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出版者:北京大学出版社

作者:庄圻泰

出品人:

页数:356

译者:

出版时间:1984

价格:1.55

装帧:

isbn号码:9787301002124

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 复变函数
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• 高等数学
• 函数论
• 解析函数
• 留数定理
• 共形映射
• 复积分
• 数学

《复变函数》 本书致力于为读者提供一个扎实而深入的复变函数理论体系。我们将从最基础的概念出发，逐步构建起复数、复变函数及其基本性质的理解框架。 第一章：复数与复平面 本章将详细介绍复数的代数形式、几何意义以及与之相关的运算。读者将学习复数的加法、减法、乘法、除法，以及复数的模、幅角、共轭复数等重要概念。我们将深入探讨复数的极坐标表示，并利用棣莫弗定理解决复数的乘方和开方问题。此外，本章还会引入复平面这一重要的几何工具，展示复数与平面点之间的对应关系，并初步接触复数运算在几何上的直观体现。 第二章：复变函数与解析函数 本章的核心在于定义复变函数，并深入研究其连续性、可导性以及微分。我们将重点阐述柯西-黎曼方程，这是判断一个复变函数是否解析的关键。解析函数的概念及其重要性将被贯穿全书。读者将学习如何判断一个复变函数是否为解析函数，并掌握解析函数的性质，例如解析函数的和、差、积、商以及复合函数仍然是解析函数。 第三章：解析函数的积分 积分是复变函数理论中极其重要的工具。本章将引入复变函数的积分概念，包括沿曲线的复积分。我们将详细介绍柯西-积分定理及其重要的推论，例如柯西-积分公式。柯西-积分公式是复变函数理论的基石之一，它将解析函数在区域内的值与其边界上的值联系起来。本章还将探讨多连通区域上的积分定理，为后续更复杂的积分计算打下基础。 第四章：解析函数的级数表示 本章将聚焦于解析函数的级数表示，特别是泰勒级数和洛朗级数。泰勒级数使得我们能够用多项式来逼近解析函数，而洛朗级数则将这一概念推广到包含奇点的函数，为我们分析函数的局部行为提供了强大的工具。我们将详细讨论级数的收敛性，以及如何利用泰勒级数和洛朗级数来展开函数。 第五章：解析函数的奇点与留数 奇点是复变函数理论中一个至关重要的概念。本章将深入研究解析函数的各种奇点，包括可去奇点、极点和本性奇点。我们还将引入留数这一关键概念，并详细阐述如何计算留数。留数定理是利用留数计算复变函数积分的强大方法，在许多实际问题中有着广泛的应用，例如求解定积分和无穷级数。 第六章：解析延拓与单值函数 本章将探讨解析延拓的概念，它允许我们将一个解析函数从一个区域推广到更大的区域。我们将研究单值函数，并引入单值化定理，它为我们理解多值函数的结构提供了清晰的思路。 第七章：共形映射 共形映射在几何和物理学中具有极其重要的应用。本章将介绍共形映射的定义及其性质，并重点研究一些重要的共形映射，例如莫比乌斯变换。我们将展示如何利用共形映射来解决一些几何和物理问题，例如流体动力学和电势理论中的问题。 第八章：整函数与亚纯函数 本章将深入研究整函数（在整个复平面上都解析的函数）和亚纯函数（在有限个点上有极点的解析函数）。我们将探讨它们的重要性质，例如刘维尔定理和皮卡定理。 第九章：调和函数 调和函数是与解析函数密切相关的另一类重要函数。本章将介绍调和函数的定义，并阐述其与解析函数之间的对应关系。我们将研究调和函数的性质，并探讨其在物理学和工程学中的应用，例如在热传导和静电场问题中的应用。 第十章：积分变换初步 本章将初步介绍与复变函数相关的积分变换，例如拉普拉斯变换和傅里叶变换。这些变换在信号处理、系统分析和微分方程求解等领域有着广泛的应用。 本书的编写力求严谨、清晰，并辅以丰富的例子和习题，旨在帮助读者扎实掌握复变函数的核心理论，并为进一步学习相关领域奠定坚实的基础。

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这本书在逻辑结构的组织上，展现出一种罕见的严密性与灵活性并存的特点。从第一章到最后一章的过渡，几乎找不到任何生硬的跳跃，每一个概念的引入都像是水到渠成，是前置知识的必然延伸。特别是那些跨章节的联系，作者巧妙地设置了“回顾与展望”的环节，使得看似独立的章节实则紧密相连，形成了一个巨大的知识网络。然而，这种严密性并没有牺牲掉探索的乐趣。作者在阐述核心理论的同时，也穿插了一些历史背景的介绍和不同学派观点的交锋，这让原本冰冷的数学公式瞬间鲜活了起来，充满了人文的温度。我感觉自己不是在被动接受既有知识，而是在参与一场跨越时空的学术对话。这种深度的历史和思想铺垫，使得对理论的理解不仅仅停留在“会用”的层面，更能理解其“为何如此”的哲学根基。

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坦白说，这本书的学术深度是毋庸置疑的，它绝非那种浅尝辄止的入门读物。但真正让我感到震撼的是，它在保持高水平学术严谨性的同时，成功地保持了一种难以言喻的“美感”。这种美感体现在对对称性、一致性和简洁性的极致追求上。作者在展示定理的证明时，总是能找到那条最优雅、最简洁的路径，仿佛在雕刻一件数学艺术品。阅读过程本身就成为了一种享受，你会情不自禁地停下来，回味某个证明的巧妙之处，欣赏公式之间的和谐共振。它不仅仅是传授工具，更是在培养一种数学的审美观，一种对清晰、逻辑和结构之美的向往。这本书的价值，已经超越了单纯的知识传递，它在精神层面给予了我极大的鼓舞，让我对整个数学领域产生了更深层次的敬畏与热爱。

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作为一名自学者，我最看重的是教材的实用性和自我修正能力。这本书在这方面做得非常出色。每章末尾的习题设计极具匠心，它们不再是简单的计算练习，而是包含了大量的思考题和开放性问题，真正考验对概念的理解深度。更令人惊喜的是，这本书似乎为每一道难度较高的习题都提供了非常详尽的解题思路引导，而不是仅仅给出最终答案。这种引导方式非常人性化，它不会直接告诉你答案，而是指出解决问题的关键切入点，鼓励你独立完成最后一步。对于我这种缺乏实时指导的学习者来说，这相当于内置了一个“智能提示系统”，能在关键时刻点拨迷津，避免陷入死胡同，极大地提高了学习效率和解决问题的信心。

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初次翻阅，我发现作者的叙述方式极其富有启发性，不像传统教材那样只是将知识点堆砌起来，而是采用了一种更接近于“对话”的口吻在引导读者。他似乎总能预判到读者在某个概念上可能会产生的困惑，并在恰当的时机给出非常直观的类比或者几何解释。这种处理方式极大地降低了初学者面对高深理论时的心理门槛。举个例子，在介绍某些基本拓扑性质时，作者没有直接抛出严苛的定义，而是先用一个非常生活化的场景来描述其内在的联系和约束，然后再慢慢过渡到数学语言的精确表达。这种循序渐进的引导，让复杂的逻辑链条变得不再那么令人望而却步。它更像是一位经验丰富的导师，耐心细致地为你搭建知识的脚手架，让你自己一步步走上去，而不是简单地把你推到山顶。这种教学相长的感觉，是许多教科书所缺失的宝贵品质。

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这本书的装帧设计实在让人眼前一亮，拿到手的时候就感觉到一种沉甸甸的质感，封面设计简洁却不失深邃感，那种留白的处理，仿佛在暗示着数学世界中那些尚未被完全探索的领域。内页的纸张质量也相当不错，摸上去光滑细腻，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到过分疲劳。我尤其欣赏它在排版上的用心，公式的间距、定理的标注都做得非常清晰易读，这对于一本理工科的专业书籍来说至关重要。很多教材为了追求信息密度，往往会将版面挤得满满当当，让人望而生畏，但这本似乎完全避免了这个问题。它在视觉上提供了一种呼吸感，让你在处理那些抽象的符号和复杂的证明时，能有片刻的喘息和整理思路的空间。虽然我还没深入研究它的具体内容，但仅从物理形态上来说，它无疑是本值得收藏的佳作，放在书架上也是一件赏心悦目的艺术品，体现了出版方对读者的尊重。

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