Symplectic geometry and topology. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Eliashberg, Yakov (EDT)/ Traynor, Lisa (EDT)

出品人:

页数:430

译者:

出版时间:

价格:1248.00元

装帧:Pap

isbn号码:9780821840955

丛书系列:

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《微分流形、李群与李代数导论》 本书是一本面向数学专业高年级本科生和研究生的教材，旨在为读者构建一个扎实的微分流形理论基础，并在此基础上深入探讨李群与李代数的核心概念。全书结构清晰，逻辑严谨，力求在概念的引入、定理的证明以及例题的选取上都做到深入浅出，便于读者理解和掌握。 第一部分：微分流形基础 本部分将带领读者从最基本的概念出发，逐步认识微分流形这一现代几何学的基石。 Chapter 1：拓扑空间与度量空间 我们将从“空间”的直观概念出发，回顾集合论的基础，并引入拓扑空间的概念。重点将放在开集、闭集、邻域、紧致性、连通性等基本性质上，这些性质是理解更复杂流形结构的铺垫。紧接着，我们将讨论度量空间，介绍距离函数、开球、闭球、柯西序列等，并探讨度量空间与拓扑空间之间的联系。我们将通过一系列典型的例子，如图形、球面、欧式空间等，帮助读者建立对这些抽象概念的感性认识。 Chapter 2：光滑映射与可微结构 在掌握了拓扑空间的性质后，我们将引入“光滑性”这一核心概念。首先，我们将定义光滑映射，并讨论其性质，如链式法则、反函数定理等。接着，我们将深入探讨可微结构，即如何在一个拓扑空间上定义“光滑”的概念。我们会详细介绍图册（charts）、局部坐标系（local coordinates）、相容性（compatibility）等概念，并解释如何构造一个微分结构，使其成为一个微分流形。我们将以欧式空间 $mathbb{R}^n$、球面 $S^n$、环面 $T^n$ 等作为主要例子进行讲解。 Chapter 3：切空间与向量场 切空间是微分流形上进行微积分运算的工具。本章将严谨地定义一个点的切空间，并介绍几种等价的定义方式，例如通过局部线性函数（derivations）或曲线族（curves）来刻画。我们将讨论切空间的维度与流形维度一致，并介绍切空间的向量空间结构。在此基础上，我们将定义向量场（vector fields），并将其视为光滑的切向量场映射。向量场在微分方程、动力系统等领域有着极其重要的应用。我们将讨论向量场的求和、数乘以及李括号（Lie bracket）运算，并介绍向量场在流形上的作用。 Chapter 4：微分形式与积分 微分形式是微分几何中的另一个核心概念，它能够自然地推广积分的概念。本章将引入 $k$ 次微分形式，并定义其外代数（exterior algebra）结构。我们将详细讲解外积（exterior product）的性质，特别是它的反对称性。接着，我们将引入外微分算子（exterior derivative）$d$，并证明其最重要的性质 $d^2 = 0$。我们将讨论闭形式（closed forms）与精确形式（exact forms）的概念，并引出德拉姆定理（de Rham's theorem）的思想，虽然不在此书中详述，但会为其奠定基础。最后，我们将介绍在流形上对微分形式进行积分的方法，这为后续的拓扑不变量的计算提供了工具。 第二部分：李群与李代数 本部分将聚焦于李群与李代数这一重要的数学结构，它们在几何、物理、代数等多个领域都扮演着核心角色。 Chapter 5：李群的定义与基本性质 本章将正式引入李群的概念，定义一个李群是一个同时具有群结构和微分流形结构的集合，并且群运算（乘法和求逆）是光滑映射。我们将给出一些典型的李群例子，如一般线性群 $GL(n, mathbb{R})$、特殊线性群 $SL(n, mathbb{R})$、正交群 $O(n)$、特殊正交群 $SO(n)$、酉群 $U(n)$ 等，并介绍它们作为微分流形的结构。我们将讨论李群的子群、商群等概念，并考察它们的拓扑和几何性质。 Chapter 6：李代数的定义与性质 李代数是与李群密切相关的代数结构。本章将定义一个李代数，它是一个向量空间，并配备了一个二元运算（李括号），满足双线性性、反对称性以及雅可比恒等式（Jacobi identity）。我们将展示如何从一个李群自然地导出其李代数，通常是通过在单位元处的切空间来定义的。我们将讨论李代数的子代数、理想、商代数等概念。 Chapter 7：指数映射与李群-李代数关系 指数映射（exponential map）是连接李群和李代数的桥梁。本章将详细介绍指数映射的定义，并证明它是一个光滑映射。我们将展示指数映射如何将李代数中的元素映射到李群中的元素，并探讨其性质，如单射性、满射性（在某些条件下）等。我们将深入研究指数映射如何揭示李群的局部结构，并说明它在研究李群的连通性方面的重要作用。 Chapter 8：伴随表示与结构常数 伴随表示（adjoint representation）是研究李代数结构的重要工具。本章将定义伴随表示，并展示它如何提供一个李代数到其自同构群的群同态。我们将讨论伴随表示的性质，以及如何利用它来研究李代数的根式（nilpotent）和可解性（solvable）。接着，我们将引入结构常数（structure constants），它们是描述李代数李括号运算的重要信息，并揭示了李代数的代数结构。 本书力求为读者提供一个全面而深入的微分流形、李群与李代数导论。通过理论的阐述、例证的支撑和习题的巩固，我们希望读者能够掌握这些重要概念，并为进一步学习更高级的数学分支打下坚实的基础。

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这本书的结构设计堪称精妙，它巧妙地平衡了理论的深度和读者的可接受性。我特别欣赏作者处理基础概念时的那种细致入微，仿佛生怕读者遗漏了任何一个至关重要的逻辑环节。它不是那种只会抛出定义然后跳到高级应用的“快餐式”教材，而是循序渐进，每一步的推进都建立在坚实的地基之上。举例来说，书中对“结构层”的引入和阐释，就花费了大量笔墨，但这种详尽并非冗余，而是为了确保读者能够真正掌握后续推导的合法性。这种对待数学严谨性的近乎偏执的态度，使得我在阅读那些关于奇点理论的部分时，心中充满了踏实感。我可以信赖作者的每一步推理，即使是最令人困惑的定理，在作者的引导下，也逐渐显露出其内在的逻辑必然性。它更像是一场漫长的、由经验丰富的向导带领的探险，每当我们即将迷失在复杂的代数运算中时，总有一个清晰的几何图像或者一个富有洞察力的比喻及时出现，将我们拉回正轨。这种教学上的匠心，是衡量一部优秀数学专著的关键标准。

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这部书给我的感觉是，它试图搭建一座连接不同数学领域的桥梁，其视野之开阔令人赞叹。作者在讲解的过程中，不时地会穿插对相关代数、分析乃至物理学概念的参照和联系，这极大地丰富了我们对所学概念的理解维度。例如，当探讨到某一特定拓扑空间的分类问题时，书中不只是给出了拓扑学上的结论，还隐晦地指出了这在某种场论中的对应意义。这种跨学科的视野，使得原本晦涩难懂的理论变得更加立体和有血有肉。阅读它需要持续的专注力，因为它不容许任何形式的“跳跃式阅读”，每一页都蕴含着需要细细品味的知识密度。但回报是巨大的，它使人能够从更宏观的视角去审视这个领域，理解为何这些概念会被发展出来，以及它们在整个数学科学大厦中的位置。它不仅仅是一部关于特定主题的著作，更像是一份地图，指引我们探索更广阔的数学疆域。

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这部著作的标题本身就充满了神秘的吸引力，它如同一个精心编织的密码，暗示着对空间结构和形变本质的深刻探索。我最初翻开它时，期待的是一场关于光滑流形和微分形式的严谨数学之旅，而这本书带给我的，远不止是教科书式的概念堆砌。它的叙事方式是如此的优雅而又不失锐利，仿佛作者是一位技艺精湛的建筑师，用最抽象的数学语言勾勒出宏伟的几何蓝图。在阅读过程中，我时常感到自己仿佛置身于一个高维的迷宫，每一步的深入都伴随着豁然开朗的惊喜。作者在处理那些极其复杂的拓扑不变量时，展现出了一种近乎艺术家的直觉，将那些冰冷无情的公式赋予了鲜活的生命力。特别是关于庞加莱对偶性和切丛结构的那几章，文字的密度极高，但每句话都像是经过千锤百炼的结晶，没有丝毫赘述。它强迫你放慢节奏，去体会每一个符号背后的深层含义，而不是囫囵吞枣地接受结论。对于一个真正热爱数学美学的人来说，这本书无疑是一场心灵的洗礼，它让我们得以窥见宇宙结构中那种内在的、不变的美感。那种“触及”到数学本质的体验，是任何其他读物都难以给予的。

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这本书的排版和图示运用也值得称赞，这对于理解几何学概念至关重要。作者深知，在描述高维结构时，文字描述往往会显得苍白无力，因此，书中穿插的那些示意图虽然简洁，却极富表现力。它们不是简单的装饰，而是紧密结合文字，起到画龙点睛的作用，帮助读者将脑海中抽象的二维或三维图像转化为更高维度的直观感受。我记得在解析某个纤维丛的截面问题时，那张图例的清晰度远胜过我之前阅读过的任何文献。更令人印象深刻的是，作者似乎在每一章的结尾都设置了一种“悬念”或“展望”，巧妙地引导读者去思考尚未解决的问题或者未来的研究方向。这使得阅读过程充满了探索的乐趣，仿佛我们不仅仅是在学习一个既定知识体系，而是在参与一个仍在进行的、充满活力的学术对话。它成功地将一个严肃的数学研究领域，转化成了一次引人入胜的智力冒险。

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老实说，我对这类高度抽象的数学分支一直抱有一种敬畏又畏惧的心态。很多顶尖的参考书，读起来就像是在啃一块坚硬无比的石头，需要花费大量的精力去消化。然而，这部作品在保持其学术高度的同时，却流露出一种令人意想不到的叙事魅力。它避开了那种冷峻的、纯粹的符号堆砌，而是通过精选的、极具代表性的例子来阐释核心思想。我尤其喜欢作者在讨论“辛结构对流形的影响”时所引用的那些历史背景和动机，这使得纯粹的数学对象似乎拥有了“为什么存在”的合理性。与其说这是一本工具书，不如说它是一部关于数学思维方式的哲学论述。它教会我的不仅仅是计算方法，更是一种看待问题的全新视角——如何在一个看似混乱的几何对象中，捕捉到其不变的、内在的对称性。这种深层次的理解，远比记住几个公式来得更有价值。它真正激发了我想要去应用这些工具解决实际问题的热情，而不是仅仅停留在理论的象牙塔内。

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