Wreath Products of Groups and Semigroups (Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathemat pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Chapman & Hall/CRC

作者:J D P Meldrum

出品人:

页数:336

译者:

出版时间:1995-06-06

价格:USD 195.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780582026933

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 代数
• Group theory
• Semigroup theory
• Wreath products
• Algebraic structures
• Mathematical monographs
• Pure mathematics
• Applied mathematics
• Combinatorics
• Abstract algebra
• Group actions

《群与半群的圈积：结构、应用与前沿探索》 简介 本书深入探讨了代数结构中一个至关重要的概念——群和半群的“圈积”（Wreath Product）。作为一个在组合数学、表示论、计算机科学以及更广阔的抽象代数领域中具有深远影响的构造方法，圈积提供了一种构建复杂代数对象（群或半群）的系统框架，这些复杂对象通常由更简单的、可识别的构件通过特定的组合方式连接而成。 本书旨在为代数研究人员、高阶研究生以及对结构理论感兴趣的专业人士提供一份全面且深入的参考。它不仅详尽阐述了圈积的精确定义、基本性质和计算方法，还着重分析了其在各种代数理论中的应用，并展望了这一领域当前及未来的研究方向。 第一部分：基础与定义——圈积的构建基石 本部分从最基本的群论和半群论概念入手，为理解圈积的构造打下坚实的基础。 1.1 群与半群的基本代数背景回顾 本章回顾了必要的群论知识，包括子群、正规子群、商群、同态、同构定理。对于半群，重点讨论了正则半群、变换半群的概念，以及与群论的联系（如最大群的结构）。理解这些概念是掌握圈积构建逻辑的前提。 1.2 圈积的正式定义与构造 核心章节，详细介绍了圈积的精确数学定义。对于两个群（或半群）$G$ 和 $H$，圈积 $G wr H$ 的构造过程被分解为两个主要步骤：基础构造（Base Construction）和提升（Lifting/Inflation）。 基础构造： 引入直积和正则表示的概念，构建自由半群的表示。特别关注了由 $G$ 的 $H$ 次拷贝构成的基础群 $G^{ imes H}$。 提升步骤： 阐述如何通过 $H$ 的作用将 $G^{ imes H}$ 提升（或扩张）为一个更大的结构 $G wr H$。这一过程依赖于 $H$ 作为变换群对 $G^{ imes H}$ 上的特定作用。 1.3 结构性质与初级分析 本章分析了圈积的内部结构特性。讨论了子群、正规子群的传递性，以及圈积中元素的阶（Order）和周期性。引入了高度（Height）的概念，这是衡量圈积复杂性的关键参数，并探讨了高度如何影响整个结构的性质。 第二部分：圈积的性质与理论深化 本部分将焦点从构造本身转移到圈积作为一种代数对象的深层数学性质，包括其在分解理论和表示论中的角色。 2.1 幂零性、可解性与伯恩赛德问题 圈积在研究群的特定性质（如幂零性、可解性）时表现出独特的行为。本章探讨了当 $G$ 和 $H$ 具有特定性质时，圈积 $G wr H$ 如何继承或改变这些性质。深入分析了当 $G$ 为有限群时，圈积的有限性与无限性问题，并与伯恩赛德（Burnside）群的构造进行了对比研究。 2.2 圈积在分解定理中的应用 圈积是分解理论（如分解为直积或半直积）中一个强大的工具。本章研究了如何利用圈积的结构来分解复杂的群和半群。讨论了圈积在阿廷/诺特理论中的应用，特别是对于模和理想的结构分析。 2.3 表示论中的作用：诱导表示与Frobenius互换 在表示论中，圈积是构造诱导表示（Induced Representations）和限制表示（Restricted Representations）的关键。本章详细分析了如何利用圈积的结构来构建或描述特定的表示空间。重点讨论了Frobenius互换定理在圈积环境下的推广与应用，以及其在计算特征标（Characters）方面的优势。 第三部分：圈积的变体与特定代数结构 本部分扩展了对标准圈积的理解，并考察了其在更专业化结构中的表现。 3.1 半群的圈积：超越群的边界 虽然圈积通常在群的背景下被讨论，但其构造思想同样适用于半群。本章专门探讨了半群的圈积，特别是变换半群的圈积。分析了这种构造如何用于建模状态机和自动机理论中的复杂转换过程。 3.2 自由度量群与群的亚幂 本章探讨了圈积与自由度量群（Free Monoids）之间的深刻联系。通过将群作用视为一系列变换，我们能将圈积视为自由度量群的特定商结构。此外，还研究了“群的亚幂”（Sub-exponentiation of Groups）的概念，以及它与圈积的对偶性关系。 3.3 有限群的有限表示与计算复杂性 对于有限群 $G$ 和 $H$，其圈积 $G wr H$ 的结构复杂性是显著增加的。本章关注于如何使用计算代数工具（如计算群论软件）来解析和可视化有限圈积的结构。探讨了在处理阶数极高的圈积时遇到的计算挑战，以及如何应用Schreier-Jordan-Hölder 定理的推广来管理这些结构。 第四部分：前沿探索与跨学科联系 本书的最后部分聚焦于圈积当前的研究热点和其在代数领域之外的潜在应用。 4.1 结构群与遍历理论 在遍历理论（Ergodic Theory）中，群的作用是研究测度空间变化的核心。本章探讨了圈积如何作为一种复杂的作用群出现，并分析了这些复杂作用群对遍历系统的可逆性、混合性和不变测度的影响。 4.2 范畴论视角下的圈积 从更高层次来看，圈积可以被理解为特定范畴（如群范畴或半群范畴）中的一个构造。本章引入了对圈积的范畴论描述，探讨了其作为张量积或伴随函子的推广形式的可能性，这为未来进一步的抽象化提供了工具。 4.3 组合结构与图论 圈积的构造天然地与组合结构相关联。本章展示了圈积如何用于构建具有特定对称性或连接特性的图（Graphs）或超图（Hypergraphs）。特别是，探讨了与Schreier图和Cayley图相关的构造，以及圈积在设计具有强正则性质的组合对象中的应用。 结论 本书清晰地阐释了群与半群的圈积并非一个孤立的代数构造，而是连接基础结构理论、表示论、组合学与高级抽象代数的核心桥梁。通过系统地梳理其定义、深入分析其复杂性质，并展望其在现代数学中的应用方向，本书旨在推动读者对代数结构复杂性的理解和研究。

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这本书的封面设计着实吸引了我。它不像一些枯燥的数学专著那样，封面图案有一种抽象的几何美感，色彩搭配也很沉静，传递出一种严谨又不失深度的学术氛围。当我第一次翻开它的时候，一股纸张特有的淡淡的墨香扑鼻而来，这种触感和气味，对于一个沉迷于纸质书籍的读者来说，无疑是一种无声的欢迎。目录的编排也非常清晰，章节的划分逻辑性很强，从最基础的概念引入，逐步深入到更复杂的理论和应用。我尤其欣赏的是它开篇就对“群”和“半群”这两个核心概念进行了详尽且富有启发性的阐述，这对于我这样背景不是特别深厚的读者来说，是至关重要的。作者显然非常注重读者的接受程度，在讲解过程中，并没有一开始就抛出大量的专业术语和复杂的公式，而是循序渐进，用一种非常连贯的方式引导我进入到这个领域。初读的几章，我感觉自己像是在一个精心设计的迷宫中探索，每一步都带着惊喜，每一个概念的引入都像是为你打开了一扇新的窗户，让你看到更广阔的世界。它并非那种让你一眼就能望到底的书，而是需要你静下心来，反复品味，细细揣摩，才能体会到其中精妙之处。

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在深入阅读的过程中，我越来越被书中对于“群的环”这种结构所吸引。作者的讲解方式非常清晰，他先是回顾了群的基本性质，然后逐步构建出“群的环”这一更复杂的结构，并详细阐述了它的构成要素和运算规则。我特别欣赏的是，书中并没有回避那些比较抽象的定义和证明，而是以一种非常系统和耐心的态度去梳理它们。许多概念的引入都伴随着详细的例子，这些例子往往来源于其他已知的数学结构，这使得抽象的概念变得更加具体和易于理解。比如，当介绍“自由群的环”时，作者用了相当篇幅来解释自由群的构造，以及在此基础上如何定义环的运算。我注意到书中使用的数学符号非常规范，并且在第一次出现时都进行了详细的解释，这对于我这样不熟悉某些专业领域的读者来说，是极大的帮助。此外，书中还穿插了一些关于“半群的环”的研究，这进一步拓宽了我的视野，让我看到了代数结构研究的多样性和丰富性。

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这本书在“表示论”方面的论述，可以说是给我打开了一扇新的大门。作者从“群的表示”讲起，然后自然地过渡到“群的环的表示”，并且深入探讨了其中的一些关键概念，比如“不可约表示”和“特征标”。我一直对表示论的直观性和应用性很感兴趣，而这本书恰恰在这方面做得非常出色。作者通过大量的例子，生动地展示了如何利用表示论来研究群的结构。我尤其欣赏书中对“线性代数”和“群论”的结合运用，这使得原本抽象的群论概念变得更加具象化。书中对“半群的表示”的讨论也同样精彩，它让我看到了表示论在更广阔的代数领域中的应用前景。我注意到书中还涉及了一些关于“表示的张量积”和“表示的直积”的计算，这进一步加深了我对表示论的理解。

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这本书在“同调代数”方面的阐述，给了我极大的启发。作者巧妙地将同调代数的工具，比如“链复形”和“同调群”，运用到“群的环”和“半群的环”的研究中。我一直觉得同调代数是一个非常强大的工具，能够解决许多其他方法难以处理的问题，而这本书恰恰证明了这一点。作者通过生动的例子，展示了如何利用同调代数来研究环的结构，比如“挠引子”和“扩张”。我特别欣赏书中对“射影模”和“内射模”的讨论，以及它们在同调代数中的重要作用。书中还涉及了一些关于“谱序列”的介绍，这让我对同调代数的研究又有了更深的认识。

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这本书的“泛代数”视角，让我在阅读时感到非常耳目一新。作者并没有将“群”、“半群”和“环”孤立地看待，而是试图从一个更宏观的视角去理解它们之间的共性和差异。我非常喜欢书中对“代数结构”的统一刻画，以及对“方程”和“同态”在泛代数中的作用的讨论。这使得我能够从一个全新的角度去审视我之前学习过的那些代数概念。我注意到书中还涉及了一些关于“自由代数”和“代数规约”的研究，这让我对代数结构的研究又有了更深一层的认识。这本书的数学语言非常精炼，但同时又充满了深度。很多时候，一个看似简单的公式背后，都蕴含着作者对问题的深刻洞察。

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这本书最让我印象深刻的是它对于“环”这个概念的引入和扩展。我原本对代数结构中的“环”有一些零散的了解，但这本书将它与“群”和“半群”紧密地联系起来，形成了一个更加宏大而统一的视角。作者在解释“环”的性质时，采用了非常直观的比喻和例子，这大大降低了我理解的门槛。例如，在讨论“环的同态”时，作者并没有直接给出抽象的定义，而是通过类比现实生活中某些映射关系，让我更容易理解其内在逻辑。更让我惊喜的是，书中对“半环”和“伪环”等一些相对冷门的结构也进行了深入的探讨，这对于我拓宽知识面非常有帮助。我注意到书中引用的文献非常广泛，而且非常注重历史渊源的梳理，这让我在学习理论的同时，也能感受到数学发展的脉络和深度。我特别喜欢它在讲解某些定理时，会追溯到最初的提出者和证明过程，这不仅增加了知识的厚重感，也让我对这些数学家们严谨的思维方式肃然起敬。这本书的出版年份也相当早，但其中的理论和思想至今依然具有很强的生命力，这充分证明了作者选取的课题的经典性和前瞻性。

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这本书的“格论”部分，给我带来了很多惊喜。作者将“格”的抽象概念与“群”和“半群”的结构联系起来，揭示了它们之间有趣的代数关系。我非常欣赏作者在讲解“格的格同态”和“格的子格”时，所使用的那些直观的例子。这些例子能够帮助我更好地理解抽象概念的实际含义。我注意到书中还涉及了一些关于“自由格”和“格的规约”的研究，这让我对格论的研究又有了更深一层的认识。书中对“半格”和“伪格”的探讨也同样精彩，它为我理解更一般的格结构提供了重要的视角。

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这本书关于“代数范畴”的论述，让我对抽象代数有了更深层次的理解。作者从“范畴”的语言出发，将“群”、“半群”和“环”等代数结构看作是范畴中的对象，并通过“函子”和“自然变换”来刻画它们之间的关系。我非常喜欢作者在讲解“积范畴”和“余积范畴”时，所使用的那些精巧的例子。这些例子能够帮助我更好地理解抽象概念的实际含义。我注意到书中还涉及了一些关于“自由范畴”和“范畴的规约”的研究，这让我对代数范畴的研究又有了更深一层的认识。书中对“半范畴”和“伪范畴”的探讨也同样精彩，它为我理解更一般的范畴结构提供了重要的视角。

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这本书对于“模”的研究给我留下了深刻的印象。作者在介绍“模”的概念时，非常巧妙地将其与“群”和“半群”联系起来，揭示了它们之间更深层次的代数联系。我特别喜欢作者在讲解“模的同态”和“模的子模”时，所使用的那些精巧的例子。这些例子往往非常贴切，能够生动地展示抽象概念的实际含义。我注意到书中引用了大量不同时期、不同学派的研究成果，这使得整本书的理论体系更加丰富和完整。我尤其被书中对于“半模”和“伪模”的探讨所吸引，这些研究虽然相对冷门，但却为理解更一般的代数结构提供了重要的视角。书中还包含了一些关于“模的扩张”和“模的分类”的讨论，这让我对代数结构的研究深度和广度有了更深的认识。

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这本书的论述逻辑非常严谨，我几乎找不到任何跳跃或含糊不清的地方。在讲解“张量积”和“直积”等概念时，作者先是分别对它们进行了清晰的定义和性质分析，然后才将它们运用到“群的环”的构建中。我非常赞赏作者在引入复杂概念时的“循序渐进”策略，他会先从最简单的例子开始，然后逐步增加难度，直到将读者完全引导到问题的核心。书中大量的定理和命题都附有详细的证明，这些证明不仅逻辑严密，而且思路清晰，很多时候我会反复阅读，从中学习作者的证明技巧。我尤其欣赏书中对某些“反例”的讨论，这对于我理解概念的边界和局限性非常有帮助。它让我明白，一个理论的完善不仅在于其成功的应用，还在于对不适用情况的清晰界定。书的排版也相当出色，公式的格式清晰明了，符号的运用也十分统一，这大大提升了阅读的舒适度。

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用到wreath product才去看的，结果还是要自己推……好悲催

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