Elements of Large-Sample Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:E.L. Lehmann

出品人:

页数:632

译者:

出版时间:2004-8-27

价格:USD 109.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387985954

丛书系列:Springer Texts in Statistics

图书标签:

• 数学
• Statistics
• 统计
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《大样本理论基础：统计推断的基石》 一、 导论：为何需要大样本理论？ 在统计学领域，我们常常希望从有限的样本数据中推断出关于总体的一般性结论。然而，现实中的样本往往是有限的，而理论上的许多统计工具，如精确的概率分布、无偏估计的期望值等，在有限样本下可能难以计算或性质不佳。这时，大样本理论便应运而生，它提供了一种强大的分析框架，允许我们在样本量趋于无穷大时，研究统计量的渐近行为。这使得许多在有限样本下难以处理的问题变得可行，为统计推断提供了坚实的基础。 本书旨在深入浅出地介绍大样本理论的核心概念、关键定理及其在实际统计问题中的应用。我们将从最基础的收敛概念入手，逐步建立起对概率不等式、中心极限定理、大数定律等核心工具的理解，并最终将其应用于参数估计、假设检验和模型选择等重要统计领域。本书强调理论的严谨性与实际应用的结合，力求让读者不仅理解抽象的数学原理，更能体会到它们在解决真实世界统计难题中的强大威力。 二、 基础概念：收敛的语言 理解大样本理论，首先需要掌握一套描述随机变量序列行为的语言——收敛的概念。本书将详细阐述以下几种重要的收敛类型： 依概率收敛 (Convergence in Probability): 这是大样本理论中最基础的收敛概念之一。我们说一个随机变量序列 {X_n} 依概率收敛于一个常数 c，意味着随着 n 的增大，X_n 取值与 c 的差距大于任意小的正数 ε 的概率趋于零。这直观地表达了当样本量足够大时，样本统计量会“靠近”其真实的总体参数。我们将通过清晰的定义和直观的例子，例如样本均值的依概率收敛性，来阐明这一概念。 几乎处处收敛 (Convergence Almost Surely) / 依几乎处处收敛 (Convergence Almost Everywhere): 这种收敛比依概率收敛更为严格。我们说 {X_n} 几乎处处收敛于 X，意味着 X_n(ω) 收敛于 X(ω) 对于几乎所有可能的结果 ω 都成立。换句话说，只有在“极少数”的极端情况下，序列可能不收敛，但在绝大多数情况下，序列的行为是稳定的。我们将探讨其与依概率收敛的关系，以及在某些证明中的重要性。 均方收敛 (Convergence in Mean Square) / 二次均值收敛 (Convergence in $L^2$): 当我们关注随机变量的期望值和方差时，均方收敛变得尤为重要。如果随机变量序列 {X_n} 的均方误差 $E[(X_n - X)^2]$ 趋于零，则称 {X_n} 均方收敛于 X。这在处理方差可控的统计量时尤其有用，并且与依概率收敛有着紧密的联系。 依分布收敛 (Convergence in Distribution): 这是大样本理论中最为广泛应用的收敛类型之一，尤其是在中心极限定理的表述中。我们说一个随机变量序列 {X_n} 依分布收敛于一个随机变量 X，意味着 {X_n} 的累积分布函数 $F_{X_n}(x)$ 对于所有 x（除了 X 的分布函数的跳跃点）都收敛于 X 的累积分布函数 $F_X(x)$。这种收敛并不要求随机变量本身在同一个概率空间上定义，而是关注它们的概率分布的“形状”如何趋于一致。我们将详细讨论，为什么依分布收敛是构建渐近统计推断的关键。 本书将系统地介绍这些收敛类型之间的关系，通过严谨的数学证明和丰富的例子，帮助读者建立起清晰的认知框架。理解这些收敛性质是深入学习大样本理论的基石，它们为后续的定理证明和应用提供了理论支撑。 三、 核心工具：概率不等式与概率论中的“大数” 在离开有限样本的束缚，进入大样本世界时，我们需要一些强有力的工具来量化随机变量的偏差和行为。本书将重点讲解以下几个关键的概率论工具： 切比雪夫不等式 (Chebyshev's Inequality): 这是一个非常通用的概率不等式，它为任何具有有限期望和方差的随机变量提供了其偏离期望值一定距离的概率上限。无论随机变量的具体分布如何，切比雪夫不等式都能给出一个保守的估计。我们将展示如何利用切比雪夫不等式来证明依概率收敛，并指出其局限性，即其上界往往不够紧致。 马尔可夫不等式 (Markov's Inequality): 这是切比雪夫不等式的一个特例，适用于非负随机变量。它给出了随机变量超过某个正数的概率上限。理解马尔可夫不等式有助于我们更好地理解切比雪夫不等式的构造。 伯恩斯坦不等式 (Bernstein's Inequality) 和 Hoeffding 不等式 (Hoeffding's Inequality): 这类不等式是在特定条件下（例如随机变量有界）提供更紧致的概率界限。它们在大样本理论的证明，尤其是在分析某些复杂统计量时，扮演着至关重要的角色。我们将介绍这些不等式的形式，并简要说明它们在何种情况下比切比雪夫不等式更有优势。 大数定律 (Laws of Large Numbers): 这是大样本理论的灵魂之一。大数定律描述了独立同分布（i.i.d.）随机变量的样本均值随着样本量增大而收敛于其期望值的现象。我们将分别介绍： 弱大数定律 (Weak Law of Large Numbers, WLLN): 它表明样本均值依概率收敛于期望值。这是大样本理论中最直接的体现，即“平均的力量”。 强大数定律 (Strong Law of Large Numbers, SLLN): 它表明样本均值几乎处处收敛于期望值。这是一种更强的收敛形式，意味着在绝大多数情况下，样本均值会无限接近期望值。我们将通过详细的证明，揭示它们之间的联系与区别，并探讨其在参数估计中的直接应用，例如样本均值作为总体均值的最大似然估计的渐近性质。 四、 中心极限定理：统计推断的普适规律 如果说大数定律告诉我们样本均值“趋于”一个常数，那么中心极限定理则告诉我们，当样本量足够大时，样本均值（或其标准化形式）的分布会“逼近”一个正态分布，无论原始随机变量的分布是什么（只要其方差有限）。这是统计学中最强大、最广泛应用的定理之一。 林德伯格-勒维中心极限定理 (Lindeberg-Lévy Central Limit Theorem): 这是最经典的中心极限定理形式，适用于独立同分布的随机变量。我们将详细阐述定理的条件、结论以及其在统计推断中的核心地位。定理指出，当样本量 n 足够大时，标准化后的样本均值 $sqrt{n}(ar{X}_n - mu) / sigma$ 的分布近似于标准正态分布 N(0, 1)。 李亚普诺夫中心极限定理 (Lyapunov Central Limit Theorem): 这个定理是对林德伯格-勒维中心极限定理的推广，它放宽了独立同分布的要求，适用于独立但不同分布的随机变量（只要满足一定的条件）。我们将简要介绍其条件和结论，展示中心极限定理的适用范围之广。 德摩根-克拉梅尔中心极限定理 (Demyanov-Kramer Central Limit Theorem) / 统计量序列的中心极限定理: 许多统计量，例如回归系数的估计量、某些似然比统计量等，在渐近意义下也服从正态分布。我们将介绍如何将中心极限定理应用于这些非均值统计量，例如，利用delta方法 (Delta Method) 来推导函数变换后统计量的渐近分布。 中心极限定理的重要性体现在： 1. 构建置信区间: 知道样本统计量的渐近正态分布，我们可以方便地构造关于总体参数的置信区间。 2. 进行假设检验: 许多渐近检验统计量（如 Z-检验、卡方检验、F-检验等）的渐近分布都与正态分布或其相关的分布（如卡方分布）有关，这都源于中心极限定理。 3. 理论研究: 中心极限定理为许多统计方法的有效性提供了理论依据。 五、 参数估计的渐近理论 在大样本框架下，我们能够更深入地理解和分析各种参数估计方法的优良性质。 最大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation, MLE): MLE 是最重要的一类参数估计方法。我们将详细探讨 MLE 的渐近性质： 一致性 (Consistency): MLE 总是渐近无偏的，即随着样本量增大，MLE 会依概率收敛于真实参数。 渐近正态性 (Asymptotic Normality): MLE 在标准化后服从渐近正态分布，其方差可以通过 Fisher 信息矩阵来计算。 渐近有效性 (Asymptotic Efficiency): MLE 渐近地达到了 Cramér-Rao 下界，即在所有渐近无偏估计量中，它具有最小的渐近方差，是最优的估计量之一。我们将通过证明来展示这些重要的渐近性质。 矩估计 (Method of Moments, MOM): 矩估计是另一种常用的参数估计方法。我们将比较矩估计与最大似然估计在渐近性质上的异同，并探讨其在特定情况下的优劣。 最小二乘估计 (Least Squares Estimation, LSE): 在线性回归模型中，最小二乘估计是标准方法。我们将在大样本理论的框架下，证明线性模型中最小二乘估计的一致性和渐近正态性，并讨论其渐近方差。 Cramér-Rao 下界 (Cramér-Rao Lower Bound): Cramér-Rao 下界为任何无偏估计量的方差提供了一个理论上的下限。我们将介绍 Fisher 信息量的概念，以及如何计算 Cramér-Rao 下界，并将其与 MLE 的渐近方差进行比较，从而理解 MLE 的渐近有效性。 六、 假设检验的渐近理论 大样本理论也为各种假设检验方法提供了坚实的理论基础。 似然比检验 (Likelihood Ratio Test, LRT): LRT 是最强大和最通用的假设检验方法之一。我们将介绍 Wald 统计量、LRT 统计量以及 Score (Rao) 统计量，并证明它们在大样本下都遵循卡方分布。 Wilks 定理 (Wilks' Theorem): 这是 LRT 渐近理论的核心。该定理表明，在原假设为真时，似然比统计量的两倍（-2 log LRT）在大样本下服从自由度等于所检验参数个数差的卡方分布。我们将深入证明这一重要定理。 Wald 检验 (Wald Test): Wald 检验基于估计量的一致性和渐近正态性，通过检验估计参数是否等于其在原假设下的值来构造检验统计量。我们将比较 Wald 检验与 LRT 检验的优劣。 Score 检验 (Score Test) / Rao 检验: Score 检验基于得分函数（似然函数关于参数的一阶导数）在真实参数值处的期望为零的性质。我们将阐述 Score 检验的构造方法及其渐近性质。 渐近功效 (Asymptotic Power): 在大样本理论中，我们不仅关心检验的渐近显著性水平（Type I Error），还关心其渐近功效（1 - Type II Error）。我们将讨论如何在大样本框架下分析检验的功效，以及如何选择具有更高渐近功效的检验方法。 七、 模型选择与模型诊断的渐近视角 当面临多个备选模型时，我们需要可靠的标准来选择最适合数据的模型，并对选定的模型进行诊断。 信息准则 (Information Criteria): 如 AIC (Akaike Information Criterion) 和 BIC (Bayesian Information Criterion)，它们都是基于似然函数，并引入惩罚项来权衡模型的拟合优度和复杂度。我们将在大样本理论的框架下，分析这些准则的选择行为，并解释它们是如何在大样本下倾向于选择“正确”模型的。 模型诊断的渐近检验: 我们将探讨如何利用大样本理论来构造模型诊断的检验，例如，检验残差是否独立同分布，或者检验模型是否能充分解释数据的变异性。 八、 推广与拓展：非独立同分布样本 虽然 i.i.d. 样本是理解大样本理论的起点，但现实中的数据往往不满足 i.i.d. 条件。本书将对更一般的样本情况进行拓展： 平稳时间序列 (Stationary Time Series): 对于时间序列数据，我们研究其自协方差函数的性质，并探讨适用于平稳序列的大数定律和中心极限定理。 混合序列 (Mixing Sequences): 对于满足一定混合条件的序列，许多大样本理论的结论仍然成立。我们将介绍混合条件的定义，并简要提及它们如何保证统计量的渐近行为。 依赖样本的中心极限定理 (CLTs for Dependent Samples): 我们将介绍一些适用于依赖样本的中心极限定理，例如在马尔可夫链或平稳序列下的中心极限定理。 九、 结论：理论的力量与实践的桥梁 大样本理论提供了一个强大的分析工具箱，使我们能够超越有限样本的限制，深入理解统计推断的本质。它不仅为许多现有的统计方法提供了理论基础，也为开发新的统计方法奠定了基石。通过掌握本书介绍的核心概念和定理，读者将能够： 更深刻地理解 现有统计方法的性质和局限性。 更有信心地 应用统计工具进行数据分析和决策。 具备独立分析 新型统计问题和发展新统计方法的潜力。 为进一步深入学习 更高级的统计学理论，如非参数统计、贝叶斯统计、高维数据分析等，打下坚实的基础。 本书的最终目标是架起抽象的数学理论与生动的统计实践之间的桥梁，让读者真正体会到大样本理论的精妙之处及其在解决现实世界问题时的无穷魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书是属于非常基础那种，比较原生态，内容也很细，可能有些内容看上去会比较旧，会感觉比较啰嗦。对统计学史有些了解可能大概就会明白为什么这样：每个大师都有他的时代。Lehmann是Berkeley学派历史上非常重要的一位统计学家，他老师是Neyman，没错，就是N-P Lemma那个N，所...  

评分☆☆☆☆☆

This is the textbook we used for Large-sample theory course. Lehmann is a very big name in Stats. But this book does not match his name. First, MANY MANY references are used in this book, making reading really annoying. Also, there are small mistakes on man...

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

我对这本书最深刻的印象是其对“稳健性”和“大样本有效性”的强调。作者没有停留在有限样本推断的局限性上，而是将读者的视野拉伸到了样本容量趋于无穷大的极限情况，这在现代数据科学领域中具有极其重要的现实意义。书中关于估计量效率的探讨，特别是与Cramér-Rao界限的对比分析，为选择最优统计量提供了理论依据。我特别喜欢它在讨论复杂估计量（例如M估计量）时所展现出的细致入微的分析，包括其一致性、渐近正态性和有效性的证明。这本书的语言是高度专业化的，它要求读者必须具备扎实的测度论和实分析基础。对于那些希望构建自己专业领域内新统计方法的人而言，这本书提供了分析和证明其方法优越性的标准范式，是通往高级统计学殿堂的必经之路。

评分☆☆☆☆☆

作为一本侧重于理论深度的书籍，它对基础概念的构建达到了近乎苛求的程度。如果读者期望找到大量可以直接套用的即插即用型模型或软件操作指南，那么这本书可能不适合。它的核心价值在于“为什么”和“如何证明”，而非“如何使用”。书中对大样本性质的分析非常细致，涉及了各种矩的估计量、非参数方法中的效率问题，以及在不同假设条件下的渐近性质。特别是关于信息论和统计推断交叉领域的讨论，为理解统计效率的极限提供了深刻的洞察。阅读此书需要投入大量时间进行思考和消化，每一次回顾都能发现新的细节和更深层次的联系。对于那些以学术研究为目标，需要为自己的推断建立坚实数学基础的读者来说，这本书的价值无可替代，它教会我们如何去“思考”统计问题，而不是简单地“计算”结果。

评分☆☆☆☆☆

这是一本数学统计领域的权威著作，其深度和广度令人印象深刻。作者深入浅出地讲解了概率论和数理统计的基础概念，为理解更复杂的统计推断奠定了坚实的基础。书中对大样本理论的阐述尤为精辟，清晰地展示了如何利用极限理论来分析复杂统计量和大样本下的统计性质。每一个定理的证明都逻辑严密，推导过程详尽，对于有志于深入研究统计学理论的学生和研究人员来说，这本书无疑是一份宝贵的资源。书中还包含了大量的例子和习题，帮助读者巩固对理论的理解，并锻炼解决实际问题的能力。从收敛性的探讨到渐近正态性的应用，这本书系统地构建了一个严谨的统计推断框架。阅读过程虽然充满挑战，但每攻克一个难点，都会带来巨大的成就感，这正是经典教材的魅力所在。对于那些希望扎实掌握统计学核心思想的人来说，这本书是必不可少的“武功秘籍”。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述风格非常独特，兼具严谨的数学推导和清晰的统计直觉。它不像某些教科书那样枯燥乏味，而是通过精巧的组织和循序渐进的讲解，将那些原本晦涩难懂的大样本理论变得触手可及。我特别欣赏作者在引入新概念时，总会先给出其直观的意义，然后再给出严格的数学定义和证明。这种“先知后术”的安排极大地降低了学习曲线。比如，书中对中心极限定理在各种不同场景下的应用进行了深入的剖析，不仅限于独立同分布的情况，还涉及到了更一般的随机过程。这种对细节的关注，使得读者在应用这些理论时能够更加游刃有余。总而言之，这本书不仅是一本工具书，更像是一位耐心的导师，引导你一步步揭开统计大厦的宏伟蓝图。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和内容组织体现了其作为一本高级教材的专业水准。章节之间的过渡非常自然，从最基础的概率收敛概念，逐步过渡到更复杂的渐近分布构造。其中关于经验过程（Empirical Processes）的讨论，是全书的点睛之笔。作者没有回避理论中的难点，而是直面这些复杂性，并提供了处理这些复杂性的系统性工具。读完相关章节后，我对非参数统计中的强一致性检验有了全新的认识。此外，书中穿插的那些历史背景和理论发展的简要说明，也为冰冷的数学公式增添了一丝人文色彩，让人感受到统计学这门学科是如何一步步演进至今的。虽然阅读难度较高，但其对统计学思想的全面覆盖，使得它在同类书籍中脱颖而出，成为我书架上最常被引用的参考资料之一。

评分☆☆☆☆☆

Prof.Lehmann是个很厉害的人。思维严谨。唯一的小缺憾就是，该书引用前面结论公式都是用2.2.3这种符号标记的，算是这部巨著的美中不足吧。

评分☆☆☆☆☆

Lehmann 牛逼

评分☆☆☆☆☆

Lehmann 牛逼

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Prof.Lehmann是个很厉害的人。思维严谨。唯一的小缺憾就是，该书引用前面结论公式都是用2.2.3这种符号标记的，算是这部巨著的美中不足吧。

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