On the Tangent Space to the Space of Algebraic Cycles on a Smooth Algebraic Variety. pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:Mark Green

出品人:

页数:224

译者:

出版时间:2004-12-20

价格:USD 62.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780691120447

丛书系列:

图书标签:

代数几何7
Algebraic cycles
Tangent spaces
Smooth algebraic varieties
Intersection theory
Moduli spaces
Algebraic geometry
Cohomology
Hodge theory
Complex manifolds
Schemes

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具体描述

In recent years, considerable progress has been made in studying algebraic cycles using infinitesimal methods. These methods have usually been applied to Hodge-theoretic constructions such as the cycle class and the Abel-Jacobi map. Substantial advances have also occurred in the infinitesimal theory for subvarieties of a given smooth variety, centered around the normal bundle and the obstructions coming from the normal bundle's first cohomology group. Here, Mark Green and Phillip Griffiths set forth the initial stages of an infinitesimal theory for algebraic cycles. The book aims in part to understand the geometric basis and the limitations of Spencer Bloch's beautiful formula for the tangent space to Chow groups. Bloch's formula is motivated by algebraic K-theory and involves differentials over Q. The theory developed here is characterized by the appearance of arithmetic considerations even in the local infinitesimal theory of algebraic cycles. The map from the tangent space to the Hilbert scheme to the tangent space to algebraic cycles passes through a variant of an interesting construction in commutative algebra due to Angniol and Lejeune-Jalabert. The link between the theory given here and Bloch's formula arises from an interpretation of the Cousin flasque resolution of differentials over Q as the tangent sequence to the Gersten resolution in algebraic K-theory. The case of 0-cycles on a surface is used for illustrative purposes to avoid undue technical complications.

《切空间：代数几何的深层探究》概述《切空间：代数几何的深层探究》一书，深入剖析了代数几何中一个核心而精妙的概念——代数簇上代数簇空间（space of algebraic cycles）的切空间。本书旨在为读者提供一个全面而深入的理解框架，揭示代数簇的内在几何结构与代数循环之间的深刻联系，并在此基础上，勾勒出这一研究领域的前沿图景。本书并非对某个具体问题的百科全书式罗列，而是侧重于建立一种数学语言和研究方法，引导读者掌握分析代数簇几何性质的关键工具。本书的独特视角与核心议题代数簇，作为代数方程组的几何解集，是代数几何研究的基本对象。然而，对代数簇的理解，往往不仅仅停留在其点的集合层面，更需要探索其内在的“形”与“质”，即其几何特性。代数簇上的代数簇空间，可以被看作是所有可能嵌入该代数簇的代数子簇的集合。这个空间本身是一个抽象的数学结构，而其切空间，则如同对这个抽象空间在特定“点”（即一个具体的代数子簇）附近的局部线性化近似，提供了分析其微观行为和几何性质的强大工具。本书的独特之处在于，它将焦点集中于代数簇空间的“切空间”这一概念。这并非一个寻常的切线束概念，而是更进一步，是对一个由代数簇构成的“空间”的切空间。这种视角带来了对代数几何问题的全新解读。例如，当我们在研究一个代数簇的“变形”时，实际上就是在探索其代数簇空间。而切空间，则能帮助我们理解这些变形的“方向”和“可能性”，以及这些变形如何影响代数簇本身的几何不变量。本书的核心议题围绕以下几个关键点展开：代数簇空间及其拓扑结构：在深入探讨切空间之前，有必要对代数簇空间本身有一个清晰的认识。本书将首先介绍如何定义和理解这样一个由代数簇组成的“空间”，并探讨其可能的拓扑和几何结构。这涉及对不同类型的代数簇（如光滑代数簇）及其子簇的分类和构造，以及如何赋予这些集合一个有意义的几何意义。切空间的定义与构造：这是本书的核心内容。本书将详细阐述在代数几何的框架下，如何为代数簇空间定义其切空间。这通常需要借助一些更高级的代数几何工具，如概形论（sheaf theory）、商范畴（derived categories）等，将代数几何的语言转化为更抽象但更强大的代数结构。读者将学习到，代数簇空间的切空间如何与代数簇本身的某些几何不变量（如 Hodge 结构、 Picard 群等）建立联系。切空间在代数几何中的应用：切空间的引入，并非为了数学的抽象而抽象，其价值在于为解决一系列重要的代数几何问题提供新的视角和工具。本书将着重探讨切空间在以下方面的应用：代数簇的模空间（Moduli Spaces）理论：许多重要的代数簇（如曲线、曲面）具有模空间，描述了具有特定性质的所有这类代数簇的集合。切空间的概念在理解模空间的几何性质，例如其光滑性、奇点等，以及研究模空间的局部结构方面扮演着关键角色。代数簇的形变理论（Deformation Theory）：代数簇的形变理论研究的是代数簇如何在参数空间中连续变化。代数簇空间的切空间直接对应于代数簇在某个特定代数簇处的“无穷小形变”的可能性。这对于理解代数簇的稳定性和分类至关重要。代数簇的几何不变量与同调论：切空间的结构往往蕴含着代数簇的重要几何不变量，例如其 Hodge 结构、 Chow 群等。本书将揭示切空间如何编码这些信息，并如何通过分析切空间来计算或理解这些不变量。与其他数学分支的联系：代数几何与微分几何、复分析、数学物理等领域有着深刻的联系。本书也会触及切空间在这些交叉领域的应用，例如其在弦理论、量子场论中的潜在作用。目标读者与学习路径本书的目标读者是具备一定代数几何基础的研究生和研究人员，特别是对代数簇的几何结构、模空间理论、形变理论以及相关的高级代数几何概念感兴趣的数学工作者。本书的学习路径建议： 1. 巩固基础：读者应熟练掌握代数簇、概形、李群、李代数等基本概念。对 Hodge 理论、 Chow 理论有初步了解会很有帮助。 2. 理解代数簇空间：重点理解代数簇空间的概念，以及如何将其看作一个集合，并赋予其一定的几何意义。 3. 掌握切空间定义：深入理解代数簇空间切空间的定义方法，以及其与代数簇本身几何性质的关联。 4. 研究应用案例：通过书中的具体例子和论证，理解切空间在模空间、形变理论等方面的应用。 5. 探索前沿：关注书中提及的开放性问题和前沿研究方向，激发进一步的探索。本书的贡献与价值《切空间：代数几何的深层探究》一书的出版，将为代数几何领域的研究者提供一个系统而深入的理论框架。它不仅填补了该领域在特定工具和方法论上的空白，更重要的是，它提供了一种全新的视角来审视代数簇的几何性质。通过深入理解代数簇空间的切空间，研究者可以：更精确地刻画代数簇的局部几何性质：切空间如同一个“显微镜”，让我们能够观察代数簇在无穷小尺度下的行为。更有效地研究代数簇的模空间和形变：切空间为理解模空间的几何结构和代数簇的形变提供了直接的代数工具。建立代数几何与其他数学分支的桥梁：本书揭示了代数簇空间切空间在连接代数几何与拓扑学、微分几何、数学物理等领域的潜力。本书的语言严谨，论证详实，既有理论的深度，又不乏数学的洞察力。它将成为代数几何领域一本不可或缺的参考著作，为研究者带来启发，并推动该领域向前发展。结语代数几何是一门充满魅力且不断发展的学科。《切空间：代数几何的深层探究》以其独特的视角和深刻的洞察，为我们打开了理解代数簇几何结构的新大门。通过对代数簇空间切空间的深入探索，我们不仅能够更清晰地认识数学的内在美，更能为解决复杂的数学问题提供强大的武器。本书的价值，在于它不仅仅是知识的传递，更是思维方式的启迪，是对数学探索精神的最好诠释。