具体描述
《数值分析》以收敛性、复杂性、条件作用、压缩和正交性这5个主要思想为核心进行展开。内容包括求解方程组、插值、最小二乘、数值微分、数值积分、微分方程及边值问题、随机数及其应用、三角插值、压缩、最优化等。每章都有一个实例检验，有助于读者了解到相关应用领域。附录中介绍了矩阵代数和MATLAB，并提供了部分习题的答案。
《数值分析》内容广泛，实例丰富，可作为自然科学、工程技术、计算机科学、数学、金融等专业人员进行教学和研究的参考书。
作者简介
Timothy Sauer 乔治梅森大学数学系教授。1982年毕业于加州大学伯克利分校，师从著名数学家Robin Hartshorne。他的主要研究领域为动力系统和数值分析。除本书外，还与人合著有CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems等书。Sauer 是SIAM Journal on Applied Dynamical Systems、Journal of Difference Equations and Applications和Physica D等学术期刊的编委。
目录信息
4.4.2 带非线性系数的模型 217
第5章 数值微分和数值积分 224
5.1 数值微分 224
5.1.1 有限差分公式 224
5.1.2 舍入误差 228
5.1.3 外推 230
5.1.4 符号微分法和符号积分法 232
5.2 数值积分的Newton-cotes公式 235
5.2.1 梯形法则 236
5.2.2 Simpson法则 237
5.2.3 复合Newton-Cotes公式 240
5.2.4 开Newton-Cotes方法 242
5.3 Romberg积分 245
5.4 自适应求积 249
5.5 Gauss求积 253
第6章 常微分方程 261
6.1 初值问题 261
6.1.1 Euler方法 263
6.1.2 解的存在性、唯一性和连续性 268
6.1.3 一阶线性方程 271
6.2 初值问题解法分析 273
6.2.1 局部截断误差和整体截断误差 273
6.2.2 显式梯形方法 277
6.2.3 Taylor方法 280
6.3 常微分方程组 282
6.3.1 高阶方程 284
6.3.2 计算机模拟：摆 285
6.3.3 计算机模拟：轨道力学 289
6.4 Runge-Kutta方法及其应用 294
6.4.1 Runge-Kutta族 294
6.4.2 计算机模拟：Hodgkin-Huxley神经元 297
6.4.3 计算机模拟：Lorenz方程 299
6.5 变步长方法 305
6.5.1 嵌入Runge-Kutta对 305
6.5.2 4/5阶方法 307
6.6 隐式方法和刚性方程 312
6.7 多步方法 316
6.7.1 生成多步方法 316
6.7.2 显式多步方法 319
6.7.3 隐式多步方法 322
第7章 边值问题 328
7.1 打靶法 328
7.1.1 边值问题的解 328
7.1.2 打靶法的实现 332
7.2 有限差分方法 337
7.2.1 线性边值问题 337
7.2.2 非线性边值问题 340
7.3 配置法与有限元法 345
7.3.1 配置法 346
7.3.2 有限元和Galerkin方法 348
第8章 偏微分方程 355
8.1 抛物型偏微分方程 355
8.1.1 前向差分方法 356
8.1.2 前向差分方法的稳定性分析 360
8.1.3 后向差分方法 362
8.1.4 Crank-Nicolson方法 364
8.2 双曲型方程 370
8.2.1 波动方程 370
8.2.2 CFL条件 373
8.3 椭圆型方程 376
8.3.1 椭圆型方程的有限差分方法 377
8.3.2 椭圆型方程的有限元方法 385
第9章 随机数及其应用 397
9.1 随机数 397
9.1.1 伪随机数 398
9.1.2 指数随机数和正态随机数 403
9.2 蒙特卡罗模拟 405
9.2.1 蒙特卡罗估计的幂定律 406
9.2.2 拟随机数 407
9.3 离散布朗运动和连续布朗运动 412
9.3.1 随机游动 412
9.3.2 连续布朗运动 414
9.4 随机微分方程 417
9.4.1 将噪声引入微分方程 417
9.4.2 随机微分方程的数值方法 420
第10章 三角插值和快速Fourier变换 431
10.1 Fourier变换 431
10.1.1 复算术 432
10.1.2 离散Fourier变换 434
10.1.3 快速Fourier变换 436
10.2 三角插值 439
10.2.1 DFT插值定理 439
10.2.2 三角函数的有效求值 443
10.3 FFT和信号处理 447
10.3.1 正交性和插值 447
10.3.2 用三角函数进行最小二乘拟合 449
10.3.3 声音、噪声和过滤 453
第11章 压缩 459
11.1 离散余弦变换 459
11.1.1 一维离散余弦变换 460
11.1.2 DCT和最小二乘逼近 462
11.2 二维DCT和图像压缩 465
11.2.1 二维DCT 465
11.2.2 图像压缩 469
11.2.3 量化 471
11.3 Hu?man编码 478
11.3.1 信息论和编码 479
11.3.2 JPEG格式的Hu?man编码 481
11.4 改进的DCT和音频压缩 485
11.4.1 MDCT 485
11.4.2 位的量化 491
第12章 特征值和奇异值 497
12.1 幂迭代方法 497
12.1.1 幂迭代 498
12.1.2 幂迭代的收敛性 500
12.1.3 逆幂迭代 501
12.1.4 Rayleigh商迭代 503
12.2 QR算法 505
12.2.1 同时迭代 505
12.2.2 实Schur形式和QR算法 509
12.2.3 上Hessenberg形式 511
12.3 奇异值分解 519
12.3.1 一般情况下求SVD 522
12.3.2 特殊情形：对称矩阵 523
12.4 SVD的应用 525
12.4.1 SVD的性质 525
12.4.2 降维 526
12.4.3 压缩 528
12.4.4 计算SVD 529
第13章 最优化 533
13.1 没有导数的无约束最优化 534
13.1.1 黄金分割探索 534
13.1.2 连续抛物线插值法 537
13.1.3 Nelder-Mead搜索 540
13.2 带导数的无约束最优化 543
13.2.1 牛顿法 543
13.2.2 最速下降法 545
13.2.3 共轭梯度法 546
附录A 矩阵代数 551
附录B MATLAB简介 556
· · · · · · (收起)
读后感
本书前言：作者认为，读者不应停留在仅仅学会如何对Newton方法与快速Fourier变换等算法进行编程，还必须吸收那些渗透在数值分析中并把其他相关内容统一起来的伟大思想。收敛性、复杂性、条件作用、压缩以及正交性的概念是这些思想中最重要的。作者通过称为“亮点”的主题格式，...
评分本书前言：作者认为，读者不应停留在仅仅学会如何对Newton方法与快速Fourier变换等算法进行编程，还必须吸收那些渗透在数值分析中并把其他相关内容统一起来的伟大思想。收敛性、复杂性、条件作用、压缩以及正交性的概念是这些思想中最重要的。作者通过称为“亮点”的主题格式，...
评分本书前言：作者认为，读者不应停留在仅仅学会如何对Newton方法与快速Fourier变换等算法进行编程，还必须吸收那些渗透在数值分析中并把其他相关内容统一起来的伟大思想。收敛性、复杂性、条件作用、压缩以及正交性的概念是这些思想中最重要的。作者通过称为“亮点”的主题格式，...
评分淘了一堆书，都是经典，手边成山。每本都是经典，书那么多，时间那么少，怎么看呢？ 这种情况下，被我选中的书，一般以主题取胜。主题有意义，重塑世界观，应用面很广，就优先看。 这本数值分析，就从主题上来说是偏应用的，但是主题偏小，一般不会去看。可是不知为啥，这本书...
评分淘了一堆书，都是经典，手边成山。每本都是经典，书那么多，时间那么少，怎么看呢？ 这种情况下，被我选中的书，一般以主题取胜。主题有意义，重塑世界观，应用面很广，就优先看。 这本数值分析，就从主题上来说是偏应用的，但是主题偏小，一般不会去看。可是不知为啥，这本书...
用户评价
这本《数值分析》的排版和装帧实在让人眼前一亮，拿到手里沉甸甸的，感觉就是一本可以信赖的工具书。虽然我还没有深入阅读每一个定理的推导过程，但光是目录和前言的结构布局，就足以看出作者在组织内容上的用心良苦。它不像市面上很多教材那样堆砌公式和晦涩的理论，而是很注重概念的引入和直观的理解。比如，它对迭代法的介绍，不仅仅停留在公式的罗列，而是穿插了一些实际的工程背景，这对我这个工程背景出身的读者来说，非常友好。书中的图示清晰明了，尤其是在讲解误差分析和稳定性问题时，那些图形直观地展现了不同算法在面对病态问题时的表现差异，这一点比纯文字描述有效得多。我特别欣赏它对算法效率的讨论，不仅仅是时间复杂度的分析，还探讨了在实际计算环境中，内存访问和缓存命中率对性能的影响，这在很多基础教材中是缺失的视角。我目前正在尝试用书中的某个有限差分格式来模拟一个简单的热传导问题，发现书上给出的收敛性证明思路非常清晰，每一步的逻辑衔接都很顺畅，让我对数值方法的严谨性有了更深的体会。这本书的难度适中，对于初学者来说，它提供了一个坚实的理论基础，而对于有一定基础的人来说，它也提供了深入挖掘和拓展研究的方向，是一本值得反复研读的经典之作。
评分作为一名希望在专业领域保持领先地位的研究生，我对于教材的“前沿性”和“覆盖面”有着极高的要求。这本《数值分析》在广度上展现出了惊人的包容性。它不仅覆盖了传统矩阵运算、微分方程数值解等核心内容，更难能可贵的是，它对现代计算科学中的一些热点领域也进行了介绍。例如，它对大规模优化问题的梯度方法进行了详尽的阐述，并且对随机梯度下降（SGD）的收敛性分析给出了简洁而深刻的论述，这对于从事机器学习和数据分析的读者来说，简直是雪中送炭。书的后半部分关于偏微分方程（PDEs）的数值解法，特别是有限元方法（FEM）的入门介绍，结构清晰，为我后续深入学习专业领域的有限元软件提供了坚实的数学基础。我惊喜地发现，书中对于某些算法的“反思”部分，探讨了如何利用现代并行计算架构（如GPU）来加速迭代过程，这表明作者紧跟时代步伐，将经典理论与最新的计算范式相结合。总而言之，这本书不仅仅是回顾经典，更像是一本面向未来的计算数学指南。
评分我必须得说，这本书的习题设计简直是一场智力挑战，而且是那种让人心甘情愿去攻克的挑战。许多习题并非简单的数值代入计算，而是要求读者对理论进行深入的证明或对算法进行精妙的修改与优化。例如，某些证明题需要读者综合运用好几个章节的知识点才能串联起来，真正考验了对全局的把握能力。更棒的是，很多习题附带着“思考题”或“拓展阅读建议”，这鼓励我们不要满足于书本上的结论，而是要去探索算法的边界条件和潜在的改进方向。我花了好大力气完成了一组关于条件数对线性系统解敏感性的分析题，通过手工计算，我才真正理解了为什么数值稳定性在工程中是如此至关重要，那种“茅塞顿开”的感觉是单纯阅读理论推导无法比拟的。另外，这本书的索引做得非常详尽，当我需要快速回顾某个特定概念的定义或公式时，查找起来毫不费力，这在做项目赶时间时显得尤为重要。这本书的价值，一半在于它传授了知识，另一半在于它塑造了我们解决复杂数值问题的思维框架。
评分这本书的叙事风格非常独特，与其说它是一本教材，不如说它是一场精心编排的数学辩论会。作者在引导读者思考问题时，总是会先抛出一个看似简单但实则充满内在矛盾的数值问题，然后带领我们一步步剖析现有方法的局限性，最终水到渠成地引出更优的解法。这种“发现式”的学习路径，极大地激发了我的好奇心和批判性思维。我最喜欢它处理非线性方程求解的部分，对于牛顿法，它没有简单地给出公式，而是深入探讨了“步长选择”和“初始猜测值”对全局收敛性的决定性影响，甚至还用几何直观的方式解释了分岔现象的可能性。此外，书中的历史背景介绍也恰到好处，它会简要提及某个算法的提出背景和当时的技术限制，这让人在学习算法时，更能体会到数学家们解决实际问题的艰辛和智慧，从而对这些工具产生一种敬畏感。与我读过的其他教材相比，这本书的行文节奏把握得非常好，理论的深度和广度达到了一个精妙的平衡，它既保证了严谨性，又不至于让人感到枯燥乏味，读起来有一种“欲罢不能”的探秘感。
评分说实话，我对教材的“实用性”要求极高，这本书在这一点上超出了我的预期。我关注的重点是如何将理论快速转化为可执行的代码，而这本书的精髓似乎就在于此。它对每一种数值方法的介绍，几乎都配上了伪代码，而且伪代码的风格非常贴近主流的编程语言（比如Python或MATLAB），这极大地降低了读者从理论到实践的转换门槛。我尤其欣赏它在讨论特定算法时，会详细分析其“陷阱”——比如，为什么某些看似收敛很快的方法在实际操作中会因为浮点数精度问题而崩溃，以及如何通过重新组织计算步骤来规避这些问题。这不仅仅是数学知识的传授，更像是经验丰富的工程师在分享“避坑指南”。比如，在讲解特征值问题的求解时，它没有直接跳到复杂的QR算法，而是先用幂迭代法铺垫了迭代思想，再逐步引入更复杂的概念，这种循序渐进的教学设计，让学习过程充满了成就感，而不是被动接受。我甚至发现，书里讨论的很多数值技巧，比如如何高效地进行插值多项式的评估，或者如何使用稀疏矩阵存储格式，都是我在实际工作中经常需要查阅的知识点，能在一本教材里系统地找到，实在幸运。这绝对不是那种只停留在象牙塔里的理论手册，而是一本实打实的“作战手册”。
评分推荐
评分数值分析研究的是用计算机解决数学问题的方法，使用的是最基本的算数运算：加法和乘法。越是基本的运算，我们越要把它做得正确。
评分很好地配合教材进行理解
评分╮(￣▽￣")╭
评分╮(￣▽￣")╭
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