Quadrangular Algebras pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Weiss, Richard M.

出品人:

页数:144

译者:

出版时间:2005-9

价格:$ 62.15

装帧:

isbn号码:9780691124605

丛书系列:

图书标签:

代数
非结合代数
四元代数
李代数
表示论
数学
抽象代数
代数结构
量子群
结合代数

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具体描述

This book introduces a new class of non-associative algebras related to certain exceptional algebraic groups and their associated buildings. Richard Weiss develops a theory of these "quadrangular algebras" that opens the first purely algebraic approach to the exceptional Moufang quadrangles. These quadrangles include both those that arise as the spherical buildings associated to groups of type E6, E7, and E8 as well as the exotic quadrangles "of type F4" discovered earlier by Weiss. Based on their relationship to exceptional algebraic groups, quadrangular algebras belong in a series together with alternative and Jordan division algebras. Formally, the notion of a quadrangular algebra is derived from the notion of a pseudo-quadratic space (introduced by Jacques Tits in the study of classical groups) over a quaternion division ring. This book contains the complete classification of quadrangular algebras starting from first principles. It also shows how this classification can be made to yield the classification of exceptional Moufang quadrangles as a consequence. The book closes with a chapter on isotopes and the structure group of a quadrangular algebra. "Quadrangular Algebras" is intended for graduate students of mathematics as well as specialists in buildings, exceptional algebraic groups, and related algebraic structures including Jordan algebras and the algebraic theory of quadratic forms.

域的广度与结构之舞：解析代数系统中的对称性与变换在数学的宏大殿堂中，代数系统是构建严谨逻辑、探索抽象关系的基石。它们如同精密设计的机器，通过定义一组元素及其上的运算，揭示出宇宙万象背后隐藏的规律。本书并非对某一特定代数系统进行详尽的收录或百科式的梳理，而是旨在从一个更为宏观的视角，审视代数系统中普遍存在的结构特征，特别是与“对称性”和“变换”相关的概念，并深入探讨它们在不同代数结构中的交织与影响。我们将目光投向那些在看似迥异的代数系统中反复出现的模式，那些赋予结构稳定性和动态性的核心原理。代数系统，无论是古老而纯粹的群论，还是广泛应用于现代科学的向量空间，抑或是复杂多样的环和域，都无法脱离其内在的结构属性。本书的重点在于，如何通过理解这些结构属性，尤其是对称性与变换的视角，来深化我们对这些系统的认识，并触类m[e^2 psi(x, t) - psi(x, t)^3] = 0$]，揭示其丰富的内涵。第一部分：抽象的对称性——群论的透视我们将从最基础、也最能体现对称性精髓的代数结构——群——入手。群的定义简洁而有力：一个集合，加上一个二元运算，满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元。然而，正是这看似简单的公理，却能构建出极其丰富的数学世界。本书不会仅仅罗列群的定义和基本性质，而是将重点放在如何从对称性的角度去理解群。我们将探讨群论中的“对称群”概念。例如，几何图形的对称性，如正方形的旋转和反射，如何构成一个有限群。我们会分析这些对称操作之间的组合关系，它们如何遵循群的公理，以及这种群结构如何精确地捕捉了图形的全部对称性。通过分析这些实例，读者将能够领悟到，群论不仅是对一组运算的抽象，更是对事物内在对称性的数学语言。进一步地，我们将深入探讨群的同态与同构。同态关系揭示了不同群之间在结构上的相似性，而同构则意味着两个群在本质上是相同的，只是元素的表示不同。我们将通过例子说明，如何识别这种结构上的等价性，以及为何理解同态和同构对于分类和理解代数系统至关重要。这不仅仅是理论的探讨，更是一种思维方式的训练：如何透过表象，抓住事物本质的结构。本书还将触及群的子群、正规子群以及商群的概念。这些概念的引入，并非为了堆砌定理，而是为了展示如何通过分解和组合来研究群的内部结构。正规子群的特殊性质，使其能够构成新的群——商群，这就像是在研究一个整体时，我们能够将它分解成更小的、具有特定关系的部分，并通过分析这些部分之间的关系来理解整体。这种“分析-综合”的思路，在代数研究中无处不在。第二部分：动态的变换——线性代数与向量空间的视角在代数的世界里，变换扮演着至关重要的角色。它们是对元素进行操作，改变其状态，却又保持某些结构不变的“引擎”。线性代数，作为研究向量空间及其线性变换的学科，正是理解这些动态过程的利器。本书将从线性变换的角度，解析向量空间的内在结构。我们将从向量空间的定义出发，重点强调其“线性”的本质。线性变换的两个核心性质——加法与标量乘法的保持——是其之所以能够产生如此广泛应用的关键。我们会分析不同类型的线性变换，如旋转、缩放、投影、剪切等，并阐释它们如何通过矩阵的乘法来具体实现。读者将学习到，矩阵不仅仅是数字的排列，更是描述线性变换的强大工具。本书将深入探讨线性变换的几个重要概念：核（Kernel）与像（Image）。核描述了哪些向量在变换后被映射到零向量，它揭示了变换的“压缩”程度。像则是在变换作用下，所有向量可能取到的值所构成的空间，它反映了变换的“延展”能力。这两个概念的联合，通过秩-零度定理（Rank-Nullity Theorem），为我们提供了一个深刻理解线性变换性质的框架。我们还将讨论特征值（Eigenvalues）与特征向量（Eigenvectors）。特征向量是在线性变换下，其方向不改变，仅发生尺度变化的特殊向量，而特征值则表示了这种尺度变化的因子。它们揭示了线性变换最本质的“不变方向”和“伸缩因子”，对于理解系统的动力学行为，如稳定性分析、主成分分析等，具有不可替代的作用。我们将通过实例，例如微分方程的求解、图像压缩等，来展示特征值和特征向量的实际应用价值。此外，我们还将简要涉及矩阵的对角化。当一个矩阵能够被对角化时，意味着我们可以找到一组基，使得在该基下，线性变换的表示变得极其简单——仅仅是对角线上的伸缩。这是一种将复杂问题简化的强大手段，它直接关联到线性变换的本质，也预示着更高级的代数结构中的相似性分析。第三部分：结构的多样性与相互联系——环、域及超越在掌握了群和向量空间的基本思想后，我们将把目光转向更为复杂的代数结构：环和域。这些结构在群和向量空间的基础上，引入了第二个运算（通常是乘法），并对这两个运算的相互关系提出更严格的要求。我们将探讨环的定义，特别是其交换性、单位元和零因子等性质。交换环与非交换环，单位环与无单位环，这些差异直接影响着环的结构特性。我们将通过多项式环、矩阵环等例子，来展示不同环的构成及其性质。然后，我们将重点分析域（Field）的概念。域是最“完整”的代数结构之一，它要求除了零元素外，所有元素都构成一个乘法群。这意味着在域中，加法和乘法都具有良好的性质，除法（除了除以零）是合法的。我们将探讨有限域和无限域，以及它们在密码学、编码理论等领域的关键作用。本书的亮点之一，在于分析不同代数结构之间的相互联系。我们会探讨，一个域如何可以看作是具有特定性质的交换环，而向量空间则是在一个域上定义的。群论中的对称性原理，如何渗透到环和域的研究中。例如，域的自同构群，就是研究域的哪些变换能够保持域的加法和乘法运算。我们将进一步探讨，如何通过“同态”和“同构”的思想，来比较和分类不同的环和域。理解同态映射，例如多项式环到其商环的映射，能够帮助我们理解商环的结构。同构则帮助我们识别本质上相同的代数系统，即使它们的元素表示不同。本书的最终目标，是提供一种普适的代数思维框架。它鼓励读者将代数系统视为一系列相互关联的“游戏规则”，并通过研究这些规则的内在逻辑，尤其是对称性和变换的视角，来发现隐藏在现象背后的深刻数学本质。我们不是在堆砌理论，而是试图通过引导读者理解代数结构的核心思想，培养一种能够触类旁通、举一反三的数学直觉。在探索这些代数结构的过程中，我们将不断强调“结构”的重要性。代数系统的美妙之处，不在于孤立的元素或运算，而在于它们如何组合起来，形成一个和谐统一的整体。对称性赋予了结构稳定性，而变换则带来了动态的变化。理解这两者之间的辩证关系，是掌握代数精髓的关键。本书并非一本“食谱”式的代数手册，而是更像一本“工具箱”和“指南”。它将为读者提供理解和分析各种代数系统的基本工具和基本视角。无论您是数学专业的学生，还是对抽象数学充满好奇的研究者，抑或是希望在科学研究中应用代数思想的工程师，相信本书都将为您打开一扇通往代数世界更深层次的窗户，让您在理解抽象概念的同时，领略到数学的严谨之美和无穷魅力。我们所追求的，是通过对“域的广度与结构之舞”的深入剖析，激发读者对数学世界更深层次的探索欲望，去发现更多隐藏在数字与符号背后的普适性原理。