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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:M.A. Naimark

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1982-12-31

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540906025

丛书系列:

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《抽象代数核心概念：群与环的深度探索》 书籍简介 本书旨在为读者提供一套严谨而全面的抽象代数基础知识体系，重点聚焦于群论与环论的核心概念及其在数学结构分析中的应用。不同于侧重于特定表示理论的著作，本书的立足点在于奠定坚实的代数基础，深入剖析结构本身的美感与内在联系。全书内容组织紧凑，逻辑清晰，力求使初学者能够扎实掌握基本定义和定理，同时也为有一定基础的读者提供更深层次的洞察与思考空间。 第一部分：群论基础与结构分析 本书的开篇将带领读者进入群的纯粹世界。我们首先从群的公理化定义出发，详尽阐述了子群、陪集、正规子群以及商群的概念。重点在于理解这些结构如何保持群运算的封闭性和一致性。 1.1 基础构造与实例： 详细讨论了有限群的阶，拉格朗日定理作为不可或缺的基石，其证明被细致剖析，并辅以大量经典例子，如二面体群 $D_n$、对称群 $S_n$ 以及循环群 $mathbb{Z}_n$。我们不仅关注运算的封闭性，更深入探讨了群作用（Group Actions）的概念，这是连接群与集合之间动态关系的桥梁。我们利用轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）来计算特定作用下的集合元素数量，展示了该理论的强大威力。 1.2 同态、同构与分类： 本部分对群同态和同构进行了严格定义和系统性的探讨。关键定理，如第一、第二、第三同构定理，被视为理解不同群结构之间关系的核心工具。我们详细分析了这些定理的几何意义，阐明了商群如何“吸收”了正规子群的信息，形成了结构上的等价关系。 1.3 特殊群的性质： 深入研究了交换群（Abelian Groups）的结构，引入了子群的生成元和自由生成群（Free Groups）的概念。针对有限生成交换群，我们引入了有限生成交换群基本定理，这是分类有限群结构的关键步骤，尽管本书不涉及表示理论，但对这些基本结构的彻底理解是后续更复杂理论的先决条件。我们还探讨了Sylow定理——有限群理论的巅峰之作，详细阐述了Sylow $p$-子群的存在性、数量和共轭关系，并展示了如何利用这些定理来证明特定阶群的结构性质，例如判断某些群是否是幂零群或简单群。 第二部分：环论的拓展与理想的深度解析 在掌握了群的单目运算结构后，本书的第二部分将视角转向具有两种运算（加法和乘法）的环结构。 2.1 环的定义与基本性质： 从环的公理出发，详细讨论了交换环、单位环、整环以及域的概念。我们着重分析了环中“零因子”对乘法结构的影响，以及域作为乘法封闭结构（非零元素下）的重要性。 2.2 子环与理想： 子环的定义相对直观，但理想（Ideals）的概念则是环论区别于群论的关键。我们严格区分了左理想、右理想和双边理想，并解释了理想作为“加法子群且对乘法有吸收性”的本质。商环（Quotient Rings）的构建，与商群的构造形成了鲜明的对应关系，我们通过同构定理来巩固这种类比。 2.3 主理想与唯一因子分解： 本部分对特定类型的环进行了深入细分。我们详细探讨了主理想环（Principal Ideal Domains, PID），其中每个理想都可以由单个元素生成。这自然引出了欧几里得整环（Euclidean Domains, ED）的概念，以及这些结构之间的包含关系：$ ext{ED} subset ext{PID} subset ext{UFD}$。我们利用这些结构，如在 $mathbb{Z}[i]$ 中验证其作为唯一因子分解整环（Unique Factorization Domains, UFD）的性质，并利用PID的性质来简化对模或向量空间的讨论（虽然本书不对模进行深入展开）。 2.4 环的同态与构造： 环同态的定义继承了群同态的特征，但必须保持两种运算的结构。我们再次应用同构定理来比较不同商环之间的关系。对于多项式环 $F[x]$ 的研究占据了重要篇幅，我们利用除法算法来展示 $F[x]$ 的结构，并讨论了如何通过构造商环 $F[x]/langle p(x) angle$ 来引入域的扩张概念，这是理解代数数论和域论的垫脚石。 第三部分：从基础到高级概念的桥梁 本书的最后一部分旨在将前两部分的概念融会贯通，并触及一些更高级代数结构的基础。 3.1 模论的初步接触： 尽管本书不提供全面的模论，但我们介绍了模（Modules）作为向量空间在环上的推广。通过将自由模与向量空间进行对比，读者可以直观地理解为什么在非主理想环上，模的结构分析会变得异常复杂，从而为理解需要更复杂工具（如表示理论）来简化结构的动机提供背景。 3.2 域论的萌芽： 我们利用前面对PID和理想的理解，引入了域的扩张（Field Extensions）的概念。通过对不可约多项式的分析，我们展示了如何从一个基础域 $F$ 构造出包含根的域 $E$，这完全依赖于对多项式环 $F[x]$ 中理想结构（特别是极大理想）的深刻理解。 结论 《抽象代数核心概念：群与环的深度探索》是一本为数学、物理及计算机科学专业学生设计的严谨教材。它专注于代数结构本身的内在规律，构建了一个从基础公理到高级结构分析的完整知识框架。本书的价值在于其对结构本质的强调，为读者在未来学习更专业的分支领域（如代数拓扑、代数几何或任何涉及结构化分析的领域）打下坚不可摧的理论根基。全书配有数百道精心设计的习题，旨在通过实践巩固理论理解。

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这本书，我承认，大部分时候都让我感到力不从心。它的语言风格非常“数学”，充满了专业的术语和符号，这使得我在阅读时，需要不断地查阅词汇表和符号表。作者的假设是读者已经具备了相当的群论和线性代数基础，并且能够理解高度抽象的概念。我虽然学过相关的课程，但实践经验不足，这使得我在理解那些微妙的数学技巧时，遇到了不小的障碍。例如，书中多次提到的“同构”和“等价”这两个概念，我一开始很容易混淆，直到读到后面关于“表示的分类”时，才勉强区分开来。作者在证明某些定理时，经常会引用之前章节的结论，这要求读者对整个理论体系有一个连贯的认知，一旦前面某个地方没弄明白，后面就会处处受阻。我曾尝试过“跳读”，直接阅读自己感兴趣的部分，但很快就发现，没有前面的铺垫，后面的内容是无法理解的。这本书更适合那些已经对群表示论有一定了解，并且希望深入研究某个特定方向的读者。对于初学者而言，它可能更像是一本“劝退指南”。

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读完《群表示论》，我最大的感受是，自己对数学的理解层次又上了一个台阶，尽管这个过程充满了挫败感。这本书的结构设计非常紧凑，每个定理的陈述都简洁有力，但其背后的证明往往需要多方面的知识储备。我曾经在一个证明中遇到了一个需要用到“商群”性质的地方，而我当时对商群的理解还不够透彻，这导致我花了整整一个下午的时间来回顾商群的定义和性质，才最终理解了那个证明。作者在书中提到了一些“标准结果”和“常用引理”，这些对于熟悉该领域的人来说可能只是“常识”，但对我而言，却是一个个需要攻克的“难关”。我曾尝试过将书中出现的每一个引理都单独列出来，并尝试自己去证明它们，以此来加深理解。这种做法虽然耗时，但确实帮助我更好地掌握了书中的核心思想。然而，也正是这种“笨拙”的学习方式，让我意识到这本书的难度。它更像是一本“武林秘籍”，需要通过反复的修炼才能领悟其中的奥妙，而非一本“说明书”。

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《群表示论》这本书，与其说是一本书，不如说是一扇通往更深层数学世界的门。它不是那种能够让你在轻松愉快中学习的读物，更多的是一种智力上的挑战。我记得在阅读关于“特征标”的章节时，作者通过一系列的公式和计算，展示了如何从一个表示的特征标中提取出关于该表示的丰富信息。这个过程非常精妙，也让我第一次体会到数学的“美感”——一种隐藏在严谨逻辑中的深刻洞察。但是，要达到这种“体会”的过程，却是异常坎难。我常常需要在纸上写写画画，将作者给出的每一个公式都进行演算，确保自己能够理解其每一步的含义。有时，我会发现作者的推导过程非常跳跃，需要自己花很长时间去填补中间的逻辑空白。这本书的内容深度是毋庸置疑的，它为我打开了许多之前从未想过的问题。然而，也正是这种深度，让我感到自己的知识储备和思维能力都有待提高。我发现，在理解这本书的过程中，我不仅是在学习群表示论，更是在学习如何进行严谨的数学思考。

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《群表示论》这本书，我花了将近两个月的时间才算初步消化。坦白说，拿到它的时候，我满脑子都是初次接触“群”这个概念时的那种晕头转向。抽象代数本身就不是一件容易的事，而表示论更是将这种抽象推向了一个新的高度。起初，我试图按照章节顺序，一行一行地仔细研读，但这很快就证明是一条艰难的道路。定理的证明往往跳跃性很大，对于没有扎实基础的读者来说，很容易就会被淹没在各种符号和定义中。我记得第一章关于“表示”的定义，就花了整整一个下午去理解，反复对照例子，试图找到那个“aha moment”。幸运的是，书中提供的例子，虽然有时看起来很初级，但却为理解那些抽象的理论提供了绝佳的入口。例如，矩阵群的表示，那个二维向量空间的旋转矩阵，就是我最先抓住的“救命稻草”。通过将抽象的群操作具体化为矩阵运算，我才勉强感知到表示论的核心思想：用我们更熟悉的“对象”（如向量空间、线性变换）来研究那些抽象的“结构”（如群）。但是，一旦进入到“酉表示”、“不可约表示”等概念，情况就变得复杂多了。我发现自己常常需要回溯前面的章节，甚至去查阅一些外部资料，才能勉强跟上作者的思路。书中的一些证明，例如Schur引理的证明，就对我来说是一个巨大的挑战，我不得不花费更多的时间，一点一点地分解，理解每一步的逻辑。即便如此，我依然觉得自己在理解上还有很大的欠缺，很多时候只是“知道”了，但并未真正“领悟”。

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这本书，对我而言，是一场关于“理解”的持久战。作者的写作风格非常“学术化”，缺乏对初学者的“关照”，很多时候，读者需要自己去填补知识的空白。我记得在阅读“直和”和“直积”的概念时，作者仅仅是给出了它们的定义，并没有给出太多的直观解释。我不得不借助其他资料，才勉强理解了这些概念的几何意义。书中的习题，难度跨度很大，有些习题非常基础，而有些习题则需要运用多章的知识才能解决。我曾尝试过解决一些习题，但常常发现自己仅仅是知道了题目，却不知道如何下手。这本书的价值在于，它能够让你接触到数学研究的前沿，看到数学家们是如何思考和解决问题的。然而，要真正从这本书中获益，需要付出巨大的努力和耐心。我常常需要在阅读一个章节后，花很长时间来消化和吸收，并且需要不断地回顾前面的内容，才能保证自己的理解是连贯的。

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坦白说，《群表示论》这本书的阅读体验，对我而言更像是一次漫长而艰辛的攀登。从目录上看，它似乎是一条清晰的路径，但实际走上去，才发现布满了荆棘。我记得在阅读“表示的张量积”那一章时，作者用了好几个篇幅来阐述这个概念的构造和性质。我反复地画图，试图将抽象的张量积运算可视化，但效果并不显著。很多时候，我只能依靠文字描述和公式推导来理解。书中的例题，虽然有助于理解概念，但往往只是冰点，真正的挑战在于那些没有给出详细解答的习题。我尝试做了一些，但发现自己常常卡在中间，找不到突破口。这让我反思，自己对于基础知识的掌握是否还不够牢固。这本书对我来说，更像是一部“参考书”，而非“教科书”。当我遇到具体的问题时，会翻阅它，寻找相关的定义和定理，然后尝试将它们应用到我的问题中。但要让我从头到尾通读并理解，则是一项极其艰巨的任务。作者的写作风格偏向于直接给出结论和证明，缺乏足够的过渡和解释，这对于习惯了“循循善诱”教学风格的我来说，是一种考验。

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《群表示论》这本书，给了我一种“抽丝剥茧”的学习体验。作者在处理问题时，总是先从最一般的情况出发，然后逐步细化，直到得到具体的结果。我记得在阅读关于“有限群的表示”时，作者首先引入了“群代数”的概念，然后利用群代数的性质来研究群的表示。这个过程非常有条理，但也需要读者具备一定的抽象代数知识。书中的例子，虽然不多，但都非常有代表性，能够很好地说明抽象概念的实际应用。例如，作者在介绍“特征标”时，就引用了对称群的例子，通过计算对称群的特征标，来展示特征标的性质。然而，即便有了这些例子，我仍然觉得自己在理解一些更深层次的联系时，还存在障碍。很多时候，我只是“记住了”作者给出的结论，但并没有真正“理解”它们是如何推导出来的。这本书的挑战性在于，它不仅仅是知识的传授，更重要的是思维方式的训练，一种严谨、逻辑化的数学思维。

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这本书，我真的可以说是一字一句地啃下来的。作者的写作风格非常“硬核”，即便是最基础的概念，也用非常严谨的数学语言来定义。我记得书中关于“群同态”和“表示同态”的区分，就用了相当篇幅来阐述，并且给出了非常抽象的例子。我花了大量的时间去理解这些概念之间的联系和区别，特别是当这些概念被应用到更复杂的场景中时。书中的证明，往往都非常“简洁”，简洁到我常常需要自己去补充很多中间步骤，才能将作者的思路完整地梳理出来。我曾尝试过与其他同学一起讨论书中内容，但发现我们都普遍觉得书中的某些部分过于抽象，难以理解。例如，关于“表示的张量乘积”的分解，作者给出了一个非常巧妙的公式，但要真正理解这个公式的由来和意义，需要对向量空间的张量乘积有非常深入的理解。我曾怀疑自己是否真的有能力完全掌握这本书的内容，但每次当我能够理解一个小的证明或者一个定理时，又会重新燃起学习的动力。

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《群表示论》这本书，我必须承认，它极大地挑战了我的学习极限。作者的风格是那种“直接切入主题”的，很少有废话，每一句话都饱含着数学信息。我记得在阅读关于“表示的等价类”时，作者给出了非常精确的定义，并且通过几个例子来区分不同的等价类。然而，当这些概念被应用到更复杂的场景时，我就开始感到力不从心。书中的证明，往往都非常“简洁”，简洁到我常常需要自己去补充很多中间步骤，才能将作者的思路完整地梳理出来。我曾尝试过将书中出现的每一个定义和定理都写下来，并尝试自己去证明它们，以此来加深理解。这种做法虽然耗时，但确实帮助我更好地掌握了书中的核心思想。然而，也正是这种“笨拙”的学习方式，让我意识到这本书的难度。它更像是一本“武林秘籍”，需要通过反复的修炼才能领悟其中的奥妙，而非一本“说明书”。

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这本书带给我的，与其说是对群表示论的全面掌握，不如说是一种对数学研究方法的深刻体验。作者在阐述概念时，总是在严谨的定义之后，紧接着是大段篇幅的理论推导，这使得它更像是一部“实战手册”，而非一本“入门指南”。我尤其欣赏书中在推导过程中展现出的那种精巧的逻辑链条，以及作者对于如何运用已有的知识来解决新问题的洞察力。比如，在讨论特征标理论时，作者巧妙地利用了群的中心子和正规子群的性质，来简化对表示的分析。这种层层递进、步步为营的风格，虽然对初学者不够友好，但对于有一定基础的读者而言，却能带来极大的启发。我常常在读到某个定理的证明时，会停下来思考，作者是如何一步步构建出这个结论的？这种思考过程本身，就是一种学习。有时，我会主动地尝试去重构作者的证明，或者寻找其他的证明方法，这不仅巩固了我对概念的理解，也锻炼了我独立解决问题的能力。这本书的另一个优点在于其内容的广度。它不仅涵盖了群表示论的基础理论，还触及了如表示的张量积、诱导表示等更高级的课题。虽然我在这部分内容上遇到了更大的困难，但我仍然能够从中感受到作者想要构建一个完整且相互关联的理论体系的野心。

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