Measure Theory and Integration pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Taylor, Michael Eugene

出品人:

页数:319

译者:

出版时间:2006-8

价格:1067.00元

装帧:

isbn号码:9780821841808

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• textbook數學
• @kaust
• Measure Theory
• Integration
• Real Analysis
• Mathematical Analysis
• Probability Theory
• Functional Analysis
• Advanced Mathematics
• Graduate Level
• Mathematics
• Lebesgue Integration

《测度与积分》：理解现代数学分析的基石 在数学的广阔领域中，分析学无疑是最核心、最深刻的分支之一。而要深入理解现代数学分析的精髓，特别是那些处理无穷集合、不规则形状以及概率论等复杂问题的领域，一本扎实的《测度与积分》是不可或缺的。这本书不仅仅是一部数学教材，它更像是一张地图，指引着读者穿越抽象的数学世界，抵达对函数、集合以及极限概念更深层次的认知。 超越黎曼积分的边界：为何需要测度与积分 传统的黎曼积分，以其直观的几何意义——曲线下方区域的面积——在微积分教学中扮演着重要角色。然而，当我们将目光投向更复杂的数学问题时，黎曼积分的局限性便逐渐显现。例如，考虑一个由无数个不连续点构成的函数，黎曼积分在这种情况下就显得力不从心。它难以处理那些“病态”但又在许多实际应用中出现的函数。 《测度与积分》正是为了解决这些局限而生。它引入了“测度”（measure）这一核心概念。测度，顾名思义，是对集合“大小”的一种度量方式。它比我们直观理解的长度、面积或体积更为抽象和普适。在实数轴上，测度可以看作是长度的推广；在平面上，它可以是面积的推广。但测度的威力在于，它可以作用于更广泛的集合，甚至包括一些“可数无限”的集合。书中将详细探讨测度的基本性质，如非负性、可数可加性以及单调性等，这些性质构成了测度理论的基石。我们将学习如何构造不同类型的测度，例如勒贝格测度（Lebesgue measure），它是欧几里得空间中长度、面积、体积等概念的严格数学定义，其优越性在于能够处理比黎曼可积函数更广泛的函数类。 在测度的基础上，本书将逐步构建起“积分”（integral）的全新理解。与黎曼积分不同，勒贝格积分（Lebesgue integral）不依赖于将区间分割成小块，而是基于测度来定义。这种定义方式使得勒贝格积分在处理收敛性问题时表现出卓越的性质。例如，控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem）和单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）是勒贝格积分的核心成果，它们为我们提供了判断函数序列积分是否收敛的强大工具，这在概率论、泛函分析以及偏微分方程等领域具有至关重要的应用。读者将深入理解这些定理的证明过程，并掌握如何将它们应用于解决实际问题。 核心概念的深度探索 本书的结构将围绕几个核心概念展开，层层递进，确保读者能够扎实地掌握测度与积分的精髓。 集合论基础与拓扑初步： 在进入测度论之前，对集合论和拓扑学的一些基本概念进行回顾和巩固是必要的。理解集合的开集、闭集、紧集等概念，以及度量空间的基本性质，将为后续测度定义的构建打下坚实基础。 测度的构造与性质： 这是本书的核心部分。我们将从可测空间（measurable space）的概念入手，逐步理解σ-代数（σ-algebra）的重要性。σ-代数是允许我们对其进行测度的集合族，它的存在是构造良好测度的前提。随后，我们将学习如何通过外测度（outer measure）和Carathéodory扩展定理来构造测度，特别是勒贝格测度。本书将详细讲解各种测度的性质，包括测度的可数可加性、单调性、差性以及测度空间的完备性等。 可测函数： 测度理论的应用对象是函数。在测度论的框架下，我们关注的不再是任意函数，而是“可测函数”（measurable function）。可测函数的定义与测度紧密相关，它保证了函数的值域在测度空间中有意义。本书将深入探讨可测函数的性质，如可测函数的和、积、极限等是否仍为可测函数，以及常数函数、特征函数等简单可测函数的性质。 积分的定义与性质： 基于测度和可测函数，我们将构建勒贝格积分的定义。从非负简单函数的积分开始，逐步推广到非负可测函数的积分，最后推广到一般的可测函数。本书将清晰地阐述勒贝格积分与黎曼积分之间的关系，并指出在什么条件下两者是等价的。积分的基本性质，如线性性、单调性、可加性等，将被详尽地分析。 积分的收敛定理： 这是勒贝格积分的威力所在。我们将详细介绍并证明单调收敛定理、Fatou引理（Fatou’s Lemma）、占优收敛定理等几个最重要的收敛定理。这些定理不仅是理论上的强大工具，更是解决实际问题的关键。例如，在计算无穷级数或无穷积分的和时，这些收敛定理能提供严格的论证。 Lp空间： L^p空间是测度论在函数空间理论中的一个重要应用。本书将介绍L^p空间的概念，即平方可积（或p次幂可积）函数的集合。我们将讨论L^p空间的范数，并证明它是巴那赫空间（Banach space）。L^p空间的完备性以及它们之间的关系，例如Hölder不等式和Minkowski不等式，对于理解函数分析和偏微分方程至关重要。 Radon-Nikodym定理与Fubini定理： Radon-Nikodym定理是连接不同测度之间关系的桥梁，它在概率论和微分几何中有重要应用。Fubini定理则提供了计算多重积分的有效方法，它表明在特定条件下，多重积分可以转化为逐次积分。本书将深入探讨这两个定理的意义和应用。 本书的价值与应用前景 《测度与积分》不仅是数学专业学生必修的核心课程内容，也是许多交叉学科研究者的重要参考。 概率论： 现代概率论完全建立在测度论的基础上。随机变量被看作是定义在概率空间上的可测函数，事件的概率则由概率测度赋予。测度论的语言为概率论提供了严谨的数学框架，使得处理复杂随机模型、大数定律、中心极限定理等问题成为可能。 泛函分析： L^p空间以及更一般的函数空间，是泛函分析研究的核心对象。测度论为构造和理解这些函数空间提供了基础。许多重要的数学工具，如傅里叶变换，也与L^p空间紧密相关。 偏微分方程： 求解偏微分方程通常需要在 Sobolev空间等函数空间中进行。这些空间正是基于L^p空间及其推广定义的，而L^p空间又依赖于测度论。测度论为理解方程的解的存在性、唯一性和光滑性提供了严格的数学基础。 调和分析与小波理论： 这些高级数学领域的研究，都离不开测度论作为理论支撑。 学习方法与建议 阅读《测度与积分》需要耐心和细致。理解其中的抽象概念需要反复思考和练习。建议读者： 认真推导每一步证明： 不要满足于阅读理解，尝试自己动手写下证明过程，这有助于加深对逻辑链条的认识。 勤加练习例题与习题： 习题是检验理解程度的最好方式。从基础题入手，逐步挑战更复杂的题目。 与他人交流讨论： 与同学或老师讨论遇到的问题，不同视角的交流往往能带来新的启发。 联系实际应用： 尝试理解书中所介绍的概念在概率论、物理学、工程学等领域中的具体应用，这能极大地激发学习兴趣。 《测度与积分》是一次挑战，也是一次机遇。它将为你打开通往现代数学更深层次理解的大门，让你能够更自信、更深入地探索数学世界的奥秘。这本书的目标是帮助读者建立起一套严谨的数学思维体系，使他们能够独立地分析和解决复杂的问题，为未来的学术研究或职业发展奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

QA312 .T387 2006

评分☆☆☆☆☆

QA312 .T387 2006

评分☆☆☆☆☆

QA312 .T387 2006

评分☆☆☆☆☆

QA312 .T387 2006

评分☆☆☆☆☆

QA312 .T387 2006