——几何的定性研究 拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的几何性质，是对传统度量几何的极大拓展。本书将拓扑学视为研究“形状的本质”的科学。 第8章 基础拓扑概念： 详细介绍拓扑空间、开集、闭集、连续映射、紧致性和连通性。通过“咖啡杯与甜甜圈”的例子，阐明拓扑等价的概念。 第9章 代数拓扑的开端：同伦群与同调群： 引入代数工具来区分不同的拓扑空间。重点分析基本群（同伦群的初级形式），解释如何利用环路来区分“有洞”的空间。 第10章 流形的分类与嵌入理论： 讨论二维流形（球面、环面、射影平面）的分类定理。简要介绍怀特海德的嵌入定理，探讨高维空间中对象的“自我相交”问题。 第四部分：现代几何学的交叉与前沿 本部分将目光投向20世纪中后期至今，几何学与其他数学分支融合产生的创新领域。 第11章 辛几何与经典力学： 引入辛流形的概念，这是对哈密顿力学相空间的几何描述。重点讨论泊松括号的几何起源和李维尔定理。 第12章 代数几何的视角： 从代数曲线和簇的视角审视几何。介绍复射影空间和希尔伯特多项式，展示如何用代数方程来定义几何对象。 第13章 低维拓扑与庞加莱猜想的解决： 聚焦于三维流形的几何化猜想（瑟斯顿几何化，佩雷尔曼的证明概述）。讨论球面化和环面化理论，展示几何学在解决最深刻的拓扑问题中的作用。 第14章 量子场论中的几何影响： 探讨卡拉比-丘流形在弦论中的作用，以及拓扑量子场论的基本思想。这部分内容旨在展示纯粹数学几何学在描述微观世界潜力。 全书力求通过大量的图示、严谨的定理证明和精选的习题，引导读者从直觉走向严格的数学推理，最终掌握现代几何学的核心语言和研究方法。本书内容充实，逻辑环环相扣，是深入学习几何学的理想参考书目。
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