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概率论与数理统计 核心概念与理论体系 本书深入浅出地介绍了概率论与数理统计的核心概念和理论体系，为读者构建起扎实的数理基础。我们将从概率的基本公理出发，探讨随机事件的独立性、条件概率以及著名的贝叶斯定理，理解不确定性事件发生的规律。 在此基础上，本书将系统地介绍随机变量及其分布。读者将学习离散型和连续型随机变量的概率质量函数（PMF）、概率密度函数（PDF）以及累积分布函数（CDF），并通过期望、方差等概念量化随机变量的集中趋势和离散程度。我们还将详细讲解一系列重要的概率分布，包括但不限于： 离散分布: 伯努利分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布等。读者将理解它们各自的应用场景，例如描述多次独立试验中成功的次数（二项分布）、事件在固定时间或空间内发生的次数（泊松分布）等。 连续分布: 均匀分布、指数分布、正态分布（高斯分布）、伽马分布、卡方分布、t分布、F分布等。我们将重点分析正态分布的普适性和重要性，以及在统计推断中扮演的关键角色。 为了更好地描述多个随机变量之间的关系，本书将引入多维随机变量的概念，包括联合分布、边缘分布和条件分布。协方差和相关系数将帮助我们量化变量间的线性关系强度和方向。更进一步，我们将探讨各种重要的随机变量变换，例如函数变换、和的分布等，为理解复杂模型的统计性质奠定基础。 大数定律与中心极限定理 概率论的精髓之一在于它对大量随机现象的规律性揭示。本书将重点讲解大数定律（Law of Large Numbers），包括弱大数定律和强大数定律。这些定理告诉我们，当独立同分布的随机变量样本数量趋于无穷大时，样本均值将收敛于随机变量的期望。这将为我们理解统计推断中的样本信息具有代表性提供理论支撑。 而中心极限定理（Central Limit Theorem）更是本书的重中之重。我们将详细阐述中心极限定理的几种不同形式，包括经典形式（独立同分布）和更一般的形式（如李雅普诺夫中心极限定理）。该定理指出，无论原始随机变量的分布如何，只要样本数量足够大，其样本均值的分布将近似于正态分布。这将是我们在许多统计推断方法中，特别是参数估计和假设检验中，进行近似计算和构建置信区间的基础。 统计推断：从样本到总体 数理统计的核心任务是从有限的样本数据中推断总体的未知参数或检验关于总体的假设。本书将系统地介绍统计推断的两个主要分支：参数估计与假设检验。 参数估计 我们将首先探讨点估计（Point Estimation）的方法，介绍矩估计法（Method of Moments）和最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）。我们将详细分析MLE的原理、求解步骤以及其优良的渐近性质，如一致性、渐近正态性和渐近有效性。 接着，我们将深入介绍区间估计（Interval Estimation）的概念，包括置信区间（Confidence Interval）的构造和解释。读者将学习如何为总体均值、总体方差、比例等参数构建不同置信水平的置信区间。我们将分析不同估计量（如样本均值、样本方差）的抽样分布，并利用它们来计算置信区间。 假设检验 假设检验是统计推断的另一重要组成部分，它提供了一种系统性的方法来评估关于总体的某个断言（假设）是否能够被样本数据所支持。本书将详细介绍假设检验的基本框架，包括： 原假设 (Null Hypothesis, H₀) 与备择假设 (Alternative Hypothesis, H₁): 如何正确地表述假设。 检验统计量 (Test Statistic): 选择合适的统计量来量化样本数据与原假设的偏离程度。 拒绝域 (Rejection Region) 或临界值 (Critical Value): 确定何时拒绝原假设。 p值 (p-value): 计算样本数据支持备择假设的概率。 第一类错误 (Type I Error, α) 和第二类错误 (Type II Error, β): 理解错误发生的概率及其控制。 我们将详细讲解一系列经典的统计检验方法，包括： 单样本检验: z检验、t检验（用于检验单样本均值）、卡方检验（用于检验单样本方差）。 两样本检验: 独立样本t检验、配对样本t检验（用于比较两组均值）、F检验（用于比较两组方差）。 多样本检验: 方差分析（Analysis of Variance, ANOVA），用于比较多个总体的均值。 比例检验: z检验（用于检验比例）、卡方拟合优度检验（用于检验观测频率与理论频率的拟合程度）、卡方独立性检验（用于检验两个分类变量之间的独立性）。 我们将通过大量实例，展示如何在实际问题中应用这些检验方法，并解释如何解释检验结果。 回归分析 回归分析是研究变量之间数量关系的重要统计工具。本书将从简单线性回归（Simple Linear Regression）开始，介绍如何建立一个模型来描述一个因变量与一个自变量之间的线性关系。我们将详细讲解： 最小二乘法 (Least Squares Method): 如何估计回归系数（截距和斜率）。 回归模型的假设: 误差项的独立性、同方差性、正态性等。 模型拟合优度: 决定系数（R²）的解释。 回归系数的统计推断: 对回归系数进行置信区间估计和假设检验。 预测: 如何使用回归模型进行预测。 在此基础上，我们将进一步介绍多元线性回归（Multiple Linear Regression），它允许我们同时考虑多个自变量对因变量的影响。我们将探讨： 模型建立与选择: 如何选择合适的自变量。 多重共线性 (Multicollinearity): 识别和处理自变量之间的强相关性。 虚拟变量 (Dummy Variables): 如何将分类变量纳入回归模型。 模型诊断: 检查模型的假设是否满足。 非参数统计 在某些情况下，原始数据的分布可能不满足参数统计方法所要求的特定分布假设，或者数据本身就是定性的。此时，非参数统计方法（Nonparametric Statistics）将是更合适的选择。本书将介绍一些常用的非参数检验，例如： 秩和检验 (Rank Sum Tests): 如Wilcoxon秩和检验（对应于两独立样本t检验）、Wilcoxon符号秩检验（对应于配对样本t检验）。 符号检验 (Sign Test): 一种简单但有效的非参数检验。 Kruskal-Wallis检验: 非参数版的单因素方差分析。 Friedman检验: 非参数版的重复测量方差分析。 其他重要主题 本书还将涉及一些其他重要但可能不作为核心篇幅的统计学主题，例如： 抽样调查理论 (Sampling Theory): 介绍简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等基本概念，以及抽样误差的来源和控制。 时间序列分析入门 (Introduction to Time Series Analysis): 简要介绍时间序列数据的基本特征，如趋势、季节性和周期性，以及一些基本的分析方法。 贝叶斯统计初步 (Introduction to Bayesian Statistics): 介绍贝叶斯推断的基本思想，包括先验分布、似然函数和后验分布的概念，以及它与频率学派统计的不同之处。 实践应用与编程 贯穿全书，我们将强调理论知识在实际问题中的应用。通过大量的例题和思考题，读者可以巩固所学知识，并学习如何将统计方法应用于现实世界的挑战，例如科学研究、商业决策、社会科学分析等。 在可能的情况下，本书的讲解将辅以使用统计软件（如R语言或Python的统计库）进行数据分析的示例，帮助读者将理论转化为实践操作，掌握使用工具解决统计问题的能力。 本书旨在为读者提供一个全面而深入的概率论与数理统计学习体验，帮助他们理解数据背后的规律，做出更明智的决策，并为进一步学习更高级的统计学分支打下坚实的基础。

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作为一名侧重于实际操作和软件应用的从业者，我发现这本书在连接理论与实践方面做得尤为不足。它似乎沉浸在对大样本极限理论的深度探讨中，但对于在实际数据分析中经常遇到的数据清洗、模型选择的实用技巧，以及如何利用主流统计软件（比如R或Python库）来实现这些模型，几乎只字未提。例如，当我们讨论回归分析时，书里花了大篇幅去证明最小二乘法的无偏性，却很少提及异方差性或多重共线性的实际诊断方法和修正策略。这种“唯理论”的倾向使得这本书对于希望快速上手解决实际数据问题的人来说，价值大打折扣。读完后，我感觉自己对背后的数学原理更清楚了，但手里拿着真实数据集时，依然不知道从何下手去建立一个稳健的模型。

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这本书对于高级主题的覆盖显得非常仓促和肤浅。当内容涉及到现代统计学中的热点领域，比如非参数方法、时间序列分析的初步介绍，或者更现代的机器学习统计基础时，作者的态度明显是敷衍了事。这些章节往往只有寥寥数页，只是简单地抛出了几个概念名称，没有提供任何深入的解释或可以立即上手的示例。就好像作者在前面15章花了巨大精力铺垫基础，然后在最后两章意识到内容不全，匆忙地加上了一些“时髦”的词汇，却没能提供足够的深度来支撑这些内容的学习。对于想把这本书作为进阶参考的读者来说，这本书的后半部分几乎是不可用的，它更像是一个不完整的导览，而不是一个可靠的知识库。

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这本书在历史回顾和统计思想演变方面的处理方式，非常令人失望。统计学本身就是一个不断发展和融合的学科，不同的学派（如频率学派、贝叶斯学派）之间的思想碰撞和演进是理解其全貌的关键。然而，这本书似乎将所有方法都放在一个扁平的、脱离历史背景的框架下进行介绍。它很少深入探讨为什么某些统计方法会随着时间被提出，它们解决了当时哪些核心问题，以及在特定历史条件下产生的局限性。这种“时间感”的缺失，使得读者难以理解为什么我们今天依然需要学习那些看似过时的检验方法，也无法形成批判性的思维去评估新方法的优劣。它只是机械地罗列公式和定理，缺乏叙事性和思想的深度挖掘，让整个学习过程变得枯燥乏味。

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这本书的排版和结构设计简直是一场灾难，阅读体验非常糟糕。很多重要的定义和定理散落在章节的各个角落，找不到一个清晰的逻辑主线来串联起来。当我试图追踪某个特定统计推断方法的推导过程时，我发现需要不断地翻阅前面几十页的内容，因为关键的引言或前提条件被放在了完全不相关的段落中。更别提图表的质量了，有些图示模糊不清，坐标轴的标签经常被截断，根本无法准确解读其中传达的信息。此外，习题设置也显得非常随意，很多练习题的难度梯度完全不合理，要么是极其简单的代数操作，要么是需要大量高级数学背景才能着手的开放性难题，缺乏中间层次的、能巩固学习的实用练习。我花费了大量时间去“考古”作者到底想表达什么，而不是专注于学习统计学的核心思想。

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这本书的标题确实很吸引人，但实际读下来，感觉它在介绍那些基础概念时，用了太多过于抽象和理论化的语言。初学者可能会被那些复杂的公式和晦涩的定义搞得一头雾水。比如，讲解概率论的基本原理时，作者似乎默认读者已经对测度论有了相当的了解，这对于很多想通过这本书建立扎实统计学基础的人来说，是一个不小的门槛。书中的例子也常常显得有些脱离实际应用场景，更多的是为了展示某个数学定理的完美性，而不是为了帮助我们理解这个定理在现实世界中到底能解决什么问题。我希望看到更多生动的案例，比如金融建模、市场分析或者生物统计中的实际应用，但这些内容在这里几乎找不到。结果就是，读完后，我感觉自己对那些高深的数学结构有所认识，但对于如何运用这些知识去分析真实数据，依然感到茫然无措，更像是在阅读一本高级纯数学教材，而不是一本“应用”统计学著作。

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