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出版者:Springer

作者:David Mumford

出品人:

页数:294

译者:

出版时间:2002-11-15

价格:USD 209.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540569633

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• 代数几何
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《几何不变式理论》是一本深入探讨代数几何核心概念的书籍，它专注于研究几何对象在特定变换群作用下保持不变的性质。本书并非直接介绍具体的数学定理或计算方法，而是致力于构建理解几何不变式理论的理论框架。 理论基石：群论与代数簇 本书的起点是回顾和阐述代数几何与群论中的基本概念。这包括了代数簇（algebraic varieties）的定义、性质以及它们如何被群作用所影响。读者将接触到诸如齐次坐标、多项式映射、维度等基础知识，并了解这些概念如何与群的抽象结构相结合。例如，本书会详细探讨有限群、李群等不同类型的群如何作用于代数簇，以及由此产生的轨道空间（orbit spaces）的几何意义。 不变式与商空间：核心概念的解析 理解几何不变式理论的关键在于“不变式”和“商空间”这两个概念。本书将深入剖析“不变式”的定义，即那些在群作用下不发生变化的几何量或代数表达式。这不仅仅是简单的数值不变，更涉及到多项式、函数、甚至更复杂的几何对象。本书将探讨如何通过代数方法来刻画和计算这些不变式。 同时，本书将花费大量篇幅来解释“商空间”的构造。商空间可以被看作是识别群作用下等价点的空间。如何为商空间赋予一个有意义的几何结构，使其自身也能成为一个代数簇，是本书探讨的重点。本书将介绍不同的商空间构造方法，并分析它们各自的优缺点以及适用的场景。 不变式环与商环：代数视角下的不变性 从代数的角度来看，不变式理论与不变量环（invariant rings）和商环（quotient rings）紧密相连。本书将详细介绍如何构造一个代数簇上的不变量环，以及不变量环的性质如何反映了原代数簇的几何结构在群作用下的不变性。读者将学习到诸如Hilbert's theorem on invariants等经典结果，了解不变量环的生成元和关系。 商环的构造则为研究商空间提供了代数工具。本书将阐述商环与商空间之间的对应关系，以及如何利用商环的代数性质来推断商空间的几何特性。这包括对商环的诺特性（noetherianity）、维度等代数不变量的分析。 表示论的引入：对称性的深度探索 为了更全面地理解几何不变式理论，本书还会引入表示论（representation theory）的相关概念。代数簇上的群作用可以被看作是代数对象（如坐标环）的表示。本书将探讨如何利用表示论的工具来分析和理解群作用的结构，以及如何从中提取出不变的表示。这有助于从更深层次上把握几何对象与群之间的对称性关系。 理论的应用与展望：不仅仅是理论 尽管本书侧重于理论的构建，但它也会提及几何不变式理论在其他数学分支中的重要应用。例如，它在经典不变式理论、代数几何、复分析、微分几何等领域有着广泛的影响。本书的最后部分可能会对该领域的一些前沿问题和未来的研究方向进行展望，启发读者进一步探索。 本书的目标读者 本书适合已经具备一定代数几何基础，并对群论、表示论有初步了解的读者。它将帮助数学专业的研究生、博士后以及对几何不变式理论感兴趣的数学家深入理解该领域的理论体系。通过阅读本书，读者将能够建立起严谨的数学框架，为进一步的深入研究打下坚实的基础。 总而言之，《几何不变式理论》是一本旨在全面、深入地介绍几何不变式理论的理论框架的书籍。它通过对群论、代数簇、不变式、商空间、不变量环、商环以及表示论等核心概念的细致阐述，为读者构建起一个理解几何对象在群作用下不变性的坚实理论基础。

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这本书在内容深度上的处理是极其不均匀的，呈现出一种明显的“重理论、轻应用”的倾向。在涉及代数结构和拓扑性质的论证上，笔墨是极其丰厚的，几乎到了吹毛求疵的地步，对于那些纯理论的研究者来说，这无疑是宝库。然而，当我试图寻找它与现代物理学、数据科学或工程领域中的实际联系时，却感到有些力不从心。书中几乎没有涉及任何现代计算方法或数值模拟的讨论，所有的推导都停留在纯粹的解析层面。这使得这本书在跨学科交流的场合中，可能显得有些“象牙塔”化。它似乎是为了一群专注于数学纯粹性的学者而写的，完全没有考虑如何将这些深奥的理论“翻译”成其他领域可以理解和使用的语言。对于那些希望看到几何不变性理论在解决实际问题中发挥作用的读者，这本书提供的只是坚固的理论基石，而缺乏搭建应用大厦的工具箱。这既是它的优点——保持了理论的纯粹性，也是它的局限——限制了其在应用领域的直接影响力。

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阅读体验上，这本书的排版设计透露出一种强烈的德式实用主义美学。页边距适中，字号选择合理，使得长时间阅读下来，眼睛的疲劳感相对较轻。不过，书中对图示的使用似乎有些吝啬，尤其是在讲解那些需要高度空间想象力的概念时，往往只依靠文字描述和符号推导来支撑，这对于依赖视觉辅助的读者来说，构成了不小的阅读障碍。我不得不时常停下来，在草稿纸上自己动手绘制那些复杂的几何构型，才能勉强跟上作者的思路。这种“读者自行脑补”的写作方式，无疑考验着读者的抽象思维能力和图形重构能力。如果作者能在关键的转折点提供更为清晰和详尽的示意图，或者至少提供一些链接到外部可视化资源的指引，这本书的易读性将会大大提高。此外，书末的参考文献部分，虽然列举得非常全面，但缺乏对每篇引文的简要评述，使得读者难以判断哪些是奠基性的工作，哪些是后续的补充，这对于想要进一步拓展阅读方向的研究人员来说，增加了筛选信息的成本。

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这本书的语言风格，用一个词来形容，就是“不苟言笑”。作者的遣词造句非常正式，倾向于使用精确但晦涩的术语，几乎没有出现任何带有个人色彩或情绪化的表达。这种写作风格的优点在于确保了信息的绝对客观和精确无误，任何一个细微的差别都不会被模糊掉。但在阅读过程中，我多次感觉自己像是在阅读一份技术规范文档，而不是一本旨在启发思考的学术著作。它很少使用类比或者反问句来引导读者的思考，一切都以陈述句和定义的形式出现。这对于习惯了现代写作中更具对话性、更注重知识传播效率的读者来说，会是一个不小的挑战。这本书要求读者具备极高的主动性和自我驱动力，你必须自己去构建知识间的联系，去体会作者隐藏在严密逻辑背后的深刻洞察。它像是一座高耸入云的灯塔，指引着方向，但攀登的过程必须完全依靠自己的力量。

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这本书的论述风格，在我看来，更像是邀请了一位沉稳而富有经验的导师，陪同你进行一场漫长而艰深的学术对话。它不太倾向于使用那些花哨的、最新的研究成果来吸引眼球，而是专注于对核心思想的深度挖掘与逻辑梳理。作者在讲解一些关键定理的证明时，展现出了惊人的耐心和对细节的苛求，每一步的推理都如同工匠打磨玉石般精雕细琢，力求让读者不仅知其然，更能知其所以然。我特别留意了其中关于某些特定几何对象的结构分析部分，那里的推导过程逻辑严密到令人叹服，仿佛每一个数学符号的出现都是经过深思熟虑的必然选择。不过，这种严谨性有时也使得文本显得有些“冰冷”，缺乏一些生动的例子或者历史的轶闻来调剂阅读的枯燥。如果你期待的是那种充满启发性和跳跃性的写作方式，这本书可能无法满足你；它更像是一部需要你全神贯注、沉下心来，一点一滴去啃食的学术巨著。读完一节，你获得的不是瞬间的顿悟，而是一种缓慢积累起来的、坚实可靠的理解。

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这本书的排版和装帧给我的第一印象是相当的古典与严谨，深蓝色的封皮配上烫金的字体，透露出一种历史的厚重感。我翻开目录，发现它似乎将重点放在了经典代数几何的某些特定分支上，内容组织呈现出一种非常清晰的、线性的结构。作者显然是想为读者构建一个坚实的知识框架，从最基础的概念出发，逐步推向更复杂的主题。每一章的过渡都非常平滑，仿佛在引导读者进行一次精心策划的思维漫步。我特别欣赏它在引入新概念时所使用的详尽的背景铺垫，这对于初学者来说是极大的福音，避免了那种突然被扔进抽象世界里的措手不及感。书中使用的符号系统也极为一致和规范，几乎没有出现歧义，这在高度符号化的数学著作中是难能可贵的。然而，这种深入细致的铺陈也带来了一个副作用，那就是整体的阅读速度会被拖慢，需要读者投入大量的时间来消化每一页的内涵。对于那些已经具备一定背景知识，更渴望快速掌握前沿进展的读者来说，可能会觉得有些内容略显冗长，更像是一本详尽的教科书，而非尖端的研讨会论文集。它更适合作为大学高年级或研究生阶段的教材，旨在打牢地基而非挑战已有的认知边界。

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@2014-07-15 21:27:36

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现代数学：辛几何动量映射和拟投射代数簇的几何不变量关联， 分析工具中动量映射连接了不变量和杨米尔斯理论

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