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出版者:American Mathematical Society

作者:Peter W. Michor

出品人:

页数:494

译者:

出版时间:2008-7-23

价格:USD 81.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821820032

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 微分几何
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• 微分几何7
• 微分几何
• 流形
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• 几何分析
• 微分方程
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• 几何学
• 学术著作

《微分几何概论》 本书旨在为读者提供一个深入理解微分几何核心概念的坚实基础。微分几何作为数学的一个重要分支，在理论物理、工程学以及计算机科学等多个领域扮演着至关重要的角色。本书将从最基础的度量空间和流形的概念出发，逐步引导读者进入微分几何的广阔天地。 第一章：度量空间与拓扑基础 在正式探讨微分几何之前，理解其语言至关重要。本章将回顾和梳理度量空间的基本性质，包括开集、闭集、连续性以及紧致性等拓扑概念。这些概念为后续理解流形的结构提供了必要的准备。我们将通过具体的例子，帮助读者直观地掌握这些抽象的定义。 第二章：流形的概念与构造 本章将引入微分几何的核心对象——流形。我们将从欧几里得空间出发，逐步抽象出流形的概念，即局部上与欧几里得空间同胚的空间。我们将详细介绍图册（charts）、坐标系（coordinate systems）以及光滑结构（smooth structure），这些是定义流形上光滑函数和向量场的先决条件。本书将通过探讨球面、环面等经典例子，帮助读者理解不同类型的流形及其拓扑性质。 第三章：光滑函数与向量场 流形一旦有了光滑结构，我们就可以在上面定义光滑函数和向量场。本章将深入研究光滑函数的性质，包括导数、方向导数等。接着，我们将详细阐述向量场，它是在流形上每个点都关联一个切向量的函数。我们将学习如何通过链式法则（chain rule）来计算向量场在光滑函数下的作用，以及向量场的积分曲线（integral curves）的概念，这为理解动力系统提供了基础。 第四章：切空间与余切空间 切空间是微分几何中一个极为重要的概念，它捕捉了流形在一点处的局部线性近似。本章将详细介绍切空间（tangent space）的定义，以及切向量（tangent vectors）的运算，包括向量的加法和数乘。此外，我们还将引入余切空间（cotangent space）及其上的余切向量（cotangent vectors），并探讨切空间与余切空间之间的对偶性。这为理解微分形式和张量打下基础。 第五章：向量丛与张量场 在本章中，我们将把切空间的概念推广到向量丛（vector bundle）。向量丛是流形上一个更普遍的构造，它允许我们在每个点上关联一个向量空间，而不仅仅是切空间。我们将重点介绍切丛（tangent bundle）和余切丛（cotangent bundle）。接着，我们将引入张量场（tensor fields），这是定义在向量丛上的更为一般的代数对象，它们在物理学（如广义相对论）中有广泛的应用。我们将学习张量场的类型、运算以及它们的局部表示。 第六章：微分形式与外微分 微分形式是张量场的一个特例，它们在积分、复分析以及代数拓扑中发挥着关键作用。本章将详细介绍微分形式（differential forms）的定义，特别是k-形式（k-forms）。我们将学习外积（exterior product），这是微分形式的乘法运算。最重要的是，我们将引入外微分（exterior derivative）算子，它是在微分形式上作用的一个算子，其性质类似于微积分中的导数，并满足庞加莱引理（Poincaré lemma）。 第七章：黎曼流形与度量张量 黎曼几何是微分几何的核心分支之一。本章将引入黎曼度量（Riemannian metric）的概念，它赋予了流形上的每个切空间一个内积。这个度量允许我们在流形上定义长度、角度、体积以及曲率。我们将学习度量张量（metric tensor）的表示，以及如何利用度量来计算测地线（geodesics）——在黎曼流形上“直线”的推广。 第八章：联络与曲率 在黎曼流形上，我们不仅需要度量，还需要一种方式来“平行移动”向量，这就是联络（connection）的作用。本章将介绍列维-奇维塔联络（Levi-Civita connection），它是与黎曼度量相容且无挠率的唯一联络。联络的概念为我们定义向量场的协变导数（covariant derivative）提供了工具。在此基础上，我们将引入曲率张量（curvature tensor），它衡量了流形弯曲的程度。我们将探讨里奇曲率（Ricci curvature）和标量曲率（scalar curvature）等重要概念。 本书力求语言清晰，概念严谨，并通过大量的例子和习题来巩固读者对所学知识的理解。希望通过本课程的学习，读者能够掌握微分几何的基本理论，并为进一步研究微分几何或其在相关领域的应用打下坚实的基础。

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这本书的语言风格非常凝练，仿佛是作者多年的教学精华被浓缩到了每一个句子之中。它不卖弄花哨的术语，每一个词汇的选择都经过了深思熟虑，直指问题的核心。在处理接触几何（Contact Geometry）的部分时，作者成功地用一种极为简洁的方式定义了接触结构，并展示了其与复杂结构之间的微妙关系。我发现，这本书更适合作为一本“精修之作”来使用，即在学习了某门基础课程之后，用它来精炼和提升自己的理解深度，而不是作为入门的第一本教材。它对细节的追求是苛刻的，比如对“可微性”的条件在每一步骤中都进行了明确的界定，这使得全书的数学严谨性达到了一个很高的水准。对于追求完美主义的学者而言，这本书提供了一个可以反复研读的模板，其清晰的逻辑链条和毫不含糊的论证过程，是我们在进行前沿研究时最需要的思维训练。

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这本书的价值在于其对“内在视角”的坚持。许多教科书在讲解测地线方程时，往往直接给出坐标系下的微分方程组，让读者感到这不过是拉格朗日力学在特定坐标下的应用。然而，这部作品却花了大量篇幅，从变分原理出发，强调测地线是度量张量定义下的“最短路径”，这使得概念的根源性被牢牢抓住。作者对黎曼度量的选择性和依赖性进行了深入探讨，清晰地揭示了度量张量在定义几何结构中的核心地位。这种对几何本质的执着，让读者在构建更复杂的几何模型时，能够保持清晰的思路，不至于迷失在坐标变换的迷宫中。我特别欣赏书中对“整体性”（Global Aspects）的关注，虽然微分几何的很多工具依赖于局部光滑性，但作者始终提醒我们，真正有趣的物理和拓扑问题往往发生在全局结构上。对于想要从“工具箱”式学习转向“理解几何思想”的学习者来说，这本书的哲学指导意义远大于其技术细节的堆砌。

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这部著作的封面设计得相当朴实，甚至有些古板，初次翻阅时，我并没有立刻被它吸引。然而，一旦沉浸其中，你会发现其内容的深度和广度远超预期。书中对黎曼几何基础概念的阐述尤为清晰，作者似乎非常擅长将那些抽象的拓扑概念与直观的几何图像联系起来。尤其是在介绍联络（connection）和曲率（curvature）的部分，那些复杂的张量运算被拆解得极为透彻，即便是初次接触微分几何的读者，也能找到循序渐进的路径。作者没有回避那些艰深晦涩的定理证明，但同时又提供了大量的几何直觉性的解释，使得理论的框架不再是冰冷的公式堆砌，而是有了鲜活的生命力。例如，书中对爱因斯坦方程的引介，并非仅仅是代数推导，而是结合了广延原理和能量守恒的深刻洞察，这一点让我印象深刻，它真正体现了“几何即物理”的精髓。对于希望建立扎实理论基础的研究生而言，这本书无疑是一份珍贵的参考资料，它提供了一个坚实且可靠的出发点。

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读完这本书，我最大的感受是它在连接不同数学分支上的出色表现。它不仅仅是一本纯粹的微分几何教材，更像是一座桥梁。书中对辛几何（Symplectic Geometry）的初步介绍，虽然只是一个引子，但其对相空间概念的几何化描述，立刻让我联想到了经典力学和Hamiltonian系统的内在结构。随后，作者将这些概念巧妙地引入到动力系统和流的稳定性分析中，这对于从事应用数学或者理论物理研究的人来说，提供了极佳的跨界视野。美中不足的是，某些高级主题的讨论显得略微仓促，例如对规范理论中实例的分析，如果能有更详尽的物理背景介绍，将会更好地服务于那些主修物理的读者。此外，全书的习题设计风格高度一致，偏向于理论推导和概念验证，对于希望通过大量计算练习来巩固理解的读者，可能会觉得不够“解渴”，需要额外寻找补充材料。

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我购买这本书主要是为了深入研究规范场理论（Gauge Theory）在微分几何中的应用，坦白说，我对书中前半部分较为基础的流形结构介绍略感冗长。虽然这些内容对于系统性学习是必要的，但对于有一定背景的读者来说，进度稍显缓慢。不过，当章节过渡到纤维丛（Fiber Bundles）和主丛（Principal Bundles）时，全书的节奏明显加快，信息密度也骤然提升。作者处理规范群的引入非常优雅，用一种几何化的语言来描述物理学中的对称性，而不是仅仅停留在代数层面。特别是关于霍奇理论（Hodge Theory）在向量丛上应用的讨论，虽然篇幅不长，但其逻辑上的严谨性令人赞叹。它展示了微分形式如何与拓扑不变量紧密相连，这种跨领域的融合使得内容极具启发性。这本书的排版在处理数学符号时显得有些拥挤，尤其是在公式较多的页面，需要花费额外的心神去辨认，这或许是实体书时代遗留下的一个小小遗憾。

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一本比较新的流形入门书，所以在编排的时候，会加入很多上同调的内容，因为同调代数过于强大，使得过去太多的杂散定理一下子都聚合在几个公理和定义的条目下了

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